文摘
豪斯多夫拓扑空间中的任何连续函数值有一个封闭的图形和满足中间值的属性。然而,相反的含义是假,。在本文中,我们把附加条件的函数,其图相反的是真实的。
1。介绍
这个工作的动机来源于中间值定理(溶)和封闭图定理(1]。我们讨论的结果2),显示扭转的早期诊断可能是真的在某些额外的假设。
一个连续函数的豪斯多夫空间是满足以下事实:(1)中间值属性(IVP)。(2)它的图形是关闭的。(3)每个闭集的逆象是关闭的。
一分之二的反向结果是假的。这意味着如果一个函数满足IVP或其图是封闭的,它不一定是连续的。这项工作的目的是提供一些条件,这种逆转是正确的。从这个意义上说,我们在定理证明2每个函数从一个本地连接度量空间局部顺序紧凑的空间,按顺序关闭图和满足IVP,是连续的。定理1是一个泛化的定理2函数有一个封闭的图形从局部连通空间局部紧空间。在定理1,我们有一个泛化在赋范空间中给出的结果2]。在定理6,我们表明,序列图的亲密意味着一个球体的逆象是按顺序关闭。
我们知道图的亲密意味着巴拿赫空间之间的线性映射的连续性(3]。在推论给出相同的结果2赋范空间之间的函数,不一定是线性的,满足IVP而言如果域是有限维赋范空间。
从现在开始,让和豪斯多夫拓扑空间和是一个地图成 。的图像被定义为
定义1。让豪斯多夫拓扑空间。(1)这个函数据说是满足中间值属性(IVP)如果每个连接的子集的形象连接在 。(2)一个子集的据说是按顺序关闭如果它包含每一个收敛序列的极限在 。(3)一个子集的据说如果每个序列顺序紧凑承认一个极限值 。(4)的空间如果每一个据说是本地顺序紧凑 承认的基础顺序紧凑的社区。(5)的空间如果每一个据说是本地连接 承认一个连接社区的基础。
备注1。每一个按顺序关闭本地局部连续紧凑空间的子空间顺序紧凑。
在[1),我们有以下经典的结果。
命题1。如果是连续的,那么它的图是它满足IVP关闭。
定理1。让是一个连接拓扑空间的子集 。对于每个子集的这样 和 ,我们有 ,在哪里 。
现在,考虑下面的例子。
例1。(1)这个函数
满足IVP,但它不是连续的0。(2)这个函数
有一个封闭图形,但它并不是连续的0。(3)的达布定理(4](声称可微函数的导数在实际行满足IVP),任何真正的函数的导数,不在在实际行满足IVP但不是连续的。(4)使用实数的扩张基础13日工作了(5]给出了建筑的功能满足IVP连续。(5)让是一个不可数集和是真正的或复杂的领域。集
与
和
然后,是一个线性空间的子空间有界序列
。定义一个二元性之间结束对所有
和
通过
的集
在哪里是一个有限的子集和
,形成一个零基础附近的一个线性拓扑称为弱拓扑之间的二元性和用
。
的集
在哪里一个凸平衡紧凑的弱拓扑子集和
形成一个零基础附近的一个线性拓扑叫麦基拓扑之间的二元性和用
。
麦基拓扑上最强的拓扑拓扑的双线性映射的空间吗
让提供与麦基拓扑
和的巴拿赫空间可和家庭
。的规范注射成是一个地图,一个封闭图形,不是连续的。更多细节,请参阅[6]。
在下面,我们研究条件使扭转的早期真。
定理2。假设 是一个本地连接度量空间和顺序是本地紧凑。如果满足IVP和它的图是按顺序关闭,然后是连续的。
证明。假设不是连续的 。自本地连接,存在一个连接附近吗的这样 集 ;然后,是附近的 。因此,存在一个连接的这样 ,所以我们构造一个递减序列连接社区的这样 另一方面,不是连续的和顺序是本地顺序紧凑,存在一个紧凑的社区的这样 然后, 自连接所有 ,由定理1,我们有 因此,对所有 ,存在 这样 。顺序的密实度 ,有一子序列的这是收敛的 。由于序列是在和收敛于 ,然后 和 ,因为这是一个矛盾吗是一个地区的 。然后,是连续的 。
备注2。通过前面的定理,(1)函数的图形在例1不是一个闭集。(2)这个函数 ,在例2,不满足IVP。
定理3。让是一个本地连接拓扑空间和是本地紧凑。如果满足IVP和关闭它的图形,然后是连续的。
证明。假设不是连续的 。自是本地紧凑,有一个紧凑的社区的这样 为所有的邻居的 。由当地的连通性 ,有一个广义序列连接社区的 ,这是一个基于社区的在 。然后, 自满足IVP,连接所有 。由定理1,存在一个广义序列这样 的密实度 , 紧凑。然后,存在一个子序列这样收敛于 。然后,广义序列收敛于 。自是封闭的,那么 。因此, 和 ,这与是一个地区的 。因此,是连续的。
自赋范空间是本地连接和本地有限维赋范空间紧凑,我们有以下推论。
推论1。每个函数从一个赋范矢量空间变成一个有限维赋范矢量空间满足IVP和封闭图是连续的。
在[2),下面的定理给出了扭转的早期诊断下弱的假设。
定理4。让是一个实值函数在一个区间的满足了IVP。如果对所有 是封闭的 ,然后是连续的。
命题2。让 是一个函数;然后:(1)如果图是关闭的,那么对每一个吗 是封闭的 。(2)如果图按顺序关闭,那么对于每一个 按顺序关闭在 。(3)如果是连续的,那么每一个 是封闭的 。
证明。(1)让是一个广义序列这是收敛的 。 是一个序列这是收敛的 。自是封闭的,那么 。因此, 。因此,是封闭的 。(2)同样,我们展示(2)。(3)的连续性意味着的图像是封闭的,然后我们有(3)。
备注3。(1)1和2的逆转是假的,。在例2中,是内射,是封闭的 ,但没有封闭的图形。(2)定理2是定理的推论4和主张2。
下面的定理是一个泛化的定理4。
定理5。假设是一个赋范矢量空间或和本地连接度量空间。如果满足IVP和各方面的逆象按顺序关闭在 ,然后是连续的。
证明。假设不是连续的 。在定理的证明2,有 和一个序列在这是收敛的 ,和所有 ,在哪里 球,球体的半径吗 ,分别。因此,是在这是封闭的。然后, 和 :一个矛盾。因此,是连续的。
定理6。假设是一个有限维赋范矢量空间。如果图是按顺序关闭,那么每一个球体的逆象吗按顺序关闭在 。
证明。让 球体的中心和半径 。让是一个序列这是收敛的 。我们表明, 。我们知道序列是在 。自是一个有限维赋范空间呢紧凑。因此,有一个子序列的这是收敛的 。从图的是按顺序关闭,是一个序列这是收敛的 ,然后 在和 。因此, 和 。因此,按顺序关闭在 。
定理7。假设是一个有限维赋范空间。如果图是封闭的,那么每一个球体的逆象是封闭的 。
证明。让 球体的中心和半径 。让在关闭 ;然后,存在一个广义序列在这是收敛的 。然后,序列是在这是紧凑的。因此,有一个子序列这是收敛的 。这个图的是关闭,是在 ;然后, 。因此, 和 。因此,是封闭的 。
推论2。假设是一个有限维赋范空间或和本地连接度量空间。如果满足IVP和它的图是按顺序关闭,然后是连续的。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现没有可用的,因为他们是保密的。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。