文摘
在本文中,我们应用Daftardar-Gejji和贾法里(DJM)方法解决multispecies生态方程。DJM之间的比较,微分变换法(DTM)变分迭代法(VIM)和Adomian分解方法(ADM)显示了DJM是一个可靠和强大的方法求解非线性方程。这种方法的效率和适用性确认正在考虑一些例子。提出过程提供了更好的结果相比,现有的一些方法。
1。介绍
数学领域称为数值分析负责提出实用的计算来解决复杂的计算方法计算。大部分的数学问题在工程和科学是非常具有挑战性的,有时,没有简单的解决方案。做一个简单的解决困难的数学问题,测量是至关重要的。作为一个当代的科学家和工程师的工具,计算能力越来越受欢迎,由于巨大的计算技术的发展。因此,各种各样的软件包,包括MATLAB数学软件,枫树,和其他人,甚至被创建来解决最具挑战性的问题迅速和简单。这些项目提供的特性,利用传统的数值技术,允许用户运行一个命令没有输入任何参数和获得期望的结果。创建、分析和应用的算法为解决数值问题在连续数学都是用数值分析的方法,主要是利用数学和计算机科学。这类问题经常出现在现实世界代数、几何、微积分应用,还包括连续变量。这些问题出现在各领域的研究,包括科学和社会科学,工程,医疗保健,和业务(1- - - - - -9]。数值分析了现实的数学模型,在科学和工程越来越普遍在过去50年的结果在数字计算机的能力和可访问性的扩张。我们将了解更多关于数值方法及其分析。PDE的解决方案可能会使用相同的常微分方程数值方法解决。许多困难可以解决使用提到的技术处理初始值的问题,例如,看到引用(6,10- - - - - -14]。
生态方程描述一个生物系统的历史时间(15]。生态方程应用于工程领域。一个物种的生态方程用于演示一个简单的非线性控制系统(16]。
生态方程解决了许多数值方法如混合深度网络(17),Grobner基消元法(18),广义同步控制方法(19)、微分变换法(DTM) [20.],Adomian分解方法(ADM)和变分迭代法(VIM) [21]。
微分变换方法(DTM)首次提出了周(22)还(检查(23,24])。DTM是一个迭代的方法,获得不同类型的微分方程的泰勒级数的解决方案(见[20.,25- - - - - -27])。DTM可以直接用于不同类型的DEs无需线性化,离散化,或摄动,这是一个非常精确的方法减少计算工作(28]。
Adomian分解方法(ADM), Adomian[推出了29日)解决非线性微分方程和物理问题(30.- - - - - -33]。
首次提出了VIM他(34)(参见[35- - - - - -37])。VIM已成功地用于许多普通和偏微分方程21,38- - - - - -40]。
2006年,首次提出了DJM Daftardar-Gejji和贾法里41];该方法可以解决许多非线性微分方程和物理问题(42- - - - - -52]。最近,DJM应用创建一个完全新的预估方法(53,54]。努尔et al。55- - - - - -59)使用DJM创建数字技术来解决代数方程。
在本文中,我们应用DJM解决multispecies生态与DTM方程和比较结果,VIM, ADM和精确解显示该方法的简单性和准确性。这种方法的效率和适用性确认正在考虑一些例子。提出过程提供了更好的结果相比,现有的一些方法。DJM方法将以直接的方式没有任何线性化,实现扰动或限制性的假设。
2。Daftardar-Gejji和贾法里方法(DJM)
在这里,DJM ([41])将被描述,它被成功地应用于解决非线性DEs下列形式: 在哪里是一个函数,线性算子和吗是非线性算子。方程解(1)将遵循:
假设
所以,
因此,分解如下:
所以,
自是线性的,那么
然后,
因此,
的项近似解给出如下:
3所示。收敛的DJM
定理1。“对于任何和一些真正的 和 如果是在附近的和 ,然后绝对收敛, 。”
证明。请参见文献[46)的详细证明。
定理2。”系列绝对收敛,如果是和 。”
证明。请参见文献[46)的详细证明。
4所示。分析Multispecies生态方程
在本节中,我们将研究一般生态系统形式如下:
求解方程(11与初始条件) Daftardar-Gejji和贾法里(DJM)方法,我们把它写在下列积分方程:
然后,我们将DJM在前一节中。
4.1。一个物种
在本节中,方程(11)减少到一个物种: 在哪里和是常数。与精确解,
求解方程(13与初始条件) Daftardar-Gejji和贾法里(DJM)方法,我们把它写在下列积分方程:
通过应用DJM,我们获得以下:
篇解决方案如下:
4.2。两个物种
在本节中,方程(11)减少到两个物种: 在哪里 , , , , ,和是常数。
求解方程(18)和(19)通过DJM初始条件 和 ,我们把它写在下列积分方程:
其余组件的公式(20.)和(20.)可以获得使用计算机代数包枫。
4.3。三个物种
在本节中,方程(11)是减少到三种: 在哪里和是常数。
求解方程(21)- (23)通过DJM初始条件 , ,和 ,我们把它写在下列积分方程:
再次,其余组件的公式(24)- (26)可以获得使用计算机代数包枫。
5。讨论
我们使用枫DJM算法代码。枫数字环境变量设置为16在所有计算完成。
通过使用获得的数值解与精确解的比较DJM和那些通过ADM (21],DTM [20.],VIM (40]。表1显示了一个比较准确的解决方案,这四个迭代DJM DTM的订单6,两个迭代的VIM, 3项ADM ,和 为 ;我们可以看到该方法有效解决了一个物种生态方程。在表2,我们比较四个迭代DJM DTM, VIM, ADM的精确解 ,和 为 ;在这个表中,我们可以证明DJM大的稳定性 。在表3,我们执行数值比较的时候 ,和 。在表4,我们比较DJM 4-Iterate VIM和RK4时 ,和
6。结论
在本文中,DJM用于解决multispecies生态方程。Daftardar-Gejji和贾法里方法实施直接的方式没有任何线性化,扰动或限制性的假设。比较与VIM、DTM和ADM表明DJM是一个更好的方法求解非线性方程。我们证明了DJM是精确和有效的方法来解决multispecies生态方程。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。