文摘
在这项研究中,我们使用的结合边界hyperpyramids估计周期积极系统的输出可以设置在两类外生干扰。优化算法用于获得最小的边界hyperpyramids成为可能。最后,给出数值例子来验证理论结果。
1。介绍
近几十年来,周期系统的参数包含周期特性,得到了很多的关注。周期系统的研究是出于许多现实世界的实际系统具有周期性的特点,因此可以被描述为周期系统。例如,一个摆与循环系统是一个周期性的系统行为(1]。在文献中,许多重要的结果线性周期系统已经报道,看到的,例如,(2- - - - - -10]。
相反,一些动力系统表明,状态和输出变量被迫是积极的,或者至少是负的,在任何时候当初始条件和输入都是非负的。这种类型的系统在文献中被称为积极的系统。积极的系统有许多应用领域:化学、生物学、社会学和经济学。积极系统的许多重要性质和应用的著作中可以找到Luenberger [11),淀粉,里纳尔蒂12],Kaczorek [13]。
最近,动力系统周期和积极的特性吸引了许多研究者的兴趣。离散时间周期积极系统的稳定性和稳定问题研究了Bougatef et al。14)和河中的小岛Rami和Napp15]。周期时滞正系统的稳定性问题是解决在16]。参见[17),更多的周期系统的研究成果。
可达性,控制理论的基本概念,得到了很多的关注。许多作者研究积极系统的可达性对离散和连续系统(18- - - - - -23]。集包含所有从原点可获得系统输出在规定的输入被称为输出可及集。许多研究人员专注于描述输出的可及集动力系统,但是当输入信号限制,传输系统的输出从原点任意期望的输出通常是困难的,所以受欢迎的技术文献中是决定一个地区尽可能小绑定输出可及集。通常的策略是估计的输出可以设置几个椭圆体,可以通过求解线性矩阵不等式(LMI)决定的。可以为时滞系统(估计问题进行了研究24,25],奇异系统[26),定期系统(27),积极的系统(28),切换正系统(29日)等。
本文旨在解决周期性积极系统的输出可以设置估计问题在两种类型的非负外生干扰基于两个规范。
本文的组织如下形式。节2的配方问题,考虑系统定义的积极性。节3,结果的估计输出可以设置给出了两类外生干扰下,和优化技术是用于获得尽可能最小的hyperpyramids输出可以设置绑定。一些例子来验证理论结果。
符号。这项工作中所使用的符号的非负整数,的正整数组实数,组n维的向量,组 真正的矩阵,积极的象限 封闭的积极象限 , 的转置 , 向量 , 单位矩阵, 每个组件的向量是负的(积极的), 每个元素的矩阵一个是负的(积极的), 有限的子集与 。
2。预赛
考虑到周期性离散时间线性系统描述 在哪里 状态向量, 外源输入信号, 是输出向量,然后呢 ,和是真实的矩阵与合适的尺寸和我们假设存在呢 这样, ,我们有 , ,和 。我们注意到 , ,和 。
定义1。系统(1)- (2)是积极的,如果对于任何初始条件 和任何外源输入 和 ,我们有 和 ,对所有 。
本文给出的结果分为两种情况根据以下准则: 和 ,在哪里 ,为 。案例1: 。在这种情况下,输出可以设置定义如下: 案例2: 。在这种情况下,输出可以设置定义如下: 输出可以设置hyperpyramids本文将有限的形式
3所示。主要结果
在本节中,我们将评估系统的输出可以设置(1)- (2)通过hyperpyramids上面提到的两种情况。为此,我们将使用优化技术来获得最小的hyperpyramids。
3.1。估计输出可及集
3.1.1。案例1
在这种情况下,我们考虑系统(1)- (2)在零初始条件下,外源输入 。
引理1。让 ,这样的一组函数(我) 。(2)如果 和 相应的输入,我们有什么 然后,我们得到 , 。
证明。让 和 相应的输入。然后, ,我们有 所以,我们获得 自 ,然后我们得到 。完成证明。
根据这个引理,我们得到以下输出可及集的边界。
定理1。考虑系统(1)- (2),假设存在 , ,与 ,这样, , 然后, (即。,the output reachable set is bounded by the union of a set of hyperpyramids).
证明。让被定义的序列 , ,和让 , 让 和 相应的输入。对于任何 ,有 这样 。然后,我们得到 根据引理1,我们得到 。的周期性意味着 。所以, 。完成证明。
从定理1,我们可以推断出以下推论来确定一组输出估计可及的系统(12)- (13)。
推论1。考虑系统(12)- (13),假设存在 这样以下条件成立: 然后, 。
3.1.2。案例2
在这种情况下,我们考虑系统(1)- (2)在零初始条件下,外源输入 。
引理2。让 ,这样的一组函数(我) 。(2)存在 ,这样,如果 和 相应的输入呢 然后,我们得到 。
证明。让
和
相应的输入,我们有
然后,
。
对于任何时间
,我们有
自
,由此可见,
。完成证明。
使用这个引理,我们可以得到以下输出可及集的边界。
定理2。考虑系统(1)- (2),假设存在 , ,与 和 , ,这样, ,我们有 然后, 。
证明。我们构建两个序列和由构成 和 。我们考虑的家庭功能: 让 和 相应的输入。对所有 ,有 这样 。然后,我们得到 所以,引理2意味着 ,和周期性的 ,我们获得 。所以, 。完成证明。
如果 ,我们可以推断出以下推论的估计积极线性定常系统的输出可以设置(12)- (13)。
推论2。考虑系统(12)- (13),假设存在 这样以下条件成立: 然后, 。
备注2。在定理1(定理2),外源输入的规范也不大于1。我们可以推导出估计的输出可以设置如果外源输入的规范不大于一个标量 。如果 ,然后输出可以设置可以有限的一组hyperpyramids吗 。事实上,如果我们假设 ,然后我们获得 。系统(1)- (2)可以改写下列形式: 所以,根据定理1(定理2), 可以有界 。然后,可以有界 。
的超体积hyperpyramid (5)= (卡特和Champanerkar [30.])。的体积边界hyperpyramids认为在两种情况下可以最小化通过求解优化问题如下: 哪个科目定理的条件吗1或2, , 。
解决优化问题(23),受试者在定理的条件2我们采用遗传算法(GA)。关于GA的更多细节,请参见[31日,32]。
3.2。例子
在本节中,我们将举例说明两种情况。
3.2.1之上。案例1
通过求解问题(23),我们得到
边界hyperpyramids图所示1与外源输入定义的 。
3.2.2。案例2
的最优值问题(23)
边界hyperpyramids图所示2与外源输入定义的 , ,和 。
(一)
(b)
(c)
4所示。结论
在这项工作中,我们研究了估计的输出可以设置正周期系统。结果(定理1和定理2)已经发现了两个外生干扰类,和优化技术已经被用于减少边界hyperpyramids的体积。数值的例子被用来验证理论结果。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。