文摘

本研究的目的是确定的必要和充分条件啊子集是一个充满理想neutrosophic戒指R(我),是一个零理想。同时,这项工作展示了Kothe之间的等价的猜想古典环和相应的neutrosophic环,即。,它证明了Kothe neutrosophic的猜想是真的戒指R(我)当且仅当它是真的在相应的古典戒指R。

1。介绍

这是德(1]引入了模糊集的概念旋钮的不确定性。自那时以来,模糊集一直务实在医学诊断等许多命令(2),决策(3)和模式识别4]。保持视图的模糊集,模糊集的许多归纳已经熟悉像粗糙集5),软集(6],直觉模糊集[7),线性丢番图模糊集(8),双极有价值的模糊集(9),双软集(10,11),图片模糊集(12),球形和T-spherical模糊集(13]。尽管所有这些推广有自己的优点,neutrosophic集的概念(14)扩大了更多研究者相比的人响应(15]。

Neutrosophy是哲学的一个新的分支由Smarandache [16在现实生活中处理不确定性和科学操作。它成为一个有用的工具在许多领域,如拓扑(17,18),统计(19],概率[20.),和代数21- - - - - -23]。

引入neutrosophic代数始于Smarandache和Kandasamy24等),提出了概念neutrosophic团体和neutrosophic戒指和循环插入不确定性元素我到古典代数结构。

在[25- - - - - -27),我们发现两个概括neutrosophic戒指,精炼n分别细化neutrosophic戒指。许多有趣的特性,讨论了这些如啊理想,方程(28,29日],啊同态[30.),和幂等性31日]。

Neutrosophic环适用于其他代数结构,Neutrosophic模块矩阵(32- - - - - -35),和啊空间(36)可以建立在这些环类似于经典案例。

在[37],Abobala证明,每个neutrosophic环的同态图像对应的精制neutrosophic环。一个类似的关系证明(38]n细化neutrosophic戒指。

最近,最大和最小的结构完整啊的理想n提出了细化neutrosophic环(39]。因为,每个neutrosophic戒指R(我可以理解为) 。

然后,每个啊的子集R(我)定义的形式 ;P和年代是两个子集的R。我们称之为P实部和年代neutrosophic的部分米。

一个重要的问题出现在这里。问题是“当米是一个neutrosophic理想的R(我)?“换句话说,什么条件下对实体部分P和neutrosophic部分年代使米是一个理想的吗?

同时,很明显,如果Kothe猜想是nil的理想是正确的R(我),那么这是真的R。逆关系呢?换句话说,如果Kothe猜想是正确的R,那么这是真的R(我)?

这些重要问题激励我们做这项研究中,我们试图充分描述他们的答案。

2。预赛

定义1。让 是一个环;然后, 被称为neutrosophic戒指,在哪里我是一个neutrosophic元素与条件 。
如果R是一个字段,那么R(我)被称为neutrosophic字段。neutrosophic字段不是一个领域的经典意义,我是不可逆的。

定义2。让R是一个戒指,R(我)相关neutrosophic环, 是两个子集的R;然后,P被称为一个啊子集。(一)我们说P是一个理想啊如果理想的戒指吗R(b)我们说P是一个已经有理想如果

定义3。让R(我)是任何neutrosophic环, 是任何啊子集。我们说P是一个完整的理想的R(我),如果它是一个理想的经典意义。

定义4。的元素我可以分成两个不确定性下列条件:

定义5。如果X是一组呢X( 叫做精制neutrosophic设置生成的X, 。

定义6。让 是一个戒指, 被称为精制neutrosophic环产生的R, 。

定理1。让 是一个精炼neutrosophic环;然后,它是一个戒指。

如果它被称为精制neutrosophic字段R是一个古典的领域。

2.1。Kothe猜想

如果R是一个戒指,那么任何两个左零理想的总和等于零。更多Kothe猜想的等价形式,见(20.]。

3所示。主要讨论

首先,我们确定啊子集的条件是理想的neutrosophic环与团结。

定理2。让R(我)与团结1和neutrosophic戒指 有啊的子集R(我);然后,米neutrosophic理想(理想)当且仅当下列条件是正确的:(一)P是理想的对R(b)P包含在年代(c)年代是一个理想的R

证明。首先,我们假设(一),(b)和(c)是正确的;我们有 是一个群的 ,也就是说,因为如果 ,我们发现 现在,假设 ,我们有 ;假设,我们认为 ;因此, ,这意味着米是一个neutrosophic理想的R(我)。
相反,我们假设 是一个neutrosophic理想的R(我)。让两个任意元素P,和两个任意元素年代;我们有 ;我们通过使用假设,米作为一个理想的;因此, ;因此, 和 是两个子组的 。
对于每一个 我们有 ;因此, ;这意味着是理想的古典戒指吗R。
现在,我们证明P包含在年代。我们有 ,也就是说,因为R(我1)有一个团结。另一方面,我们可以写 ,也就是说,因为米是一个理想的R(我);因此, ,因此, ;通过对是一个任意的元素P,我们得到 。

例1。让 整数环, 是相应的neutrosophic戒指,我们有(一) 的三个理想吗R, (b) 是一个理想的R(我)(c) 不是一个neutrosophic理想,因为不包含在年代

例2。让 ,和 是相应的neutrosophic戒指。考虑集 。我们有米作为一个理想的R(我),也就是说,因为 。
现在,我们证明定理2不是真的在neutrosophic戒指没有统一的反例。

例3。考虑环 ,很明显,它没有统一。
让 和 是一个理想的R。很明显,不包含在 。现在,我们应该检查 如果它是一个理想的R(我)或不是。
首先,它很容易看到问是一个加法群的子群对加法(R(我)+)。
另一方面,我们假设 和 是一个任意的元素R(我)= 2Z(我)。我们有 因此,问是一个理想的R(我)。
现在,我们表明,在任何必要和充分条件啊子集 是一个理想R(我)如果R(我)没有统一。

定理3。让R任何没有统一和戒指R(我相应的neutrosophic环。然后,啊子集 是一个理想的R(我)当且仅当(一) 是理想的R(b)对于每一个 和 ,我们有

证明。我们假设P是一个完整的理想的R(我);因此,的理想是R通过一个类似的定理的证明2。另一方面,对于每一个 ,我们有 ;因此 。这意味着 ,也就是说,因为 。
的交谈中,我们假设条件(a)和(b)是正确的;因此,很明显,(P,+)的子群(R(我)+)。现在,考虑一个任意的元素 和任何 ;我们有 ;通过假设(a)和(b)是真的, ;因此, ,和P是一个理想的R(我)。
下面的定理描述了nil啊理想的结构R(我)。

定理4。让R(我)是任何neutrosophic戒指,我们有(一) 是幂零R(我)当且仅当 是幂零元素R(b)如果 是一个完整的理想的R(我),然后P幂零当且仅当吗 ,和 是幂零(c)如果 左/右完全理想吗R(我),然后P零当且仅当吗 是零

证明。(一)首先,我们证明 ,在哪里n是任何正整数为n= 1,它是明确的。我们假设它是真的n=k,我们将证明这一点k+ 1。 因此,它是真实的感应现在,我们假设 是幂零R(我);因此,有一个正整数n,这样 。通过前面的声明,我们得到的 。因此, 幂零元素R。反过来是明确的。(b)让 是一个幂零理想的R(我);然后,有一个正整数n,这样 。对于任何一个元素 ,我们有 ;因此, 。另一方面,对于任何元素 ,我们有 ;因此, 。这意味着幂零。另外,我们有 ,作为一个方程的直接结果 ;因此, 是幂零。反过来,我们假设 幂零理想的R;然后,有两个正整数 ,这样 。因此,对于每一个元素 ,我们有 。这意味着 ,也就是说,因为 ,和P必须是一个幂零理想。(c)首先,我们假设 是零R(我);因此,零的直接结果是包容吗 ;因此,是零R。证明之和 是零,我们考虑两个任意的元素吗 ;因此, ,但P是零;因此,有一个正整数 ,这样 ;这意味着 ,所以我们得到 是零。反过来,我们假设 零理想在R,我们将证明P是零。让 是一个任意的元素P;我们有 。定理的假设下,我们可以找到两个正整数 ,这样 。根据(),我们有 。因此,P是零的理想R(我)。
以下展示了Kothe之间的等价定理的猜想古典戒指R和相应的neutrosophic戒指R(我)。

定理5。Kothe猜想是正确的R(我)当且仅当它是真实的R。

证明。根据定理4,我们有 是零R(我)当且仅当 是零R。因此,两个左零的和理想 ,说这是 在R(我)是零当且仅当以下三个金额 是零R;因此,Kothe的猜想是正确的R(我)当且仅当它是真实的R。

定理6。如果Kothe精制neutrosophic的猜想是真的戒指 或在n细化neutrosophic环 ,然后这是真的戒指R。

证明。根据(37,38),每个neutrosophic戒指R是相应的精炼的同态象neutrosophic戒指吗 和n细化neutrosophic环 ;因此,如果Kothe的猜想 ,然后它在R。

备注1。它仍然是未知的,如果Kothe的猜想是正确的R,那么这是真的 。

3.1。开放式的问题

两个有趣的开放式问题来光根据这项工作。第一个可以问如下。如果Kothe的猜想是真的戒指R,然后在相应的精炼neutrosophic是真的戒指 。第二个是以下。如果Kothe的猜想是正确的R相应的,那么这是真的n细化neutrosophic环 。这些开放式问题可能的未来Kothe猜想neutrosophic环理论的研究。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。