将根轨迹法推广到分数阶系统

摘要

给出了分数阶线性定常系统的一个特殊子集的根轨迹法。这些系统的传递函数是拉普拉斯变量有理次幂多项式的有理函数年代。这类系统由于其多值性质而被定义在黎曼曲面上。给出了一套在第一黎曼表上绘制根轨迹的规则。将经典根轨迹法的重要特征如渐近线、实轴上的根条件和分离点推广到分数阶。结果表明，该方法可以评估分数阶系统在环路中存在变增益时的闭环稳定性。最后通过三个算例验证了算法的有效性。

1.介绍

Evans的根轨迹法是分析和设计单输入单输出线性时不变系统最流行和最强大的工具之一。该方法有两个主要应用领域[1)如下。(1)稳定性:获得实参数的充分条件其中闭环系统如图所示1保持稳定。(2)设计:根轨迹法为超前滞后补偿器的设计提供了有效的工具。自1948年起源以来，根位点法又有了进一步的发展。克劳尔(2，3.]开发了延迟系统的方法，Bahar和Fitzwater [4]从数值的角度研究了这个问题，最后，Byrnes等人[5]提出了分布参数系统的根轨迹法。

对于典型的系统，有一些简单易用的规则用于绘制根轨迹，但通常不足以惟一地确定它[1］．这些规则只是作为提示，通常需要控制工程师的直觉来完成根轨迹图。当系统的阶数变得更高时，根轨迹法显然会变得更难应用[5］．

近年来，分数阶系统受到越来越多的关注。这些系统对于建模和控制器设计都很有意义。在连续时间建模领域，分数阶导数已被证明在线性粘弹性、声学、流变学、高分子化学、生物物理学中是有用的(6，7］．一般来说，分数阶系统有助于模拟各种具有异常衰减的稳定物理现象(通常是扩散系统)。

一篇关于分数阶微分系统的有趣研究发表在[8使用随机框架。分数幂的概念也用于识别目的。曹等人[9Poinot和Trigeassou [10明确了当模型集成员为分数阶时的识别方法。该等识别的两种应用可于[11，12］．分数阶系统也用于控制领域。Podlubny [13Valério和Sá da Costa [14讨论了设计方法控制器，雷诺和Zergaïnoh [15]研究了分数阶超前滞后补偿器，Oustaloup等[16，17]引入了所谓的CRONE控制器。

本文用有理传递函数和拉普拉斯变量的幂来描述所考虑的系统，，限定于有理数。这样的系统很适合使用一些代数工具。18，19］．这类系统的实际例子可参阅[11，12，19］．本文讨论了这些系统的根轨迹的绘制问题。与[5在我们要解决的问题中，假设系统是有限维的，这使得问题简单到可以用解析方法来处理。

所提出的方法可用于检测给定的闭环系统，如图所示1，保持稳定的大不管是不是，在哪里是分数阶传递函数。在[20.，给出了分数阶系统的Routh-Hurwitz准则的推广。然而，该方法可以处理此类系统的稳定性问题，但它是一个非常复杂的算法。

本文的其余部分安排如下。部分2与问题陈述一起提供一些基本定义和符号。节3.给出了在分数阶情况下绘制根轨迹的规则。本节提供了三个说明性的例子4。最后，给出了一些结论。

符号
黑板上的大写字母表示集合和空格:特别是自然数(不含零)，真正的数字,理性的数字,整数，和复杂的数字。符号,在那里，表示小于或等于的最大整数。

2.问题陈述和初步准备

在介绍主要问题之前，提供一些基本的定义和符号。假设读者熟悉“黎曼曲面”、“黎曼表”、“分支点”和“分支割”的概念(参见21]或[22以便进行更深入的分析)。

定义2.1。这个函数一个分数阶多项式，当且仅当为。

定义2.2。考虑分数阶多项式在哪里是相对主要的。(如果对于一些，然后根据定义．)让的最小公倍数(lcm)表示为。然后可以写成分数阶(fdeg)被定义为

这个函数定义于(2．2的多值关系它的定义域是一个黎曼曲面原点是一个分支点的黎曼表[21］．在本文中，假设分支割为第一个黎曼表表示为和定义为注意，每个黎曼图在分支切割处只有一条边。下面的命题给出了根的个数。

命题2.3。让是一个分数阶多项式。然后这个方程正好有黎曼曲面上的根。

证明。考虑在一个适当的。假设,我们有代数基本定理给出根为说,。因此,有根在。

定义2.4。的分数阶多项式是最小的,如果。

现在考虑图中的标准闭环系统1其中植物的传递函数是和为正实常数。注意定义域的定义黎曼曲面是什么黎曼表(21］．

定义2.5。有了上面的符号，被称为严格合适的,适当的, nonproper，和双适当的。

定义2.6。方程的根和在分别称为开环零点和开环极点。

这是一个事实，当一个最小的分数阶多项式以非最小形式表示时，它的零的数量会增加，但零的位置和顺序会增加保持不变。例如，考虑分数阶多项式(最小的)和(nonminimal)。这个方程只有一个根在(在第一个黎曼表上)根源在(在第一个黎曼表上)，另一个根在(在第三张黎曼表上)和0的个数不同，但位置和顺序不同都是相同的。它的结论是2．6不是模棱两可的;代表和在非极小形式将不影响开环极点和零点。

请注意,不是一杆吗即使。下面的定义处理原点处的奇点。

定义2.7。这一点被定义为一个有序极点的(定义见2．7))如果要点是秩序的极点吗的。

闭环系统的特征方程如图所示1是我们希望解决广义的根轨迹问题，即绘制(2．8)当各不相同。关注第一黎曼表的原因是闭环系统的时域行为和稳定性性质仅由位于第一黎曼表上的特征方程的那些根决定[19，23］．注意，具有特征方程(2．8)是稳定的(在有界输入有界输出的意义上)当且仅当它在封闭的右半平面(CRHP)上没有根(24，25］．在本文中，我们将自己限制在以下条件下。(我)被控对象的传递函数是严格正确的。最终结果可以很容易地推广到非真系统，但这种推广到双真传递函数是复杂的。这类似于涉及具有双固有传递函数的整数阶系统的根轨迹图时所遇到的困难[26］．(2)参数为正实数。结果可以很容易地推广到负实的年代。(3)这两个和是一元分数阶多项式。这并没有失去一般性，也简化了符号。(iv) 和没有共同的根源。否则，特征方程将有不随变化而变化的根(s)。在本文的其余部分中，通过替换每个函数得到的单值函数在(2．8),用,也就是说, 我们对其他多值关系也这样做。

3.分数形式的根基因座

3．1.分数格根轨迹的性质

的根轨迹图提供了一个非常好的根轨迹图。数字2显示了-平面和薄片黎曼曲面。在这张图中，这个部门对应于。的根位点的一些重要特征提出了。

3.1.1。实轴对称

考虑到根基因座的根轨迹与实轴对称，得到在对于实轴也是对称的。注意，一般来说，这个解释对于其他黎曼表上的根轨迹是不正确的。

3.1.2。数量的分支

分支的定义是特征方程的单根轨迹，当从零到无穷。在经典情况下，根轨迹分支从开环极点开始，在零处终止(有限零或无穷处零)[1］．在分式情况下，由命题得出2．3特征方程(2．8)根系分布在黎曼表。考虑的根轨迹图在-平面上，显然不是所有的根轨迹分支都必须从开环极点开始并终止于开环零点。事实上，一个分支可以穿过分支切面进入另一个黎曼表。

这里还有一点需要注意。很明显,分支从开环极点开始这是有序的。当，所有的树枝都在上面为。否则，它们属于不同的黎曼表。一个重要的例子是由于原点的极点。如果是秩序的极点吗(2．7),然后分支机构启动它，不一定是为了。以便找到起始分支的数量和在为,让和分别表示正实开环极点和零的个数。然后根据角度条件，得到原点处离极点的角度为因此，如果(2．7)有一个极点的秩序在原点，那么分支机构()从从(3.1)．

3.1.3。实轴上的根条件

在经典的根轨迹算法中，实轴上的任意点位于根轨迹上，实轴上的实数极点总数为奇数，且其右侧的零为奇数。显然，线段位于正实轴上的正实轴上的线段。根据根轨迹图的正实轴上的任意点，实极点的总数，且其右边的零为奇数，位于根轨迹上。但对于在(2．7)，没有线段打开可以属于根轨迹。原因如下。如果这样的直线存在，那么它必然在射线上在飞机。半无限直线是一个著名的经典结果，它是具有传递函数的系统的根位点分支，是唯一的对象可以位于这条射线上的平面。但对应于它不是多值的。因此，多值传递函数的根轨迹图永远不能有分支在。

3.1.4。渐近线及其方向

渐近线在绘制根轨迹图中是非常重要的，因为它们显示了大的分枝方向中首先研究了整型情况下根轨迹图的渐近线。21］．另一种更详细的解释可在[27］．在[21，27]不能直接申请分数个案。在这里，我们发展了另一种方法来寻找分数阶传递函数的根轨迹曲线的渐近线。下面的定理是本文的主要结果，因为它可以用来检验大增益的闭环稳定性。

定理3.1。根轨迹图的渐近线是所有经过原点的直线，它们的方向是

证明。请参阅附录。

注意在定理中3.1，可能属于任何序列的连续整数，但我们使用的序列在渐近线和黎曼表之间建立了相应的对应关系。这个序列保证了。还要注意得到的渐近线在。然而，在分数阶情况下，所有的渐近线都经过原点。由于开环系统被假定是严格正确的，根轨迹图总是至少有一条渐近线。

3.2的话。在整数情况下，如果负实轴是根轨迹图的渐近线，那么它是且仅是一个分支的渐近线。而且，根轨迹图的相应分支与渐近线重合。然而，在小数的情况下，负实轴可以是多个根的渐近线，而且它不重叠在任何分支上。事实上，根据……3.2)当时，负实轴是所有无限根的渐近线。

3.1.5。分离和闯入点

根轨迹图上的分离点和插入点是两个或多个分支相交然后分开的点。如果一个分离点(突破点)就必然满足两者吗和对于一些在。这两个方程表明和或者说,。后一个方程可以用开环传递函数来解释，,因为。因此，每一个断裂点(断裂点)必须满足这个方程在(见,例如,21用于多值关系的微分)。的根源3.3.)是分离(中断)点，如果相应的是正实数。方程(3.3.)也可以解释为作为

３．２．综合算法

下面是构建分数阶根轨迹的一般规则的总结。(1）定位开环极点和零点。（2）确定极点在原点的顺序(如果有的话)，并使用(3.1)．（3）确定正实轴上的根轨迹。注意，在负实轴上的线段不能属于根轨迹。（4）从(确定渐近线的方向3.2)．（5）找到从(3.3.)．(6）完成根轨迹图。

4.例子

例4.1。考虑图中的闭环系统1与该系统的开环极点位于和，有一个开环零点位于。的线段和属于根轨迹，因为其上任何点的极点和其右侧的零的总数是奇数。渐近线的方向(在第一个黎曼图上)是和。方程的根是，,。唯一可行的解决办法是这对应于。数字3.显示了该系统的根轨迹图。

例4.2。考虑图中的闭环系统1与这个系统的开环为零开环极点是3阶。在原点也有一个4阶极点。的线段在正实轴上属于根轨迹。根据(3.1)，则从极点出发的角度为和。让，,它是由(3.2)，即渐近线的方向是，,。数字4显示了该系统的根轨迹图。

例4.3。根据(28，给出了加热炉的分数阶模型与(2．7)的结果，,。假设与图有关1，根轨迹图有两条渐近线，其方向为和，多亏…3.2)．因为这些渐近线都不在CRHP上和没有零，可以选择吗任意大，以达到一个闭环系统，具有跟踪命令输入的能力。数字5的闭环系统响应以及系统受到单位阶跃时的开环系统响应。正如所期望的那样，闭环系统是稳定的，其带宽是不断增大的。Podlubny [29]提出了分数阶模型用于另一个加热炉。这个传递函数可以用等价形式表示这对应于，,。该系统的根轨迹图具有两个方向为的不稳定无限分支和。因此，不可能通过简单的比例动作来控制系统。一种可能的方法是使用更复杂的结构，如超前滞后补偿器。

5.结论

本文提出了一种构造分数阶系统根轨迹图的方法。研究了根轨迹的重要特征，提出了一种综合算法。尽管以小数形式绘制根轨迹的规则与以整数形式绘制根轨迹的规则有些相似，但也有一些主要的区别。例如，它显示在小数情况下没有线段上可以属于根位置。还证明了根轨迹图中所有无限分支的渐近线都经过原点。另一个区别是，著名的Routh-Hurwitz稳定性检验不能用来找出根轨迹图与虚轴的交点。最后通过三个算例验证了算法的有效性。

附录

下面是定理的证明3.1。考虑特征方程的一般形式为: 可以写成然后和大，它可以近似为让双方都上台收益率现在，利用一阶泰勒级数展开周围是,我们有因此, 让双方都上台收益率再次使用泰勒级数展开，它可以进一步写成在上面的公式中，最后一项都趋于零作为前提是。它进入为什么导致了众所周知的事实，即渐近线相交于对于整型[1］．

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