文摘

在这篇文章中,我们证明了最小的特点理想和最小广义理想,这是一个最小的左理想,最小的理想,bi-ideal充要条件, - - - - - -理想的戒指,要么是零个或一个质数 。当特点是零,那么理想最小(最小广义理想)加法群非挠,当特征 ,然后每个元素加法群的秩序 。此外,我们给出一些属性为广义极小理想和理想,取决于他们的特点。

1。介绍

在本文通过环,我们是指一个关联环并不一定有一个单位元素。本文从命题强劲的动机(1]即一个简单的戒指的特点是零或一个质数。这个结果的特点,一个简单的戒指,这是最小的理想的模拟环本身,是最小的理想和扩展最小广义理想。通过广义理想,我们指左理想,正确的理想,充要条件(2),bi-ideals (3),而 - - - - - -理想的非负整数 (4]。

首先,我们将证明这个定理:一个最小的理想的特点(广义理想)在一个环 要么是零个或一个质数 。如果 ,然后极小理想(广义理想)视为一个加法群 非挠。如果 ,当是质数,那么加法群的每一个元素 的订单 。此外,通过这个定理,我们提供一些关于最小的理想和最小广义理想的结果。因此,等等,我们得到一个零环(环零乘法)的特征不是一个质数理想不能最小(最小广义理想)的戒指。通过这个推论,我们获得无限多的反例(一个开放问题提出的2),首次解决了只有一个反例(5]。

最小的左理想,最小的理想和最小的充要条件有其特征为零,这是证明,每一个质数 ,他们的添加剂组 - - - - - -可分割的。此外,最少的充要条件的戒指的交点属性(这意味着它的十字路口左理想和右理想),零特征(特征 ),我们证明,如果 是 - - - - - -等效 - - - - - -等价的, - - - - - -等价的)元素 ,那最小的充要条件零特征(特征 )。

最后,在本文的最后,一个简化的命题5 (6]公式给出,因此一个较短的证明。最初的证明(6)是一个更复杂,给了一个更简单的证明它对我们来说是另一个动机。

在本文中,两个开放问题出现在最后一节。

这项工作是为了给一些属性的扩展为广义极小理想和理想在环依赖他们的特点。

2。预赛

我们提出一些概念和一些辅助的结果将用于在纸上。

定义1。(见[7])。一个阿贝尔群 被称为 - - - - - -可分割的' ,如果对于每一个 ,存在 这样 。

定义2。(见[8])。一个阿贝尔群据说非挠集团如果没有元素以外的身份是有限的。
广义的理想在环,我们应当考虑左理想,正确的理想,充要条件,bi-ideals, - - - - - -理想的地方 是每一个非负整数,其定义如下(是抑制如果 ):

定义3。(见[2])。环的充要条件 被称为添加剂子组吗的 如果 。

定义4。(见[3])。一子环的戒指 被称为bi-ideal如果 。

定义5。(见[4])。对每一个非负整数 ,一子环的环 被称为 - - - - - -理想如果 。
让是一个元素的一个戒指 。所有的交集理想(广义理想)它包含的元素被称为主要理想(校长广义理想)生成的 。校长理想(左理想,右理想,充要条件)用( , , ,分别)。很容易看到,每一个元素的戒指 ,我们有

命题1(见[1])。让是一个非零元素的一个黄金戒指假设有一个正整数这样 。然后,有特点 ,和是一个质数。

在[6),绿色的关系 介绍和研究,这是绿色的类似物的关系 , , 在普通半群(9]。所以绿色环的关系是由

事实证明, 是等价关系。各自的等价类 是用 , ,和 ,分别。

在[6),它是证明 上下班, ,而且是一种等价关系。所以,我们有绿色的关系在 ,这是 。的等价类包含 用 。

据说充要条件的环交叉属性如果是十字路口左理想和理想。

定理1(见[6])。让 两个元素的戒指这样 。主要的充要条件最小,十字路口财产当且仅当同样的坚持吗。

在[6),还介绍和研究了关系”主要生成相同的充要条件,”也就是说,

很容易看到的关系是一种等价关系, 。在[6),不同于半群,表明,包容 是严格的,以下命题证明。

命题2(命题5 [6])。如果一个最小的充要条件在一个环子环,其特征不是质数,呢 是一个 - - - - - -类。

在[10),作者已经证明这绿色的关系 和在环保持充要条件的最小化。,这是上面生成的类的结构关系,有一个最小的充要条件。

3所示。主要结果

由于每个简单的戒指是质数,然后由命题1环,它遵循一个简单的特点是零个或一个质数。这同样适用于每一个最小的理想(广义理想)以下定理表明,关于其特点也给进一步的属性。

定理2。最小的理想的特点(广义理想)在一个环 要么是零个或一个质数 。如果 ,最小的理想(广义理想),被视为一个加法群, 非挠。如果 ,然后添加剂组的每个元素 的订单 。

证明。我们将证明只有最少的理想,并为其他人也同样证明。
我们将考虑两种可能的情况:第一个例子: 。在这种情况下,每一个正整数 ,存在一个元素 这样 。对于每一个元素 ,我们有 然后,存在一个整数和元素 的这样 如果有一个正整数 ,这样 ,然后我们将得到 这是一个矛盾。因此,任何非零元素的加法群的顺序 是无限的,因此,该集团 非挠。例二: ,在哪里是一个正整数不小于2。因此,对于每一个元素 的 ,我们有 ,和每一个正整数这样 ,存在一个元素 的这样 。自 ,然后再平等(5)适用。通过这种平等,因此,每一个元素 的 ,我们有 。因此,每一个元素的顺序 加法群的 是 。柯西定理,为每一个主要因子的 ,存在一个元素 加法群的 这有其秩序 。自 ,然后我们找到整数和元素 的环这样 这种平等,我们有 如果有一个正整数这样 ,然后我们会 。自 ,那么存在一个整数和元素 的环这样 通过这种平等,我们得到的 因此,我们有平等 这是一个矛盾因此, ,这是 ,在哪里是一个质数,任何元素的顺序的是由于每个简单的环是最小的理想 ,然后以定理2,我们有以下两个推论(第一部分的第一个推论来自命题2):

推论1。(1)如果 是一个简单的戒指,然后其特点是零或一个素数(2)如果 ,然后加法群 是一个非挠集团(3)如果 , '然后添加剂组的每个元素 有订单

推论2。如果 是一个简单的戒指,然后呢(1) 当且仅当 对于每一个最小广义理想在(2) , 质数,当且仅当 对于每一个最小广义理想在由定理2立即,我们得到以下推论:

推论3。如果一个环的特点不是质数,则没有戒指吗这样是最小的理想或最小广义理想 。

通过上面的推论,它遵循整数环模块 ,在哪里不是素数, ,的环 矩阵的元素 ,系数的多项式环不能最小的理想或最小广义理想的戒指。

作为一个特定情况下的必然结果3,我们有任何环零乘法(零环),其特点不是质数不能最小的理想或最小广义理想的戒指。

的充要条件,视为广义理想,与零乘法(2),l .都会引发了这个问题:给定一个零环确实存在一个戒指吗这样是一个最小的充要条件的 。

这个开放的问题是解决负面与一个反例(5]。在这里,我们发现无穷许多零环不能一些环的充要条件。例如,让我们考虑添加剂组 ,对于每个非质数号码 ,戒指的添加剂组 矩阵的元素 ,和添加剂组多项式的系数 。他们可以制成要求零环,通过定义他们的乘法 ,0是增加他们的身份。

最小的左理想,最小的理想,和充要条件, - - - - - -理想, 和 - - - - - -理想, ,定理的一部分2是锐化。

定理3。如果最小的特征左理想(右理想,充要条件, - - - - - -理想, , - - - - - -理想, )的戒指是零,那么这个最小的左理想(右理想,充要条件, - - - - - -理想, , - - - - - -理想, )视为一个加法群为每个主要可分 。

证明。我们将证明只剩下最小的理想和最小的充要条件:剩下的同样的证据。
让是一个最小的左理想的环这样 。由定理2我们有, 是一个非挠。因此,每一个质数对于每一个元素 ,我们有 。自是最小的, 然后我们有 。然后,存在一个整数和一个元素 这样 。这种平等,我们有 。整数不为零;因此,通过定理2,我们有 。自是最小的, 然后我们得到 。所以,存在一个整数和元素 这样 通过这种平等,如果我们表示 ,然后我们有 ,在哪里 ,因此,最小左理想作为一个加法群 - - - - - -为每个主要可分 。
现在,我们给最小的充要条件的证明在环 。由定理2对于每一个'和每一个元素 的 ,我们有 。自是最小的充要条件, 然后我们有 。然后,存在一个整数和两个元素 的这样 通过这些等式,我们发现 整数不为零,通过定理呢2,我们有 。自是最小的充要条件, 然后我们有 。然后,存在整数 和元素 的这样 通过这些等式,我们发现 ,在哪里 和 。但 因此, ,在哪里 ,因此,最小的充要条件作为一个加法群 - - - - - -为每个主要可分 。
的最小广义理想没有考虑定理3,下面的开放问题出现:

问题1。定理的主张吗3适用于最小的理想,特别是对于简单的戒指,bi-ideal很小,很小 - - - - - -理想的地方 或 吗?
(所示1)存在简单的戒指没有身份的元素。由此可见,有最小的理想环没有身份的元素。另一方面,也在1),它是证明每一个简单的零特征对诺特环都有一个身份元素。按照这个命题,开放的问题如下:

问题2。做最小的理想(最小左理想,最小的右理想)对诺特环的零特征标识元素吗?
现在,我们将展示的特点一个最小的充要条件十字路口属性将从每个格林关系的“转移” 和在环。准确地说,我们有如下定理:

定理4。让 两个元素的戒指这样 。然后,校长充要条件很小的零特征(特征 , - - - - - -),十字路口旺铺当且仅当同样适用。

证明。在视图之间的二元性和和的定义 ,它只可以证明这个定理的关系 。
自 ,然后通过定理1,校长充要条件是最小的,十字路口财产当且仅当这个方法同样适用于 。它还表明,如果零特征(特征 , - - - - - -'),然后零特征(特征 , - - - - - -')。
自 ,那么存在一个整数和一个元素 这样 。因此,由命题1 (6),映射 是一个双射。此外,每两个元素 的 ,我们有 这个等式表明,是一种添加剂组同构。所以,充要条件 作为环添加剂组是同构的。现在是最小的充要条件 有相同的特点。
由定理2特点,环的充要条件是零个或一个质数,因此,下面我们将证明的命题与命题是等价的2,但这里的证明我们给有点简单,短于命题的证明2(命题5 (6])。

命题3。如果一个最小的充要条件的戒指有其特有的零,那么 是一个 - - - - - -类。

证明。自是一个最小的充要条件吗 ,然后对每一个' ,存在一个元素 这样 。作为是一个最小的充要条件,我们有什么 然后,存在整数 和元素 这样 因此, 通过这些等式,我们得到的 整数 不为零,所以定理3,我们有 。自 和是一个最小的充要条件,然后我们得到了什么 。因此,存在的元素 的这样 。现在,让是一个任意的元素 。然后,存在的元素 这样 。自 是一个最小的充要条件,然后呢 ,因此, 。因此, 最后,我们有 。

4所示。结论

在本文中,我们表明,最小的理想和最小广义理想的特点在戒指,不一定有一个标识元素,零个或一个质数。此外,我们给了一些属性为广义极小理想和理想,取决于他们的特点。通过使用这些结果和绿色的关系,我们展示了一个额外的结果,也就是说,最小的特点充要条件的交点属性将格林关系转移从每个戒指。更具体地说,如果和两个元素的戒指吗这样 ,然后校长充要条件很小的零特征(特征 , - - - - - -),十字路口旺铺当且仅当同样适用 。结果领导提出以下问题:(1)校长bi-ideal之间会发生什么和校长bi-ideal如果在一个环 吗?(2)定理的主张吗3适用于最小的理想,特别是对于简单的戒指,最小bi-ideal和最小 - - - - - -理想的地方 或 吗?(3)做最小的理想(最小左理想,最小的右理想)对诺特环的零特征标识元素吗?(4)我们可以扩展这些结果hyper-rings等其他结构,三元环, - - - - - -环等。

这些问题将是我们未来工作的潜在目标。

数据可用性

没有数据被用来支持这个研究的发现,因为本文是在纯粹的数学(代数),所有结果都在这些领域。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。