文摘

我们研究的一类局部保形几乎卡勒结构和证明,在某些情况下,这个类的一个子类几乎卡勒的结构。我们几乎表明局部保形卡勒歧管承认规范叶理桑叶是超曲面的平均曲率向量场与李向量场。geodesibility的叶子也为特征,和他们的极小性恰逢李的不可压缩性向量场沿着叶子。

1。介绍

研究导管局部保形几乎卡勒是谁的度量指标被认为是最有趣的一个研究领域的微分几何(见[1详情和引用其中)。这是因为其丰富的理论适用于物理、代数几何、辛几何、等等。据我们所知,局部保形(几乎)卡勒结构首次研究了Libermann [2在1950年代。1966年,灰色3]也导致了研究通过考虑(几乎)埃尔米特阀组的指标是正形本地(几乎)卡勒度量。然而,全球正形(几乎)卡勒复写共享相同的拓扑属性与局部保形(几乎)卡勒集合管(4]。因此挑衅考虑那些几乎埃尔米特导管局部保形几乎卡勒是谁的度量指标。局部保形卡勒导管之间的区别,以及局部保形几乎卡勒导管近可积性条件的复杂结构。这几乎相当于一个复杂结构被平行对全球Nijenhuis张量的定义连接或消失。因此,几何性质几乎不依赖于复杂的结构将适用于这两个集合管。

Libermann定义一个局部保形(几乎)卡勒度量指标在附近,几乎每个点的埃尔米特廖,它是局部保形(几乎)卡勒度量。

在本文中,我们调查的一些性质的曲率张量和绿叶的局部保形几乎Kahler导管。绿叶,我们注意的出现自然当李形式消失。本文组织如下。节2,我们回忆起局部保形的定义几乎卡勒结构支持的一个例子。节3,我们处理曲率张量。后者概括Olszak所发现的在5]。在一些条件下,我们证明了一类局部保形几乎Kahler结构几乎卡勒结构的一个子类。部分4致力于规范化叶理李非零的形式出现的。我们证明这些叶理是黎曼当且仅当李明博自平行向量场。我们也证明了局部保形几乎Kahler复写包含叶子与平均曲率向量场与李向量场,和他们geodesibility伴随着杀死李向量场的状况。后者是不可压缩的叶子当且仅当叶子很小。

2。局部保形几乎Kahler指标

让是一个 - - - - - -维埃尔米特廖几乎与指标几乎和复杂的结构令人满意的 对于任何一个向量场和切线 ,在哪里代表切丛的恒等变换 。然后,对于任何一个向量场和 ,张 定义了基本的二维非简并,给出了一个几乎辛结构 。如果关闭,也就是说, ,然后 被称为一个几乎卡勒歧管(6]。

现在,让 是一个 - - - - - -维埃尔米特廖。这样一个歧管据说是本地保形几乎Kahler歧管(4如果有一个开放的覆盖的和一个家庭的 - - - - - -功能 这样,对于任何 ,度量形式 几乎是一个卡勒的量度。

如果结构 中定义的(3)是卡勒 被称为局部保形卡勒。此外,局部保形几乎Kahler歧管几乎是卡勒当且仅当吗 。

李的形式很重要,因为它描述局部保形几乎Kahler导管。局部保形几乎Kahler集合管的特点是只熊掌(4]。这是一个几乎埃尔米特声明如下:多方面的 几乎是一个局部保形卡勒歧管当且仅当存在1这样

例1。我们考虑到四维流形 ,在哪里 的标准坐标吗 。向量场, 是线性无关的每一点的 。让黎曼度量定义为 ,在哪里克罗内克符号, 。即指标的形式 让是 - - - - - -张量场定义为 , , ,和 。因此, 定义了一个几乎厄密共轭结构 。基本的二维的零组件是 我们有 其微分给 通过让 我们有 很容易看到 ,和对偶向量场是由 让我们考虑开放社区的给出的 ,存在一个可微函数在这样 ,在哪里 。通过上述描述中给出(4), 几乎是一个局部保形Kahler歧管。
接下来,我们希望研究的关系Levi-Civita连接引起的局部保形卡勒指标和 。
在这篇文章中,将表示 - - - - - -模块的可微的一个矢量包 。
让和Levi-Civita连接相关的指标和 ,分别。众所周知,他们是连接的 对所有 。

3所示。曲率关系的局部保形几乎Kahler指标

让 是一个 - - - - - -维埃尔米特廖。在这里,我们保持当地转换和其他公式的形式主义在前一节中定义的。对黎曼曲率的一个度量 ,我们使用以下约定: 在哪里 对于任何一个向量场 , ,和在 。

让标准正交基对 。里奇曲率张量和标量曲率是由

现在,我们考虑里奇 - - - - - -曲率张量和标量 - - - - - -曲率定义为

同样,相对应的曲率度量将用 , , , ,和 ,分别。

引理1。让 几乎是一个局部保形Kahler歧管。然后,曲率张量和关于指标和 ,分别是相关的 在哪里 。

证明。使用公约(15曲率张量)和和关系(13),对于任何一个向量场 , ,和切线 ,的表情 值得注意的是, 将块(19)和(20.)在一起,一个获得关系(18)。这就完成了证明。
接下来,从上面的引理,我们定义 - - - - - -张量场通过 并给出该跟踪

引理2。的 - - - - - -张量场是对称的。

证明。对于任何一个向量场和切线由于是封闭的,我们有什么 这就完成了证明。
谎言导数对向量场了,对于任何一个向量场和 , (最后的平等24光滑的1)遵循的事实是关闭的。

引理3。对偶向量场的保留度规当且仅当李形式是 - - - - - -平行的。

任何的黎曼曲率,有关 , , ,和切线 ,

让标准正交基对 。然后,我们有

让 ,对于任何 。因此,我们有以下。

引理4。框架标准正交基对吗 。

以下身份概括的了(9,p.216]。

引理5。里奇曲率张量和关于和 ,分别由有关

证明。利用引理4对于任何一个向量场和切线 ,一个人 这就完成了证明。
同时,相应的里奇 - - - - - -曲率是相关的

推论1。标量曲率和是相关的

证明。利用引理4和曲率标量 ,我们有 然后,应用方程(26)(31日),我们得到 因此, 这就完成了证明。
现在,如果我们考虑一个标量之间的关系 - - - - - -曲率和 ,我们得到以下。

推论2。标量 - - - - - -曲率和是相关的

证明。标量 - - - - - -曲率是由 现在,应用关系(29日)(35),我们计算 因此, 是必需的。
灰色(7考虑一些曲率身份几乎为埃尔米特和埃尔米特集合管。让是几乎埃尔米特阀组中定义的类(7]。然后,多方面的考虑是类的一个元素 。现在,考虑在[7]曲率运营商的局部保形几乎Kahler歧管 : 对于任何 , , ,和切线 。项目(1)被称为卡勒身份是一种局部保形卡勒歧管(见[7为更多的细节和引用)。
我们将集中在接下来的注意,在项目使用进一步符号如[(1)。7),我们用子类复写的曲率算子满足身份(i)。在这里,(我)可以是项目(1),(2)或(3)以上。在[7),很容易看到 因此,我们有以下结果。

引理6。如果一个局部保形几乎Kahler歧管类 ,,等号成立

证明。证明使用的事实,从一个简单的计算,对于任何一个向量场和切线 ,我们有 导致 这就完成了证明。
关系(41)导致

定理1。让 是一个 - - - - - -空间紧凑的局部保形几乎Kahler歧管 和包含在 。如果 然后 几乎是一个卡勒多方面的。

证明。由引理6,我们有 ,与 。考虑到这一点,集成关系(40),使用格林公式, 因此,在我们的假设,我们得到 。因此, 以相同的形式在 。因此, 几乎是一个卡勒多方面的。
这个定理作为一个例子,我们在本地有紧凑的平面几乎Kahler导管。紧凑的平面在[详细8)和引用。

4所示。李形式和规范的绿叶

让 几乎是一个局部保形Kahler歧管,假设李形式是永远不会消失 。然后, 定义上的可积的分布,因此生叶 ,在(见[9为更多的细节和引用)。

让 分布在和张成的分布的向量场 。然后,我们有如下分解: 在哪里表示正交的直和。通过分解(45),任何 被编写为 在哪里和正射投影的成和 ,分别。在这里,很容易看到 ,和

让是绿叶的局部保形几乎卡勒歧管 余维数1。度规据说衣服当成生叶吗如果感应度规的横向分布平行的内在联系 。这是正确的,当且仅当Levi-Civita连接的 满足(见[10,11更多细节) 对于任何 , , 。一个生叶据说是黎曼 如果黎曼度量在是衣服当成 。

让产生的正交互补的绿叶 。现在,我们提供必要和充分条件指标在一个局部保形几乎Kahler歧管衣服当成生叶和 。

定理2。让 几乎是一个局部保形卡勒歧管,让是绿叶余维数1。然后,以下断言是等价的:(我)生叶的是椭圆。(2)李明博向量场自平行对吗 ,也就是说,

证明。对于任何 , , ,我们有 和 ,和左边的(48)给 的等价性。
让是一片树叶的分布 。自子流形的和任何 , ,我们有 在哪里和Levi-Civita连接和第二基本形式 ,分别。在这里,形态算子对吗 。相反,我们有 ;因此, 对于任何 。因此,温加滕公式(52)成为

命题1。让 几乎是一个局部保形Kahler歧管。然后,平均曲率向量场可积的叶子的分布中定义的(45)是由 此外,这些叶子完全测地线的超曲面当且仅当对偶向量场的保留他们的指标。

证明。让的叶子可积的分布 。使用(51)和(54),第二基本形式给了 对于任何 , 。解决当地标准正交坐标系 在 ,一个人 最后断言,这就完成了证明。
因此,我们有以下结果。

推论4。让 几乎是一个局部保形Kahler歧管。然后,树叶的分布在(45)是最小的,当且仅当对偶向量场是不可压缩的 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是基于研究支持全部/部分由南非国家研究基金会(批准号95931和106072年)。