文摘

我们提供一个描述的有限维数的向量空间的右侧可逆性的线性算子。

1。介绍

在[1),发现是一维的描述(真实的或复杂的)定额的代数的有界的线性算子,呼应了庆祝Gelfand-Mazur定理描述复杂维巴拿赫代数(见,例如,2- - - - - -6])。

这里,继续沿着这条道路,我们提供一个简单的描述的有限维数的向量空间的右侧可逆性的线性算子。

2。预赛

众所周知(见,例如,7,8]),一个方阵与复杂的条目是可逆的敌我识别它是片面的可逆的,也就是说。,存在一个方阵相同的顺序这样 在哪里是单位矩阵一个适当的大小,在这种情况下(两面)的倒数吗 ,也就是说,

一般来说,对于一个线性算子(真实的或复杂)的向量空间,的存在左逆暗示是可逆的,也就是说,内射。事实上,让 是一个线性算子(真实的或复杂)的向量空间和一个线性算子 是它的左逆,也就是说, 在哪里是标识符在 。平等(3),很明显,意味着 因此,存在一个逆 为运营商 ,在哪里是它的范围(见,例如,9])。平等(3)也意味着逆算子的限制来 。

此外,很容易看到,对于一个线性算子(真实的或复杂)的向量空间,的存在正确的反,也就是说,a linear operator 这样 就意味着被满射,提供了潜在的向量空间有限维空间,由rank-nullity定理(见,例如,9,10]),相当于内射,也就是说,being可逆的。

与底层空间无限维空间,无限的红衣主教的算术不允许直接推断的rank-nullity定理这一surjectivity空间上的线性算子相当于它吸水。在这种情况下,右侧为线性可逆性运营商并不意味着可逆性。例如,在(真实的或复杂的)无限维空间向量空间有界序列,左移位线性算子 是不可逆转自 (见,例如,9,10线性算子]),但正确的转变 是它的正确的反,也就是说, 在哪里是标识符在 。

上面的例子不仅给自然是否上升,当右侧可逆性为线性算子(真实的或复杂)的向量空间意味着他们的可逆性,即,吸水,底层空间是必要的有限维空间而且作为灵感来源证明“如果”后续描述的一部分。

3所示。描述

定理1(有限维向量空间的特征)。(真实的或复杂)的向量空间是有限维敌我识别,对线性算子 ,右侧可逆性意味着可逆性。

证明。“只有”部分。假设向量空间是有限维空间与 ,让 是一个命令的基础 。
对于一个任意线性算子 在 ,它有一个正确的反,也就是说,a linear operator 这样 在哪里是标识符在 。让和是矩阵表示的运营商和相对于基础 ,分别(见,例如,7,8),然后 在哪里是单位矩阵的大小(见,例如,7,8])。
由可乘的行列式(见,例如,7,8)、平等(11)意味着 从那里,我们得出结论 ,由行列式的可逆性,这意味着矩阵是可逆的,因此,运营商吗(见,例如,7,8])。
“如果”部分。让我们证明这部分通过对换的假设向量空间是无限维空间。假设 (哈默尔)依据吗(见,例如,9,10]),是一个无限索引集和 是一个可数无限的子集 。
让我们定义一个线性算子 如下: 在哪里 是基础表示一个向量的 相对于 ,所有但有限数量的系数 , ,被称为坐标的相对于 ,零(见,例如,9,10])。
很容易看到,是一个线性算子 ,这是不可逆转,也就是说,noninjective,因为 线性算子 在定义如下: 这是一个正确的反为自 因此,在一个无限维的向量空间(真实的或复杂),存在一个不可逆转线性算子与右逆,完成的证明“如果”部分,因此,整个语句。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。