从两个强度测量光场的相位测量:一个简单的理论模型的分析

文摘

在标量傍轴近似下,光学波场被认为是复杂的函数依赖的位置;也就是说,at a given location in space the optical field is a complex value with an intensity and phase. The optical wavefield propagates through space and can be modeled using the Fresnel transform. Lenses, apertures, and other optical elements can be used to control and manipulate the wavefield and to perform different types of signal processing operations. Often these optical systems are described theoretically in terms of linear systems theory leading to a commonly used Fourier optics framework. This is the theoretical framework that we will assume in this manuscript. The problem which we consider is how to recover the phase of an optical wavefield over a plane in space. While today it is relatively straightforward to measure the intensity of the optical wavefield over a plane using CMOS or CCD sensors, recovering the phase information is more complicated. Here we specifically examine a variant of the problem of phase retrieval using two intensity measurements. The intensity of the optical wavefield is recorded in both the image plane and the Fourier plane. To make the analysis simpler, we make a series of important theoretical assumptions and describe how in principle the phase information can be recovered. Then, a deterministic but iterative algorithm is derived and we examine the characteristics and properties of this algorithm. Finally, we examine some of the theoretical assumptions we have made and how valid these assumptions are in practice. We then conclude with a brief discussion of the results.

1。介绍

可见光的波长范围是一个电磁场大约从红外到紫外(300海里)(800海里)。一个电磁场矢量在本质上有三个电动和正交磁场分量。当设计一个微波无线电接收机(长波波段相对于可见光)必须考虑如何将这些不同的磁场和电场组件相互作用和导电条的金属和电介质基板用于阻抗匹配、混合和波导。从麦克斯韦方程得到的方程(遵循)是相当复杂的,需要强化的数值计算程序自不同的矢量组件的电磁场相互作用形成耦合矢量方程(1]。

幸运的是当研究光学问题可见政权通常可以使标量近似。这意味着我们可以假定不同的光学波场的矢量组件不会互相“看见”,因此每个矢量组件可以独立作为一个单独的标量问题。这种近似是非常有用的和相当准确,可以用于分析各种重要和实用光学问题。

因此在这个手稿我们假设一个标量描述光的传播是有效的,使用菲涅耳变换与光场在一个平面上,在另一个平面上,光的飞机在哪里分开的轴向距离 。使用的光源是假定为一个明确的单色时间频率都是暂时的和空间相干(2,3]。使用光学元素塑造照明波场的形式被认为是“瘦”和操作一个入射光场,乘以一个函数描述在一个平面光学元件(4]。假设我们已经描述了我们在傅里叶光学框架(4]。傅里叶光学是光学的一个重要分支理论,因为它允许开发相对简单和直观的光学系统模型。这些模型提供重要的见解基础光学系统的特点,也相当准确。此外傅里叶光学的构建之间的重要桥梁学科特别是允许解释光学系统的信号处理操作常用的电气工程,通信理论和控制工程4- - - - - -9]。这种类型的观点进一步可以扩展的发展混合时间/空间变换或混合空间/空间频率变换等分数傅里叶变换(10),线性正则变换(LCT),甚至更一般的维格纳分布函数的形式(11- - - - - -17]。

我们注意到在这个理论框架如果我们知道光场的强度和相位给光学平面,然后可能计算出(数值或在某些情况下分析)的场分布在任何其他飞机使用LCT [18,19),因此我们可以在3 d图像体积,空间分辨率的不同层次(19]。

在一个实际意义上那么重要的是能够测量实验光学波场的强度和相位在给定平面上。现在高质量低噪声CCD和CMOS传感器是商用和广泛使用。用这些设备是相对简单的测量光场的强度在一个特定的飞机。现在我们将简要讨论几个技术间接测量场的相位分布。

1.1。数字全息术

数字全息术(DH)首次提出了伽柏自己(20.- - - - - -22)和第一个实验的实现是由古德曼等人在23];后来开创性工作是由Yaroslawski, (24),Onural和斯科特25],和Schnars Juptner [26]。最近的理论和实验分析,给出了这些系统(19,27- - - - - -36]。在全息术,我们既需要一个对象和所谓的参考波浪潮。光从激光源在光学设置除以一个分束器和照明平面电波的引用。照明平面波是由镜子,照亮我们希望研究的对象。波前与一个“瘦”对象和对象波场散射和传播距离CCD / CMOS平面。同时参考波通过光学系统,直接与对象重组浪潮在第二个分束器。因此传感器飞机我们记录引用和对象之间的干扰波场从而记录全息图。这种方法的一个缺点是,额外的光学部分是必需的;一个干净的稳定参考光束是必不可少的;和一些不受欢迎的“噪音”,两个直流项和一个双图像,是由录音过程。这些术语可以被捕捉几个阶段转移强度图像和执行一些后处理操作。单镜头离轴全息术一个倾斜的平面参考波是可能的;然而产生的真实图像的空间分辨率(对象波场)显著降低。这种方法的准确性和局限性已经检查过刊物; see, for example, [33,37]。

1.2。运输强度

这些方法在本质上是完全不同的,需要捕获两个不同强度的分布。通常这些分布捕获在一个图像平面上,在略微散焦平面上。使用所谓的交通强度方程,例如,(38,39),可以恢复相位分布的估计。有一些很有趣的方面重建的阶段;首先重建阶段不是包装/ 2其次一些重建方法,即基于FFT的方法不定积分法,看到40),低频可以恢复更加困难。

1.3。迭代阶段检索

最后,我们将注意力转向迭代阶段检索方法。通常捕获两个或两个以上的强度分布在不同的LCT域,或用物理光学捕获的强度在几个不同的光学平面。通常这些不同的光学部分飞机分开的空间和镜头的组合,而且在图像和相应的傅里叶变换的飞机。这些类型的算法的起源可以追溯到迭代Gerschberg-Saxton (GS)方法在70年代首次出版,并进一步发展Fienup et al。41,42]。最初的算法假定两个进行了测量和记录强度分布在图像平面和傅里叶平面。后来算法扩展这些方法使用多个不同的菲涅耳域(43- - - - - -47]。

image-Fourier平面(GS)算法如下:(1)一开始的初始猜测阶段分布在图像平面(2)然后分布傅里叶变换的数值计算和比较傅里叶平面的计算强度的实验测量结果。计算强度分布与实验测量分布不同,因为我们最初的猜测阶段分布不会是正确的(3)在这个阶段,我们替换错误的数值计算强度分布与正确的实验测量强度,同时保留相位值和数字传播分布图像平面(4)我们不期望计算图像强度的测量光强分布。我们再次取代数值计算分布的测量(5)重复步骤(2),(4),直到算法收敛,即。,当there is little difference between the measured and calculated intensity distributions. The similarity between the measured and numerically calculated distributions can be estimated with a root mean square error measure [46]。

在[41),Fienup直接把这个算法的行为比作梯度下降优化方法。这些算法的行为和特性的重要领域的兴趣。通常说,对阶段检索有效工作需要有很好的估计的初始阶段。时是这样的算法容易收敛到局部最小值,在这种情况下将全球最低的国家之一。,因此该算法将返回真实的物理相分布和不是一个解决方案,仅仅满足数值约束的问题,但没有物理意义。在这个手稿,我们将探讨这个问题的多个阶段的解决方案,通过检查的一个简化版本阶段检索问题。这些迭代方法的一个主要悬而未决的问题是算法经常停滞在一个局部最小值的一个贫穷的估计阶段。也有可能有几个不同的解决方案这病态性问题,至少在一维情况下(48]。

在迭代阶段检索方法,我们刚刚讨论了强度分布使用CCD / CMOS阵列捕获。所以在实践中只是记录光强分布在一个有限的空间范围和有限数量的像素空间分辨率限制,还引入了数值抽样效果(37,49]。数值程序,然后使用这些二维数组的强度值往往依赖于基于快速傅里叶变换(FFT)算法的实现。这需要开发软件和数值技术实现这些算法,使他们足够快,所以其他抽样规则和数值问题可以解决49]。这种发展,必要时,往往关注软件实现,而不是专注于其他的物理和数学建模方面的问题。

因此在这个手稿我们故意采取一种不同的方法,强调理论分析使用一个相对简单的模型。类似于迭代阶段检索方法我们分析阶段可以从两个强度测量估计:一个在图像平面和一个傅里叶平面。然而我们做一个重要的简化。我们假设我们可以测量的强度分布傅里叶平面无限程度和忽略任何抽样或离散化过程,由于有限的程度上发生的像素CCD / CMOS数组。此外我们假设强度分布在图像平面上由一组有限的离散的点光源。与这两个简化我们可以得到相位检索问题的解析解。

手稿被组织在以下方式:在部分2,我们表明,在假设,我们在上面的文本和详细的概述部分2原则上,相位值如何确定使用解析解。恢复相位值,我们必须使用一个迭代过程有限但大量的措施。节3,我们分析一个算法来实现迭代策略派生的部分2并检测操作的数量取决于数量的贡献点光源在图像平面。我们表明,有多个解决方案阶段检索问题。然后我们检查方法减少可能的解决方案。节4,我们完成一个简短的讨论提出了分析和介绍一些实际困难时扩展现实真实的相位测量的理论模型。

2。一个理想化的实验分析

我们开始我们的分析通过分析理想光学系统图中描述1。有一组不同的点光源,每一个已知的强度值,因此一个已知的大小, ,在哪里点光源的大小吗 。的相位值, ,与每个点源关联但是仍然未知物理参数,我们希望来衡量。所以再次重申,如图的问题1我们有一组吗点光源与已知的振幅值和未知的阶段。我们进一步假设这些点来源是均匀间隔的距离从对方。我们也给第二个测量,强度分布傅里叶平面。我们刚刚描述的非常类似于实际的迭代阶段检索实验中所描述的介绍。然而这些强度分布在真实的实验记录由CCD / CMOS阵列具有一个有限的程度上,有限数量的像素,和样品的强度分布测量。这是至关重要的因素在考虑这些系统的性能限制;参见[33,36]。他们也使理论分析和现在我们忽视这些因素,我们可以开发一个更简单的阶段理论描述的检索问题。

我们想象,我们可以测量强度在傅里叶域中无限范围和采样步长,非常小,因此,任何抽样效应可以忽略。我们还以为只有有限数量的完美点光源在输入平面(已知强度但未知阶段)为傅里叶平面强度分布。因此在这个分析我们排除任何物理限制因素强加于我们的系统测量的能力。这将使我们能够大大简化分析和集中在另一个有争议的更重要的效应:存在一个很大的数字替代方案的阶段检索问题。正如我们将要看到的可能是许多不同的相位值的组合可以产生相同的强度分布。因此这一阶段检索问题是不适定的。

我们参考图1,我们已经表明,贡献点光源Fourier-transformed光学傅里叶变换系统。这种类型的光学系统是众所周知的;见,例如,(4]。分布傅里叶平面缩放的波长, ,光源和镜头的焦距。它是方便的对于我们的目的来设置的 这样我们可以分析一个们傅里叶分布。这里分布事件在一个理想的录音材料,让我们记录连续强度分布。然后我们执行第二个们逆傅里叶变换在这个强度分布数值。然而我们注意到,尽管我们执行连续两个傅里叶操作(一个向前和逆变换),我们没有到达回到输入平面分布由于我们执行第二个傅里叶变换操作在傅里叶的强度分布不是复振幅,像在4 f成像系统(50]。

因此我们首先注意到一个点的傅里叶变换是由来源 在哪里点的空间位置是源”“虽然参数和分别指其相位和振幅。因此之和我们可以把不同的点来源 然而我们感兴趣的场的强度分布傅里叶平面。我们要记住一个复数的强度是由数乘以其共轭复数。记住这种关系我们现在写共轭表达式(2) ,“”是指一个复共轭操作。我们现在可以编写一个解析表达式的强度分布傅里叶平面简化时可以用以下形式 从(4我们可以看到,我们有一个余弦。对于每个给定的值有一个特定的空间频率成分 ,有 条款。更容易分析这种双重求和,最初集中在单一空间频率分量,也就是。,对于一个特定的值 ,我们参考等组件 。注意下面的三角关系, ,我们可以表达作为 在哪里 我们现在考虑的傅里叶反变换 ,我们专门定义为 现在再次在空间域,特别是“分析”飞机在图1。注意的是, 然后 我们看到从(9)复数(由正弦和余弦的总和)相乘 和 组件是复杂的相互配合。因此我们看到, 这 我们还记得,迭代器以上范围跨越 。检查(10)和(11),我们认识到,只有未知参数的值阶段, 。两个初始振幅和每一个方程的lh。lh值通过计算发现的强度分布测量的傅里叶变换在傅里叶平面上,看到“分析飞机”图1,确定产生的复杂函数的值的位置 。

我们还注意到更大的价值 ,较低的数量从(10)和(11),导致和 。当我们着手试图找到从(10)和(11),我们首先设置 ,在这种情况下,方程减少如下: 和 如果我们随意设置= 0,然后我们可以计算从以下 这意味着我们现在有价值对吗和 。

现在设置 ,(10)和(11)将减少如下: 和 是很有意义的考虑下一步的程序在我们推广的结果。设置 ,替换成(10)和(11),我们到达 和 我们又一次看到,我们可以计算的lh (17)和(18)从实验测量和使用值和估计在前面的迭代步骤。我们总结一下我们的理论结果到目前为止:(我)我们设置 和计算使用(14)(2)一次和确定,我们需要确定吗和从(12)和(13)(3)如果我们能找到的值和 ,然后我们需要重复这个过程来确定和(iv)我们重复这个迭代过程 次找到所有未知的相位值

进行进一步的因此,我们必须找到一个解决方案下面的耦合方程组 在哪里和是未知的相位值为特定一步迭代过程。使用Mathematica这样的软件包可以找到这些方程的解析解;然而并不是唯一的解决方案:可能有8耦合值和 。

3所示。算法分析

在本节中,我们将研究一些影响我们刚刚导出的理论分析。首先我们将研究如何可能减少可能的解决方案的数量在每一个迭代,减少八两。找到一个为每个阶段价值贡献点声源的算法必须穿过 步骤。每一步必须作出决定何种解决方案;我们看看这可以被认为是一组不同的可能的路径通过解空间。我们检查的特点解决方案产生的算法。最后,我们研究如何修剪(减少)解决方案空间排除“非物质的”解决方案并提出了一个算法来实现这个过程。

3.1。从八两个解决方案

我们注意到有可能改写耦合方程,(19)和(20.),在接下来的形式 在哪里 , 和我们使用的三角关系 因此我们可以把的 ,也就是说, 。使用(21找到一个表达式和潜艇的(22我们可以表达作为一个四次方程有四个可能的解决方案(51]。为每个值有两种可能的角度满足 因此8个可能的解决方案同样的八个解决方案 。

这是困难的地方与我们相检索方法认真地开始。虽然可以找到耦合方程的解析解(19)和(20.),解决方案对未知的一对有八个不同的可能的解决方案: 。然而实际上只有一个解决方案的双对应于实际的正确的物理结果。如果我们随机选择这些解决方案将有1/8的概率,我们选择正确答案。

在决定一个特定的选择 ,我们可以设置 并重复这个过程。因此每一步我们身体有1/8的机会猜测正确的解决方案,并为我们将需要约点来源 在算法的每一步的猜测。因此正确的机会,我们想为每个点光源是正确的阶段 ,这似乎是一个很小很小的概率。在实际检索系统我们可能希望找到实验阶段相位值, 。

幸运的是,我们从数值模拟发现,尽管可能主要有八个解决方案,包括解决方案与复杂的价值观,在实践中当我们真正的物理参数代入方程组的一些这些解决方案产生同样的回答。我们发现,在算法的每一步只生产两种解决方案。这是我们所有模拟的情况下运行。我们不追求这个问题进一步推断,在每一步迭代算法我们可以找到两个身体有效的解决方案,满足(19)和(20.)。

3.2。解决路径

从上一节,我们已经发现有可能在每个阶段的迭代过程来减少解决方案两个可能的答案。在每个阶段的算法然后“二进制”选择解决方案的选择。如果我们有那么我们必须穿过贡献点来源 阶段。在图2,我们描述如何追踪进展通过这样一个决策树,在这个例子中做出以下选择在每个阶段的算法, ;看到图中的红色虚线框2。还有可能的路径在总量和每个可能的路径被确定为一个独特的二进制数。例如,如果 ,然后有如果或8可能的解决方案 ,有而如果或128解决方案 可能的解决方案的数量跳跃到32768。

3.2.1之上。数值模拟的结果

我们已经运行大量数值模拟方程推导出的部分2一些有趣的结果,现在我们总结。(我)正确的阶段的解决方案总是出现在另一个不同的解决方案(2)绝大多数解决方案有复数的阶段,因此可以排除真实物理解决方案阶段检索问题(3)经常有一些其他的实值的解决方案除了实际的解决方案(iv)我们有几个数值模拟运行 。在一个运行我们发现有32768的解决方案是复杂的和剩下的2解决方案是实值,其中一个解决方案是正确的一步。在第二次运行我们发现解决方案是复杂而剩下的6是实值,其中一个是正确的解决方案。

我们得出结论,如果我们有无限的计算资源和时间原则上即使可以计算所有可能的解决方案是非常大的,例如, 。然而在实践这个计算会导致解决方案空间 ,这不是可行的标准计算资源。当相对较小和所有可能的解决方案可以计算我们发现绝大多数是复杂的价值,只有少量的解决方案是真实的价值。

3.3。修剪的解空间

从我们的初步分析报告在前一节中,我们发现绝大多数的解决方案产生相位值,是复杂的,因此“非物质的性质,可以丢弃。这打开了修剪解决方案空间的机会。现在我们将概述一个策略可以大大减少了搜索空间。这个解决方案取决于独特的二进制数,确定每个特定路径的搜索空间,我们注意到,这将是一个位数字。当我们穿越解决方案空间我们将需要一个变量,我们称之为跟踪我们在搜索树。我们还需要一个迭代器变量指算法的“舞台”;参见图2。

从图2我们看到,在第一个阶段,即。,当 ,我们确定的值和当 ,我们确定可能的候选人和 ,我们表示,和 。我们最初设置所有零和的长度 。例如,如果 然后开始将被设置为 。我们还需要解决个人部分具体来说。我们使用以下符号 ,在哪里是指个人的一点。我们用下面的例子来说明:考虑时的情况 然后 , , 。

然后算法运行如下:(我)对于一个给定的 ,集 和 的长度是 ,(2)而 ,(1)用情商。20.和情商。21),发现和(2)如果 ,然后 = ,其他的 =(3)如果 实值那么 ,(4)其他:如果 然后设置 ,其他的 , (3)返回

该算法通过搜索空间检查运行的解决方案。如果找到一个复杂的解决方案将选择备选解决方案。对于一个给定的如果两阶段算法和是复杂的算法将返回搜索树,更新吗通过搜索空间和选择一条不同的道路。该算法将只返回第一个找到的实值的解决方案,但可以修改返回所有物理意义的解决方案。

当采用“修剪”的方法来搜索解空间,我们必须仍然很大的空间;然而每个路径搜索的深度将会大大减少;见,例如,(52]。这将大大降低数值操作的数量。相位检索问题能否解决取决于分支的速度(或搜索的深度)在给定的路径可以被排除在进一步搜索。根据模拟结果的初步分析我们发现当一个深度必须搜索路径在一个不正确的复杂的返回值相位估计可以使用统计方法建模。我们发现,平均路径长度大约遵循负指数分布类似于散斑强度统计(37,53]。

4所示。结论

在这个手稿中,我们介绍了测量光学波场的相位问题。的介绍,我们简要地回顾了几种方法进行测量之前专注于迭代阶段检索。在这些阶段检索问题试图估计波场的相位通常使用两个或两个以上的强度分布在不同的线性正则变换的飞机。迭代的基于FFT算法是采用音乐/修改迭代相位值,数值计算的强度分布和强度分布是被俘的实验最小化。Fienup [41)比较该算法梯度下降算法。与这样的优化算法,通常情况下他们可以停滞在局部最小值,生产阶段估计是相当正确的物理方案。尤其当初始猜测阶段分布非常远离这个正确的物理解决方案(46]。这是一个重要的问题,不同的方法改善这些算法是一个活跃的研究课题。然而可以理解有一个强调这些算法的数值计算方面。

这里我们有故意选择检查一个简化版的阶段检索问题,假设我们可以完美的测量图像的强度分布和其相应的傅里叶平面。我们假设在图像平面上的分布点光源与未知的相位值。重要的是,我们认为我们可以测量的强度分布傅里叶平面无限程度和无限高分辨率;简而言之,我们认为我们可以完全测量连续的强度分布。我们发现以下这些理想化的条件下:(1)原则上可以找到解决相位检索问题的物理约束满足问题。迭代算法寻找这些解决方案工作但确定性,会发现许多解决方案中返回身体正确的解决方案(2)解决方案的数量是巨大的;如果有贡献点光源可能的解决方案;然而绝大多数的这些解决方案是复杂的价值,因此“非物质的”候选人,可以排除潜在解决方案(3)我们可以修改算法,这样“非物质的”解决方案被排除在外,我们称之为修剪。使用修剪方法我们可以显著降低的空间可能的解决方案。修剪方法可以近似估计的性能使用统计技术。关键因素决定是否该算法可以计算在一个现实的时间之前的“分支”率或深度搜索给定的解决方案可以被排除在外

是很重要也凸显了重要实践这个理论分析的不足。

4.1。物理模型

我们模型的相位值我们希望恢复为一组点光源(振幅)在一个图像平面上相互分离的统一的一个固定的距离, 。当然光学波场在本质上是连续的,这只是一个近似表示真实的物理领域。然而在标准迭代阶段检索问题,在每个像素强度值测量被认为是一个点光源;因此我们使用的字段的描述符合标准的方法在文献中。

然而有不同强度分布的建模本文记录在傅里叶平面。有效地在本文中,我们假设我们可以测量连续傅里叶平面强度;也就是说,it is as if we can record and measure the intensity over an infinite plane in the Fourier domain and with an infinitely fine spatial resolution. Making these assumptions means that we can develop convenient analytical equations relating the unknown phase values directly to experimental measurements. These analytical equations are used then to develop the iterative algorithm so that the phase values can be estimated. This contrasts with real experimental systems in that the intensity in the Fourier plane is measured only at a finite number of locations, i.e., at each pixel, and is therefore sampled. And secondly the Fourier intensity distribution is only measured over the finite extent of the CCD/CMOS array. This summarizes the theoretical differences between the analysis presented in this manuscript and the standard theoretical treatment of the iterative phase retrieval problem.

然而我们注意到,可以复制实验的理论条件我们已经假定在手稿。我们可以做到这一点,让几个人测量的傅里叶平面强度分布,我们之间移动CCD / CMOS阵列测量。然后使用标准数字信号处理操作我们综合增加空间分辨率和空间范围的测量单一强度测量缝合在一起。

4.2。噪声的影响

这种理论方法的一个重要缺点是,即使是少量的测量噪声的影响将对算法。在每个实验中测量误差,例如,电子噪声CCD或CMOS读出的设备。如果一个测量了一个变量,信号电平低,相对误差会更大(36]。在这里所描述的情况,我们发现强度测量与高空间频率较低的点光源。例如,测量的最高空间频率分量的贡献只有两个点光源。通常(但不总是)这些测量将包含最噪音。然而这些测量是用来直接估计和 ,进而满足迭代回算法和反复用于估计其余的相位值。

所以我们可以看到将这种理论方法变成一个实际的解决方案将需要仔细的实验测量和额外的信号处理算法的发展在这些测量克服不可避免的噪声。尽管如此,我们希望通过接近阶段检索问题从不同的方向我们也刺激一些新的有趣的想法和见解,阐明阶段的解决方案空间分布的特点,从强度测量中恢复过来。

4.3。扩展到二维

在这个手稿我们故意集中在一个简单的一维理论模型(我们只考虑和空间坐标),这样我们可以检查阶段检索问题的不同方面。我们选择设置为零,然后迭代求出其他相位值。扩展2 d,我们考虑两种和以及空间坐标,不一定是简单,会改变取决于贡献点光源的几何形状。例如,如果贡献点光源排列在一个平方晶格,那么最高空间频率成分源自两点源空间分开的最大数量,即。广场的顶点。正方形有四个顶点;我们只能分配一个相位值0到其中一个顶点,它充当一个有效的参考价值。连续照明与光行1 d也可以考虑于是1 d分析认为这里可能更容易扩展。

数据可用性

这是一个理论:信号处理所有数据可以从生成方程。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者欣然承认欧盟委员会(h2020 - twinn - 2015整体项目Nr。687328),支持他参加暑期学校“数字全息术和相关技术”组织在斯图加特,2017年6月研讨会。本文中描述的一部分工作结果的讨论,作者曾在此会议。

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