文摘
在这部作品中,加泰罗尼亚的转换(CT) - - - - - -平衡序列, ,介绍了。此外,加泰罗尼亚语转换获得了下三角矩阵的乘积称为加泰罗尼亚矩阵和矩阵的 - - - - - -平衡序列, ,这是一个 矩阵。除此之外,汉克尔变换应用进一步计算矩阵的行列式从形成的 。
1。介绍
均衡数量是一个正整数,满足丢番图方程如下: 对于一些正整数 ,相对应的平衡器(1]。的 - - - - - -平衡数字是用 。为每一个 , 是一个完美的广场,它的正平方根叫做Lucas-balancing数量(2]。佩尔方程的平衡数字解决方案 ,和它比奈公式给出了 在哪里 和 。此外,平衡数字满足递归关系如下: 与初始条件 和 (2- - - - - -10]。
有几个转换,操作各种整数序列。有些是二项变换(11),离散余弦变换(DCT) [12),拉盖尔变换(13),a音的唱名变换(14),离散小波变换(DWT) [15)、离散傅里叶变换(DFT)和加泰罗尼亚变换(16]。在生活过程中,这些转换基本上是利用在各种隐写计划和技术12- - - - - -14]。此外,还有许多其他用途上面显示变换尽管某些缺点的一些变换技术仍在观察。例如,DCT系数的实值使计算非常耗时。此外,DFT的系数,一般来说,复数产生复杂的值作为输出。此外,DFT的计算复杂度这也表明,变换是繁琐和耗时。克服缺点的讨论关于不同的转换,加泰罗尼亚变换,由保罗·巴里(引入16]2005年,被证明是一个更好的选择。CT是一个适当的替代背后的原因是由于这一事实不同于前面提到的转换,加泰罗尼亚的总体计算变换是基于整数而不是基于浮点值使得它非常快,可靠的转换方法。此外,加泰罗尼亚变换的计算复杂度也表明大幅改善我们从吗DFT。除了现实生活现象,加泰罗尼亚的有益的属性变换使它非常适合申请重要结果的推导与几位整数序列的性质17- - - - - -19]。几个经典的核心序列,像斐波那契序列(20.),佩尔序列(21],Jacobsthal序列(17),可以通过这种转变成对。
在一些研究中,已应用于加泰罗尼亚变换 - - - - - -斐波那契序列(22]。此外,加泰罗尼亚变换应用到 - - - - - -Jacobsthal序列(23]。在[24],加泰罗尼亚的转换被应用到 - - - - - -卢卡斯序列。此外,一个新的序列实现已知的卢卡斯Ozkan讨论的数据等。25]。在应用程序的角度来看,Mukhopadhyay et al。26通过CT)处理获得图像隐写术。此外,a音的唱名变换一直是安全数据通信领域的应用(14]。过去的文学描绘了加泰罗尼亚变换不同的序列,但发现平衡通过加泰罗尼亚变换序列没有解决,说明了当前工作的新颖性。因此,在目前的工作,产生动机的文献调查,我们使用加泰罗尼亚语转换的情况下 - - - - - -平衡序列 ,在后面的小节中所讨论的那样,和检查序列的属性。然后,我们汉克尔变换应用到的加泰罗尼亚变换 。
纸被安排在以下方式:第一个相关的预赛 - - - - - -平衡序列,加泰罗尼亚的数字,汉克尔变换,转换和加泰罗尼亚节2。此外,部分3是专门对加泰罗尼亚转变的评价吗 - - - - - -平衡序列。除此之外,生成函数计算的CT - - - - - -平衡节序列4。下一节处理CT的汉克尔变换 - - - - - -平衡数字。最后一节中提到的结束语。
2。预赛
2.1。 - - - - - -平衡数字
的 - - - - - -平衡数字,用 ,对于任何一个正数 ,递归定义的关系如下(27]: 的初始值 和 。此外,比奈的公式 - - - - - -平衡数字是由 在哪里 和 。因此,前几 - - - - - -平衡数字是由 , , , , , ,等等。的 - - - - - -平衡数字列在下表中1。
2.2。加泰罗尼亚的数字
加泰罗尼亚的数字(28法国-比利时数学家命名Eug后),称为查尔斯加泰罗尼亚,被定义为一个序列中遇到几个自然数的计数问题,特别是发生在递归定义的项目。他们正在用并进一步定义为(16),用二项式系数,
此外,由于[29日),我们有加泰罗尼亚的递归关系的数字作为 与 ,及其普通的母函数是由(29日]
此外,对于一些 ,最初几个加泰罗尼亚数字(28)是由(序列A000108 [30.):
2.3。汉克尔变换
根据定义,一个实数序列的汉克尔矩阵 由无限矩阵给出如下(31日]:
此外,汉克尔变换(29日一个实数序列 被定义为决定因素的顺序如下: 在哪里汉克尔矩阵给出了吗 。或者,可以说汉克尔变换产生的序列的汉克尔矩阵形成的决定因素已知或给定的序列。此外,加泰罗尼亚的汉克尔变换序列的序列 下(30.]。此外,连续的和广义加泰罗尼亚的汉克尔变换数字是经典的斐波那契序列的二等分(32]。
引理1。一个序列的汉克尔变换序列的二项变换下是不变的。换句话说,如果我们写的二项变换一个给定的序列作为 然后
证明。引理的证明可以从[31日]。
2.4。加泰罗尼亚的转换
定义1。加泰罗尼亚的转换,介绍了(16),是一个序列变换定义如下。
让我们考虑一个序列的母函数如下:
然后,加泰罗尼亚的变换定义是普通的序列生成函数(o.g.f)是由吗
,在哪里中定义的系列(8)[16]。加泰罗尼亚的转换也与各种已知的变换,尤其是二项式转换。
引理2。加泰罗尼亚的转换一个给定的序列是由
证明。引理的证明可以从[16]。
3所示。加泰罗尼亚的转换 - - - - - -平衡序列
由于引理2,我们定义的加泰罗尼亚语转换 - - - - - -平衡序列, ,作为 与 。因此,它可以观察到,加泰罗尼亚变换的第一个成员 - - - - - -平衡数字的多项式给出的
此外,我们可以把上面的方程写成一个下三角矩阵的乘积和一个 矩阵这被描绘成
矩阵的元素满足的递归关系
此外,第一和第二列都是平等的 ,表示的数字。此外,下三角矩阵用被称为加泰罗尼亚三角形及其条目满足如下的关系(22]:
因此,加泰罗尼亚三角形获得通过的加泰罗尼亚变换的系数 - - - - - -平衡序列图和表的图2。
此外,我们获得的前几项的一系列加泰罗尼亚变换 - - - - - -平衡序列如下:
4所示。生成的加泰罗尼亚变换的函数 - - - - - -平衡序列
生成函数(g.f.s),最初引入的亚伯拉罕德Moivre编码是一个一步无限数字序列通过对幂级数的系数。换句话说,问题序列可以转化为问题函数通过生成函数。现在,在这种情况下,我们发现加泰罗尼亚的生成函数转换的 - - - - - -平衡序列和表示的 。由于(8),我们的母函数作为加泰罗尼亚的数字 。此外,由于[16),它可以清楚地观察到是加泰罗尼亚的生成函数变换序列吗 。因此,通过g.f.的 - - - - - -平衡序列(27),我们有
5。加泰罗尼亚的汉克尔变换变换 - - - - - -平衡数字
在本节中,我们找到的加泰罗尼亚的汉克尔变换变换 - - - - - -平衡数字汉克尔矩阵的行列式的形式。通过考虑的加泰罗尼亚变换 - - - - - -平衡的前面的部分序列,我们获得以下:
6。结论
在目前的研究中,应用于加泰罗尼亚转换 - - - - - -平衡序列和一些身份。身份是进一步以矩阵形式表示,CT的条款 - - - - - -平衡顺序显示。除此之外,加泰罗尼亚三角形获得通过的加泰罗尼亚变换的系数 - - - - - -平衡序列。此外,序列的母函数的CT表现。最后,汉克尔变换是利用已知的加泰罗尼亚语转换 - - - - - -平衡序列。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
Asim智利的实现研究,最初的草案,准备开发方法,验证研究,编辑了手稿。穆罕默德·k·a . Kaabar实现研究,验证研究,负责资源,监督最初的草案,并编辑了手稿。所有的作者已经平等参与这项研究,他们阅读和批准最后的手稿。