一阶耗散晶格动力系统的指数吸引子

摘要

摘要我们构造了一阶耗散晶格动力系统的指数吸引子，该系统由反应扩散方程的空间离散引起．并得到了指数吸引子的分形维数。

1.介绍

晶格系统在化学反应理论、图像处理、模式识别、材料科学、生物学、电子工程、激光系统等领域都有广泛的应用。晶格动力学系统是由常微分方程或差分方程组成的无限系统。在某些情况下，它们产生于偏微分方程的空间离散，但它们有自己的形式。

让是一个固定的正整数。表示 在哪里是整数的集合。定义一个线性算子作用于以下列方式:为任何，，

在本文中，我们将考虑以下一阶晶格动态系统： 在哪里，，，表示一阶导数，和，．然后,问题(1.3.的反应扩散方程的离散类似式： Chafee-Infante方程就是一个例子。

贝茨(1和他的同事在晶格动力学系统(LDS)的全局吸引子方面取得了一些成果。周(2将它们应用于一阶耗散晶格动力系统，与(1.3.)，证明了LDS的全局吸引子的存在性，并考虑了吸引子的有限维逼近。王(3.]及赵、周[4研究了非自治格系统的渐近行为。在指数吸引子的标准定义中，紧的正不变量半群需要集合，系统具有全局吸引子．更具体地说，是半群不是所有的都是正的吗．所以，很难找到一个紧凑且积极的不变性哪个不是吸引器．一阶耗散晶格动力系统模拟问题(1.3.)就是这样一个例子。Babin和Nicolaenko [5研究无界区域上的反应扩散系统，证明了该系统的指数吸引子的存在性，并估计了其分形维数。在[5，紧实度假设在整个施工中所起的作用相对较小。在[6， Eden等人为Lipschitz提供了指数吸引子的构造收缩在闭合有界的这满足离散压缩性质，其中不假定是紧凑的。

这项工作的主要新颖之处在于我们对指数吸引子的构造作了改进，如[6如果是一张地图在闭有界上是渐近紧的吗这就满足了离散压缩性质具有指数吸引子。不是假定的吗在结果中-缩写。我们将此结果应用于一阶耗散晶格动力系统的指数吸引子的研究。我们不仅构造了晶格动力学系统的指数吸引子并考虑了它的有限维逼近，而且得到了它的分形维数的上界。

2.一个关键的定理

让是一个具有范数的可分离希尔伯特空间，是非空闭有界集，并且是具有Lipschitz常数的Lipschitz连续映射．在本文中，我们总是将集合的Hausdorff半距离表示为:

定义2.1。 是渐近紧在如果对任何，有一个收敛子序列在．

2.2的话。如果是一个收缩在,然后是渐近紧的吗．

定义2.3。 是说满足离散挤压房地产在如果存在正交投影的排名这样，对于每一个和在，

定义2.4。一个紧集被称为指数吸引子如果(我) ,在那里为全局吸引子;（ii） ,这是正不变的;(3) 分形维数有限;和(iv)存在普遍常数，这样，对于每一个，每个自然数，．

让为在压缩特性的定义中选择的正交投影。表示 包含关系。从定义,我们知道是一对一的．很明显,是有限维向量空间的有界闭集，因此是紧的。所以,作为连续映射下的原像也必须是紧凑的。

让是集合的子集，它是由形式的特殊集的有限联合而形成的这一点上面已经描述过了，因此才有了这一切紧凑。

引理2.5。如果是渐近紧的吗,然后 相对紧凑。

证明。让是一个序列．然后，将出现如下两种情况。案例1。存在一个自然数这样,所有在;例2。存在子序列(仍然用满意的,存在这样．以防1,因为紧凑和是否连续，是否存在收敛子序列是收敛的．以防2,因为是渐近紧的吗，它是我们可以立即提取收敛的子序列．所以,相对紧凑。

定理2.6。让是一个可分离的希尔伯特空间的非空闭有界子集．假设(我) 是具有Lipschitz常数的Lipschitz连续映射吗 在 ;（ii） 是渐近紧的吗 ;(3) 上的离散压缩性质 (与排名 ),然后 有指数吸引子吗 ： 在哪里 是一个全局吸引器 在 ，是如上所述。的分形维数 满足

证明。注意所有的极限点属于．一起引理2.5，其证明方法与[7]．

2.7的话。在定理2.6的指数吸引子的存在性与以往的结果相比，有两个优点：(我) 不假定是紧密的;（ii）如果具有一个全局吸引子至少是渐近紧的。我们只检查if满足Lipschitz性质和离散压缩性质，得到指数吸引子的存在性．

3.指数吸引子

为，我们将永远表示在下面的讨论中。对于任何，，定义运算符，,，从其自身如下:，， 然后,我们有

对于任何，，定义内积和范数如下： 然后是希尔伯特空间。很明显，任何，，

我们总是做以下假设：(H1) 和．(H2)存在递增连续函数与这样 在哪里

类似于(2定理1]，我们有。

定理3.1。对于任何初始数据，存在唯一的局部解的问题(1.3.),这样对于任何．

事实上，它会在引理中显示出来3．2下面是局部解的问题(1.3.，即，．它意味着地图 生成连续半群本身。

引理3.2。让是一个封闭的球为中心,半径为在哪里 对于任何有界集合的,存在这样

证明。证据很容易得到。

推论3.3。对于任何，．

经过一些简单的计算，我们得到如下的引理。

引理3.4。让解决问题的方法1.3.)初始数据．然后,对任何，

的前题3．2和3．4，我们有以下几点。

定理3.5。半群的是渐近紧的吗并具有一个非空紧致全局吸引子．此外,．
让和．自，的必然结果3．3，，,因为．让．然后,满足

经过一些简单的计算，我们得到如下结果。

引理3.6 (Lipschitz性质)。对于任何，和任何，

让是一个正整数。集 为了方便起见，我们总是表示 具有相同的内积和范数．

让的反函数在(H2)。集

假设是秩的正交投影吗在这样．

引理3.7(离散压缩性质)。对于任何，,如果 然后

证明。表示，和．求内积在(3.10),,我们有 在哪里．根据中值定理， 在哪里，．由(H2)和引理3．4,因为， 这意味着 由(3．18）, (3.21)，以及格隆沃尔不平等 对所有．因此,对于任何，,如果 然后

来自定理2.6和3．5,前题3．6和3．7在本文中，[7，定理3.1]，得到。

定理3.8。半群的由问题决定(1.3.， (H1)-(H2)具有指数吸引子： 其分形维数满足 在哪里是(3.14）,，的定义见章节2和是(3．15）,．

3.9的话。实际上,当，由lemma.3．6这一点我们很容易知道有一个0维的指数吸引子，是问题的平衡点(1.3.的全局吸引子)。

参考

1. P. W. Bates, K. Lu，和B. Wang，“晶格动力学系统的吸引子”，国际分岔与混沌学报，卷。11，不。1，pp。143-153,2001。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
2. Zhou S.，“一阶耗散晶格动力系统的吸引子”，自然史D，第178卷，第2期1-2，第51-61页，2003。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
3. 王斌，“非自治格系统的渐近行为”，数学分析与应用杂志，第331卷，第2期。1，页121-136,2007。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
4. C. Zhao和S. Zhou，“关于无限格子的非管理克莱因 - Gordon-Schrödinger方程的紧凑型内核部分，”数学分析与应用杂志，第332卷，第2期。1，页32-56,2007。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
5. A. Babin和B. Nicolaenko，“无界域反应扩散系统的指数吸引子”，动力学与微分方程学报，第7卷，第5期4，第567-590页，1995。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
6. A. Eden, C. Foias, and V. Kalantarov， "关于指数吸引子的两个构造的注释$\alpha$收缩。”动力学与微分方程学报，第10卷，第5期。1、1998年。视图:出版商的网站|谷歌学者|Zentralblatt数学|MathSciNet
7. A. Eden，C.Foias，B. Nicolaenko和R. Temam，“耗散演化方程的惯性集合”，1991，IMA预印第安语系列。视图:谷歌学者

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