文摘

飞机在外地分数阶波问题的热弹性力学研究。我们已经考虑了x- - - - - -y飞机外地部分热弹性力学的控制方程,解决了这些控制方程计算方程的频率。这个频率显示,三组波的存在,在这两个耦合与非耦合。面波的反射系数为古典理论和LS理论计算。相速度的影响,具体损失,衰减系数对两种理论的频率和非局部参数(LS理论和热弹性力学的经典理论)研究了数字传播波,和绘制图形和彻底解释道。

1。介绍

恢复原来形状的力学变形的身体一旦力量导致变形被称为弹性理论。最早的重要尝试创建一个使用连续介质弹性理论方法,在避免推测关于身体的分子结构和宏观事件表示字段变量而言,来源于18世纪的第一部分。自那以后,大量的研究已经进入理解弹性理论及其应用领域的工程和物理。弹性特征的一个最重要的矿物特征检测地球的物理和化学条件和定义原子间力。声波速度在单晶样品提供最完整和精确弹性数据的集合。超声波方法如MC Skimin[1961]脉冲叠加法和Papadakis[1967]脉冲回波重叠法可以产生声波速度与分数的百分比不确定性。然而,由于技术的样本容量限制和额外的挑战,可怜的晶体对称性,矿物的数量描述了使用这种方法是非常小的。切割和抛光需要创建正确的表面对晶体轴对齐。在参考声波波长,样品应该是巨大的(一般在30 - 300毫米)。此外,样品应该足够大的渡越时间的准确测量和个人及时杰出的回声,而又不造成困难由于纳秒脉冲决议。 After parallel sides have been constructed, all of these criteria normally determine a minimum sample length of around 2 mm. Eringen[1]讨论了平面的色散波和非局部线性弹性理论。默罕默德和歌曲2]研究了平面波的反射下静水初始应力的弹性固体半空间没有能量损失。

毕奥(3提出了耦合热弹性力学理论,消除了非耦合理论的矛盾,即弹性对温度的变化没有影响。在这两种理论,热扩散方程的类型,它预测,热浪传播速度无限物理观测结果相矛盾。在过去的几年里,热弹性理论得到了发展,哪个州热信号传播速度有限。这些模理论,与传统的热弹性力学理论,利用双曲型热传输方程显示波型传热的存在。热弹性力学理论解决了几个作者近年来。Hitnarski和Ignaczak4]讨论了广义热弹性力学,它显示了不同的模型,如自旋模型的存在,G-L模型,设定h模型(模型和C-T模型。主和舒尔曼(5]讨论了广义动态热弹性理论基于传热方程。达利瓦和Sherief6]导出的广义热弹性方程各向同性材料。Eringen [7)发展为非局部热弹性固体本构方程。罗伊Choudhuri [8]讨论了广义热弹性和松弛时间和旋转面波。Roychoudhuri和Mukhopadhyay9与旋转和弛豫时间)研究了广义thermoviscoelasticity面波。默罕默德(10]调查两个弛豫时间一般热弹性平面旋转影响电波。Sherief和安瓦尔11]研究了温度和热应力对广义热弹性力学的影响。业务(卡萨斯和Quintanilla说道12对不同的热弹性理论]证明了唯一性定理。帕利亚(13]研究了平面波传播热弹性力学的磁场。

分数阶已经被几个作者描述粘弹性材料属性。艾哈迈德El-Sayed [14]研究了分数阶扩散波方程。艾哈迈德和El-Sayed15讨论了分数阶线性微分方程。Momani和Odibat16]研究了分数阶微分方程的数值解。张(17]讨论了分数阶边值问题的解。Odibat和Momani18)不同的数值方法应用于非线性分数阶偏微分方程。苏茜et al。19]研究了边值问题为分数阶微分方程在无界的域。王(20.]研究了数值方法具有常数和时变时滞的非线性分数阶微分方程。Demirci和Ozalp21)研究了一种技术来解决分数阶的微分方程。沙et al。22]讨论了单个和多个组件的应用程序和调查分数阶元素。Sherief et al。23]讨论了分数阶热弹性理论。优素福(24]导出一个新的热弹性理论基于Duhamel-Neumann分数阶应力-应变关系。拉塔病和考尔(25]研究面波的传播与fractional-order-generalized传热在一个各向同性magneto-thermoelastic旋转介质。

非局部理论指出,一个连续体的压力取决于特定点及其附近的应变。当处理波和振动问题,材料的行为依赖于内部特征长度等原子大小和波长等外部特征长度。当外部和内部特征长度相比,非局部弹性理论变得有用。这些特征长度理论具有可比性的微极材料;因此,微极弹性模型适用于非局部弹性理论。Eringen [26,27]讨论了非局部连续介质理论流体力学和外地极地的身体。伯曼猫(28)研究当前外地光学领域的发展,这表明四种光学非定域性的存在现象。王等人。29日)讨论确定的粗糙表面可以展览空间色散的存在完整的光学响应。阿道夫et al。30.]讨论了半导体的光学特性的非定域性和多体效应。弗兰克和姑娘》(31日)外地金属光学的应用进行讨论。辛格et al。32]研究了非局部弹性固体材料与空间谐波的平面波的传播。拉塔病(33]讨论了分层外地各向异性和elastic-thermoelastic介质,飞机波浪反射和折射。Sarkar和喝34]讨论了在非局部热弹性介质空隙毛孔,谐波平面波传播。Das et al。35]研究谐波的反射面波在非局部热弹性固体培养基stress-free-insulated和等温边界条件。Das et al。36]研究面波的传播与非局部效应基于(iii型。Patnaik和Semperlotti37]讨论了弹性波的传播在nonlocal-attenuating材料使用基于分数阶算子的广义弹性动态理论。考尔和辛格38]研究了三相滞后分数阶传热和外地半导体的霍尔效应旋转介质在平面波。Das et al。39]讨论了飞机在广义热弹性波的传播与非局部效应。Sarkar et al。40]研究了热弹性平面的反射波从均匀,各向同性,热导电弹性半空间。Sheoran et al。41]研究面波的传播和反射非局部热弹性和非局部微极热弹性固体半空间旋转。使用利用滞后模型,库马尔et al。42]研究了平面谐波的反射波在外地微极热弹性材料的空洞。与温度相关的属性,在一个旋转的热弹性介质Sheoran et al。43]研究了外地,在二维均匀,各向同性变形。与温度有关的属性,Deswal et al。44]讨论了平面波传播在外地,microstretch热弹性半空间。与旋转的影响,Kumar Kalkal et al。45]研究了飞机的反射波在外地微极热弹性介质。

2。配方的问题

我们考虑一个本构关系和外地部分热弹性场方程。我们考虑一个热弹性机构占领该地区一个在R³在时间t和体积V和表面年代。让一个点的位置一个在无限状态为代表X_我和变形状态x_我。位移u_我是由u_我=x_我−X_我。(1)我们用应变张量e_ij (2)连续的关系如下:(一)压力关系的非局部算子 在哪里 ,身体的温度在一个由自然状态T这样 和λ和µ蹩脚的常数,K_T是等温压缩系数,温度振幅的材料由θ,e=ϵ₀一个_cl在那里,ϵ₀是一个材料常数,一个_cl内部特征长度。(b)能量方程的线性理论热弹性材料: 在哪里 是身体的运动方程没有力量和C_e比热。

没有身体的力量,外地同位素热弹性固体的运动方程可以写成 在哪里ρ₀材料的密度。

修改后的傅里叶法 。

外地热传导的热弹性材料 在哪里K热导率,τ₀弛豫时间,α分数阶参数,这样吗

与

这里,Γ是伽马函数和常数,这样0≤α≤1。

当α⟶0,(5)降低经典耦合热弹性力学理论,当α⟶1,(5)降低耶和华和舒尔曼的热弹性理论。

用方程(1)- (3)到方程(4)和(5),我们得到的运动方程

2.1。讲话

案例1:自古典耦合热弹性理论如下:如果e在方程(= 01)- (4)和(8)和(9),我们得到 和 案例2:经典热弹性如下:

如果e= 0和 在方程(1)- (4)和(8)和(9),我们得到

3所示。波传播

我们考虑齐次热弹性介质的旋转y设在。矢量和标量势ψ和ϕ通过矢量亥姆霍兹定理可以表示为

通过将这些潜力(8)和(9),没有热源的密度,和身体力量,我们得到以下方程

在这里,(15)和(17)耦合的形式ϕ和T,而(16)是分开的。所以,为了得到这些方程的解,我们 在哪里一个₁,B₁,C₁是恒定的振幅可复数和k是波数和向量不变,在哪里r= (习+yj+zk)是位置向量。把方程(18)到方程(15)和(17),我们得到 下列方程中使用的变量,

这个系统齐次线性(19)和(20.未知的)有一个非零的解决方案一个₁和B₁当他们的系数矩阵的行列式消失, 在哪里

(22)是平面传播的波的色散关系的非局部热弹性固体培养基给各种波传播的速度。

方程的根(22)

相速度(V_我),具体损失(年代_我)和衰减系数(问_我)在下列表格34]: 在哪里 , 实部和虚部的吗在哪里我= 1,2,3,分别。找到的价值 ,将方程(18)方程(16),我们得到

(26)的平面波传播的非局部热弹性介质对不同的波传播的速度,和给定的实际价值ω躺在范围内,

的表达式,指出的速度是一个不依赖于非耦合波热参数。它比经典传播慢当地弹性固体。的存在e(外地参数)的热弹性材料导致的减少非耦合波的相速度。我们可以看到在26),非耦合波的相速度消失的时候ω=ω_c。这意味着对ω<ω_c,相速度的速度是真实的,对吗ω>ω_c,它是复杂的。因此,我们可以说是一个传播非耦合波的频率范围:0<ω<ω_c。

基于公式(25),我们可以得到衰减系数以及现有的非耦合波的具体损失

4所示。在无压力表面反射

在半空间₁波入射角(θ₀与正常),收益率三个反射波,₁,₂,₃如图1。合适的势的反射光和入射波被认为是 在哪里 为我= 1,2。

4.1。边界条件

我们现在描述必须满足的边界条件后提出的问题。由于边界面y= 0 =无压力,我们有,

方程(29日)- (31日)和利用方程(2在边界条件),我们得到的 在哪里

在这里,比反射波和入射波的振幅为代表 和 ,使反射系数,在哪里

5。数值结果与讨论

表中提到的参数的值1被用来找到数值的结果来自[2]。

图2代表了相速度的变化V₁,V₂,V₃对频率时两种不同的理论 0和 1。在图2(一个)可以看出,相速度急剧下降,然后慢慢减少与增加频率的理论。图2 (b)表明,相速度大幅增加起初然后减少 0,相速度略有降低,然后增加 1。在图2 (c)可以看到,它的相速度下降缓慢增加频率的理论。

图3代表特定损失的变化年代₁和年代₂对频率时两种不同的理论 0和 1。图3(一个)代表,当频率增加,具体损失保持不变 0。具体损失随频率的增加而减小 1。图3 (b)显示的具体损失增加,然后稍微减少理论时 0和 1,具体损失慢慢随频率的增加。

图4代表了衰减系数的变化问₁和问₂对频率时两种不同的理论 0和 1。图4(一)表明,衰减系数与频率的增加略有增加 0。为 1,衰减系数与频率的增加急剧增加。慢慢衰减系数随频率的增加两个理论。图4 (b)显示大幅衰减系数随频率的增加在这两个理论 和 。

图5代表了相速度的变化V₁,V₂,V₃对于外地参数e当两种不同的理论 0和 1。在图5(一个),相速度的非局部参数增加时保持不变 0和 1。图5 (b)代表了两种理论的相速度减少与增加外地参数。图5 (c)显示没有影响的在这两个理论。相速度慢慢随非局部参数的增加而减小。

图6代表特定损失的变化年代₁和年代₂对于外地参数e当两种不同的理论 0和 1。在图6(一),两种理论的具体损失保持不变时,外地参数增加。图6(b)代表的具体损失大幅减少增加非局部理论参数 0. 1,非局部参数的增加,相速度缓慢减少。

图7代表了衰减系数问₁和问₂对于外地参数e当两种不同的理论 0和 1。图7(一)两种理论表明,衰减系数与外地的增加参数保持不变。图7 (b)显示没有影响在这种情况下两种理论认为。衰减系数逐渐增加而增加非局部参数。

5.1。特殊情况

案例1。如果介质的非局部效应被忽视,然后得到一个热弹性介质e在方程(= 015), 在哪里 (36)给出了速度的热弹性耦合波的传播媒介。同样,当我们使用e= 0 (26),热弹性介质中的横波速度成为一个经典波的速度。

6。结论

面波的传播在外地分数阶热弹性力学研究。面波的传播的本构关系外地部分热弹性固体媒体被认为是和解决。具体的损失,相速度和衰减系数取得了三波。具体损失的影响,衰减系数和相速度的频率和非局部参数两种理论(经典理论和自旋理论)图形所示。

以下观察图表中可以看到:(我)运用这两个理论α= 0和α= 1的相速度,具体损失,衰减系数与频率ω,它已经发现,两种理论有更多的对相速度的影响V₁和V₂,具体的损失年代₁和年代₂和衰减系数问₁。(2)运用这两个理论α= 0和α相速度= 1,具体损失,对非局部参数和衰减系数e,它已经发现,这些理论有更重要的对相速度的影响V₁和V₂,具体的损失年代₁和年代₂和衰减系数问₁。

数据可用性

使用的数据一直在引用(46]。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。