分析结构的周期和常规级联Self-Pulsing激光解决方案

文摘

新提出的强烈谐波展开法应用于laser-Lorenz方程分析构造一些典型的解决方案,包括著名的最初几个扩张倍周期特征系统的级联self-pulsing政权的操作。这些解决方案显示发展的驱动频率按照永久解决方案,我们最近报道来演示系统。过程相当于分析构造信号的傅里叶变换应用迭代算法重建的前几项发展。

1。介绍

标准的激光方程描述半古典的atom-field单向环形腔内的交互。在均匀扩大系统的情况下,这些方程转换,足够近似后,一组简单的三个非线性耦合微分方程,所谓laser-Lorenz方程(1- - - - - -7]。尽管他们惊人的简单,这些方程提供非常广泛的解决方案在运行的不稳定的政权,从稳定的一个典型的分层级联结束飘忽不定时间的痕迹。

脉冲的解决方案必须找到这些方程的数值积分(5]。这是公认的思想盛行在科学界参与激光动态问题自从劳工证明之间的类比单模激光方程和流体湍流的洛伦兹模型(3]。后立即承认这样一个类比,前所未有的冲进电脑了(见[2,5),和引用其中的更多细节)。尽管巨大的文学,是致力于系统在过去的三十年里,对这门学科的兴趣似乎并没有缩小多年来(8- - - - - -11]。

与laser-Lorenz动力学的分析方面,我们最近重新强大的系统应用谐波展开法(10],它揭示了非常真实的处理系统的某些特性不稳定的行为。过程,进行三阶场幅度,使得我们提取,首次在动态文学,第二本征频率,这已被证明是一个不稳定的内在属性系统的永久性的解决方案。这个新的固有频率,添加到著名的瞬时频率,这是根植于标准一阶小信号分析,给出了系统的所有属性双频计划,从大部分的物理解释的动力已经退出(11]。

本文旨在证明分析信息提取等三阶扩张分析自然产生了一个简单的方法来构造周期解。典型以及特殊的例子,包括著名的倍周期结构后增加励磁参数直接构建。

2。提醒的Laser-Lorenz方程

最简单的归一化形式,著名的单模均匀加宽激光器方程写(2,3,10,11] 在哪里分别代表激光场幅度,极化,放大介质的粒子数反转,和分别是,衰变速率腔和人口松弛率,都按比例缩小的极化弛豫速率,而2C是一个激发参数与外部相关泵机制,负责粒子数反转。没有尝试,这里,回忆起这些方程的全部属性,因为这些方程是描述在许多书籍和体积的章节,除了很多贡献》杂志上。

3所示。典型的数字解决方案的层次结构

规则和不规则的脉冲解决方案已知描述(1)为低值。让我们中心关注倍周期序列结构本身后增加励磁参数2C,得到了腔和材料参数和。

图1代表的进化激光场变量以及相应的频率谱,得到一个标准的快速傅里叶变换算法。到,解决方案是一个对称的一个解决方案(见图1(一))和频谱由组件在Δ,3Δ5Δ等等(见图1(d))。Δ讯号跟踪的基本角频率。增加励磁参数对称的解决方案转换成非对称信号,用一个例子表示在图1(b)。请注意,相应的频谱(见图1(e))展品附加组件2Δ4Δ,6Δ。这是第一个签名的倍周期序列中观察到的输出强度。为,不对称信号显示时期二振荡(见图1(c)),而频谱显示附加组件1.5Δ,2.5Δ3.5Δ等等(见图1(f))。相应的强度是第四期信号(可能从图检查2(c))。

让我们指出,所有的解决方案在图表示1,周围的场幅度经历永久转换为值。这种行为构成了强烈的谐波展开法的基础上,这是下一节中列出。

表示粒子数反转的变量显示一个进化根据以下方案。到,跟踪是一个常规周期振荡,与夏普组件在频谱2Δ4Δ6Δ等等。增加了2C将周期解决方案转换成时期二信号,相应的频谱显示附加组件在Δ,3Δ5Δ等等。为,第四期振荡特征的解决方案,而频谱由之前的组件和新兴小峰在0.5Δ1.5Δ,2.5Δ等等。

构造相应的分析结构之前,让我们变成基本分析考虑。为了描述脉冲的基本功能的解决方案,我们将首先简要概述一个适应强烈的谐波展开方法的基本步骤,收益率角频率脉动状态的解析表达式,以及在头几个谐波组件相应的解析解。

4所示。很强的谐波展开分析的长期解决方案

适应的长期解决方案图1下面的傅里叶展开: 的索引知识产权和人事处分别站在阶段的阶段。

当上述扩展插入(1),发现一套分层的代数关系。这些表明,该字段和极化扩张(2)和(2 b)都包含奇怪的条款而人口反演发展(2摄氏度甚至)包含条款,符合非线性耦合(1)和光谱如图1。第一,第三,基于激光场扩张条件(2)派生经过漫长的,但简单的计算和采取的形式 与 上面的程序中,限于三阶,也给长期的封闭表达式脉动的固定衰减率和2,可调节励磁参数C写(,(10): 让我们指出的那样,在这个阶段,最后表情带有脉冲构建的基本意义永久脉冲状态,而通常的小信号的瞬态振动分析只给轻松的解决方案。

5。分析结构的脉动的解决方案

5.1。第一个例子:周期为1的解决方案

让我们关注周期图的例子1(a),看看激光光场的解析解结构本身随着秩序扩张。长期的工作频率估计(4)。如果一个限制扩张(2)一阶,解决方案只有正弦跟踪,而包含的三阶字段组件作为评估(3)和(3 b),分别为普通解决方案结构本身的迹象。例如,对于常规的解决方案获得略高于不稳定性阈值,,这些组件的价值评估和,而相应的长期频率。因此,三阶,分析领域扩张写道

为了获得一个更好的选择,计算扩展向第五场幅度秩序。同样的参数值,(3 c)的收益率。第五阶,分析领域扩张这样写道 冗长且费时的计算(增加错误出现率随着阶项评估)需要获得5次条款不鼓励尝试进一步高次项的决心。相反,一种更方便的方式寻找高阶项的振幅由直接评价频率谱的峰高的组件对应的数值解。这样一个过程直接收益率分析解决方案所需的命令。最高阶项的重要性是由相应的频率分量的频谱。图的例子1建议扩大11项。延长扩张第九秩序仍显示一些差异与精确数值解。适应发展需要考虑所有条款第十一秩序。这说明在脉冲构建每个订单的重要性。

最后分析扩张周期振荡这样写道

奇数阶扩张(7)仍然有效,只要解决由对称周期振荡,即从(不稳定性阈值)。事实上,场幅度组件依赖于励磁参数,必须单独评估每个激励水平。这些组件的值了直接从相应的傅里叶中提取的组件图吗1(d)。

现在,让我们关注的不对称和时期二信号数据1(b)和1分别(c)。以下分段表明,即使对这些看似更复杂的例子;上面的过程似乎是很好的适应找到相应的傅里叶展开分析。

5.2。建筑倍周期的级联

图的不对称的解决方案1(b)来自额外的外观,甚至中间组件对应的频谱(见图1(e))。因此,显然是一个不对称的常规解决方案必须包含奇怪甚至以及频率成分,源于强大的激光场变量之间的非线性相互作用,与一个奇怪的扩张发展结构,粒子数反转的傅里叶发展有一个更的形式。该领域扩张这样写道

快速傅里叶变换的振幅是评价图1(e)。当这些振幅插入(8),一个发现,使用(4),完成图的分析表示1(b)。

最后,图的时期二的解决方案1(c)由推断条款1.5Δ包含表单的频率成分,2.5Δ,3.5Δ等等。这些术语出现在相应的频谱图1(f)的时期二解图1(c)是由以下field-expansion:描述

快速傅里叶变换的振幅得到的图1(f),获得的解有相同的结构如图1(c)。

倍周期的最后说明级联,我们代表了场强信号对应于图的层次结构1随着分析同行的比较。这是显示在图2。最初的几倍周期序列展示一个完美的解析解和数值解之间的匹配。这些表示证明数值倍周期序列特有的(1)可以适应strong-harmonic展开法构造的分析。事实上,适用的方法是整个内部控制参数空间展览周期解。其他一些有趣的例子,获得与无限维的系统越复杂,给出了(12]。

6。结论

我们最近推出了很强的谐波展开技术延伸到laser-Lorenz方程找到一个分析的描述几个典型的解决方案,描述单模self-pulsing政权的均匀加宽激光器bad-cavity配置操作。这里的方法是相当一般适用于其他定性微分方程组具有相同的self-pulsing属性。特别是,著名的积分微分方程“Maxwell-Bloch”适应描述单模非齐次扩大激光的不稳定状态,同时,处理同样的方法(12]。然而,涉及代数要复杂得多,分析计算仅限于三阶场幅度。

即使在非常简单的情况下,提出了本文所涉及的非常漫长而尴尬的代数高阶项的决心不允许我们评估高于基于组件。尽管有这些限制,我们提出了一个相当简单的方法来确定完整的解决方案通过推断field-amplitudes直接从场幅度谱获得了快速傅里叶变换的时间信号。方法已应用于描述、分析、倍周期序列的前几个解决方案,特有的洛伦茨方程,发生后增加励磁参数。尽管大多数的分析集中在固定控制参数(cavity-decay率和粒子数反转弛豫率),该方法包含足够的普遍性可以扩展到整个展览常规脉冲参数空间的解决方案。选择的示例部分5显示足够强大的证据的效力强劲的谐波扩展技术。值得再次提及和强调这样一个事实这背后的主要线索分析self-pulsing解决方案的建设源于驾驶角频率的解析表达式,进而植根于第一,三阶谐波扩展条款。一次,驱动频率评估,找到完整的解决方案仅仅相当于评估相应的傅里叶展开的激光场组件。

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