文摘
在本文中,我们建立一个山田迭代算法相结合的混合最速下降法和王的变分不等式问题的算法寻找共同的解决方案和分离的可行性问题。我们建议所产生的强收敛序列的迭代算法,证明了这样一个常见的解决方案在希尔伯特空间的设置一些合适的假设对参数。此外,我们提出迭代算法寻找共同的解决方案的变分不等式问题和多组分离的可行性问题。最后,我们也给出数值例子说明我们的算法。
1。介绍
2005年,审查等。1]介绍了多组(MSSFP)分离的可行性问题,制定如下: 在哪里 和 非空的闭凸子集的希尔伯特空间吗和 ,分别为, 是一个有界的线性映射。表示由MSSFP组解决方案(1)。已研制出许多迭代算法解决MSSFP(见[1- - - - - -3])。此外,它在许多领域出现在现实世界中,如反问题的调强放射治疗、图像重建和信号处理(见[1,4,5),在其中的引用)。
当 ,MSSFP称为分裂可行性问题(SFP);首次引入的审查和Elfving [5),制定如下:
表示由SFP组解决方案(2)。
假设SFP(即是一致的。,(2)有解)。众所周知, 解决(2)当且仅当它解决了定点方程 在哪里是一个积极的常数,伴随运营商吗 ,和和指标的预测吗和到和 ,(更多细节,请参阅[分别6])。
介绍了变分不等式问题(VIP) Stampacchia [7),这是找到一个点 在哪里是一个非空的闭凸子集的希尔伯特空间和 是一个映射。VIP的想法被应用在许多领域,包括力学、非线性规划,博弈论和经济平衡(见[8- - - - - -12])。
此外,众所周知,如果是 - - - - - -李普希兹连续和 - - - - - -强单调,然后VIP (4)有一个独特的解决方案(见,例如,14])。
因为SFP和贵宾包括一些特殊情况(见[15,16]),的确,凸线性反问题和分裂平等问题是SFP的特殊情况,和零点问题,最小化问题是VIP的特殊情况。荣格(17]研究了变分不等式问题的通用解决方案和分离可行性问题:找到一个点 在哪里的解集是SFP (2), 是一个 - - - - - -强单调和 - - - - - -李普希兹连续映射。在那之后,解决问题(6),Buong [2考虑下面的算法,提出了在14,18,分别为: 在哪里 ,在下列条件:(C1) 作为 和 。(C2) 。
此外,Buong [2)考虑序列所生成的算法后,弱收敛MSSFP的解决方案(1): 在哪里 和 或 和 在这和 ,为 和 ,是正实数,这样吗 。
出于上述工作,我们建立一个迭代算法相结合的算法(7)和(8)寻找问题的解决方案(6),并证明强大我们的迭代算法所产生的序列的收敛性问题的解决方案(6在希尔伯特空间的设置。此外,我们提出了迭代算法求解变分不等式问题的通用解决方案和多组划分的可行性问题。最后,我们也给出数值例子说明我们的算法。
2。预赛
为了解决我们的结果,我们现在回忆下面的定义,初步结果将用于续集。在本节中,我们是一个非空的闭凸子集的一个真正的希尔伯特空间与内积和规范 。
定义1。一个映射
被称为(我)
- - - - - -李普希兹连续,如果
对所有
,在哪里是一个正数。(2)扩张,如果(我)持有
。(3)
- - - - - -强单调,如果
对所有
,在哪里是一个正数。(iv)坚定地扩张,如果
对所有
。(v)
- - - - - -平均,如果
对于一些固定
和一个扩张映射的映射
。在[5),我们知道度量投影
坚定地扩张和
- - - - - -取平均值。
我们收集的一些基本性质平均映射在以下结果。
引理1(见[16])。我们有(我)有限的复合许多平均映射是平均。特别是,如果是 - - - - - -平均, 为 ,然后复合是 - - - - - -平均, 。(2)如果映射平均有一个公共不动点,然后呢
命题1(见[19])。让是一个非空的子集 , 是一个整数, 被定义为
对于每一个 ,让 和 是 - - - - - -取平均值。然后, 是 - - - - - -平均, 。
以下属性扩张映射的映射是使用起来非常方便和有用的。
引理2(见[20.])。假设和希尔伯特空间。让 是一个线性有界这样的映射 ,让 是一个扩张映射的映射。然后,对于 是 - - - - - -取平均值。
命题2(见[19])。让是一个非空的子集
,,让是一个有限的家庭扩张映射的映射来
。假设
和
这样
。假设,每一个
,
是
- - - - - -平均;然后,
是
- - - - - -平均,
。
以下结果在下一节中起到至关重要的作用。
引理3(见[14])。让是一个实数 。让 是一个 - - - - - -强单调和 - - - - - -李普希兹连续映射。映射 ,对于每一个动点 ,与不断收缩 ,也就是说, 在哪里 。
定理1(见[21])。让是一个 - - - - - -李普希兹连续和 - - - - - -强烈的单调self-mapping 。假设是一种有限的家庭扩张映射的来这样 。然后,序列定义的算法收敛后强烈的独特的解决方案变分不等式(4): 在哪里 , ,为 ,在下列条件:(我) 作为 和 。(2) ,对于一些 ,和 作为 。
定理2(见[22])。让 , , , ,和那么在定理1。然后,序列定义为以下算法: 收敛强烈的独特的解决方案变分不等式(4)。
3所示。主要结果
在本节中,我们考虑下面的山田迭代算法相结合的混合最速下降法(14和王的算法18)解决问题(6): 在哪里 。如果我们将 为 ,然后(15)降低(7)研究了Buong [2]。另一方面,在算例部分,我们提出的例子说明两步方法(15)是更有效的,一步法(8)研究了Buong [2),用两步方法(15)生成的序列的迭代次数少,收敛速度比序列生成的一步法(8)。
在我们的结果,除非另有说明,我们假设和是两个真正的希尔伯特空间和 是一个线性有界的映射。让是一个 - - - - - -强单调和 - - - - - -李普希兹连续映射上用一些积极的常量和 。假设 是一个固定的数字。
定理3。让和是两个闭凸子集和 ,分别。然后,当 ,序列定义为(15),序列和满足条件(C1)和(C2),分别是收敛的强烈的解决方案(6)。
证明。从引理2我们有,是
- - - - - -取平均值。自
,由引理1(我),我们得到是
- - - - - -平均,
。此外,我们获得
当且仅当
。它遵循从定义1(四)
,在哪里是扩张。然后,迭代算法(15)可以改写如下:
在哪里
和
。自
和扩张,那么也在扩张。因此,强大的融合(15)的元素的解集(6)遵循定理2。
在[23),苗族和李显示序列的弱收敛性结果融合的元素在哪里是由以下算法:
哪一个满足条件(C3)
。接下来,我们将展示强大的融合(17),满足条件
。
定理4。让和是两个闭凸子集和 ,分别。然后,当 ,序列定义为(17),序列满足条件(C1)和和满足条件(C2),收敛强烈的解决方案(6)。
证明。在定理的证明3,一个人可以重写迭代算法(17)如下:
在哪里
和
。自扩张,那么强大的融合(17)的元素的解集(6)遵循定理1。
此外,我们得到以下结果,求解变分不等式问题的通用解决方案和多套可行性问题,即。,找一个点
在哪里是一个解集(1),
是一个
- - - - - -强单调和
- - - - - -李普希兹连续映射。这个问题已经研究[2]。
定理5。让和两个有限闭凸子集的家庭和 ,分别。假设 , 和满足条件(C1)和(C2),分别和参数和满足下列条件:(一) 为 这样 。(b) 为 这样 。
然后,当 ,序列 ,定义为 有下列情形之一:(A1) 和 (A2) 和 (A3) 和 (A4) 和 ,收敛于该元素的解集(19)。
证明。让
。我们将显示是平均的。
的情况(A1),
和
。自是
- - - - - -平均为所有
,由命题1,我们得到是
- - - - - -平均,
。同样,我们有也平均,所以呢是扩张。利用引理2,我们推断出是
- - - - - -平均,
。它遵循从引理1(我)是
- - - - - -平均的
。
如果
和
,然后利用命题2和条件(a),我们获得是
- - - - - -取平均值。从条件(b)和考虑扩张,为所有
,我们有也在扩张。它遵循从引理2那是
- - - - - -取平均值。因此,是
- - - - - -平均的
。
例(A3)和(A4)是相似的。这意味着
,在哪里是扩张。此外,由引理1,我们得到
然后,迭代算法(20.)可以改写如下:
在哪里
和
。自
和扩张,那么是扩张。因此,强大的融合(20.)的元素的解集(19)遵循定理2。
定理6。让 , ,和那么在定理5。然后,当 ,序列 ,定义为 的情况下(A1)——(A4),强烈收敛解集的一个元素(19)。
证明。在定理的证明5,一个人可以重写迭代算法(23)如下: 在哪里 和 。自扩张,强大的融合(23)的元素的解集(19)遵循定理1。
4所示。数值例子
在本节中,我们提出了数值例子比较算法(8),是由Buong [2)和算法(15)(新方法)来解决以下测试问题在2]:找到一个元素 这样 在哪里是一个凸函数,有强烈的单调和李普希兹连续导数吗在欧式空间 , 在哪里 ,为 和 , ,为 和 ,和是一个 - - - - - -矩阵。
例1。我们考虑测试问题(25), , , 对于一些固定 ,和 所以,我们有 是一个 - - - - - -李普希兹连续和 - - - - - -强单调映射与 。对于每个算法,我们集 ,对所有 ,和 ,对所有 。采取 ,定义的停止准则 在哪里 和 。计算结果列在表中1用不同的初始点 ,在哪里迭代次数和吗CPU时间以秒为单位。在数据1和2图,说明两种方法的迭代次数使用上面的停止准则定义为不同初始点表所示1。
备注1。从我们的结果在表的数值分析1和数字1和2,我们得到的算法(15)(新方法)和更快的收敛的迭代次数比算法(8)(Buong方法)。
例2。在这个例子中,我们考虑算法(23)解决测试问题(25), 和 。让 , , , ,和那样的例子1。在数值实验中,我们采取停止准则 。计算结果列在表中2不同情况下的和 。在数据3和4,我们提供图形说明所有情况下的迭代的数量和使用如上所述的停止条件与不同初始点出现在桌子上2。此外,表3显示不同的选择的影响 。
备注2。我们观察从表的数值分析2算法(23)时最快的收敛和满足时(A4)和慢收敛和满足(A3)。此外,我们需要更少的迭代收敛时的步骤和CPU时间选择很小,接近于零。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
第一作者的科学成就奖学金感谢泰国。作者要感谢数学系,Naresuan大学理学院(批准号R2564E049)的支持。