文摘

组合资金和二项式身份出现在数学的许多分支,物理和工程。他们可以建立了许多技术,从生成函数特殊系列。在这里,使用一个简单的数学归纳法原理,我们获得一个新的组合和涉及普通的权力,权力,和二项式系数。这种方式,没有使用任何复杂的分析技术,我们获得的结果,已经存在和泛化的身份来自英镑数量的第二种。我们的公式是新的、真正的和几个身份可以来源于它。本研究的发现可以帮助更好地理解之间的关系的普通和权力的下降,都在离散数学中发挥非常重要的作用。

1。介绍

身份涉及二项式系数和组合和有几种用途在数学物理和工程和出现在多个数学分支,如组合、概率论、数论、图论。这些身份可以推导出了许多技术,开关的顺序累加为双金额和数学归纳法,迫使伸缩式,有时,可以解释一个表达式计算一些数量或计算一些事件的概率。但是,也有一些更复杂的分析方法如生成函数,逆关系,积分表示,和特殊系列如γ函数或测试功能(1- - - - - -3]。

在这篇文章中,我们将使用新技术来获得一个新的优雅的身份涉及普通的权力,权力,和二项式系数。我们使用我们的主要身份转换的区别普通权力和权力二项式系数下降。然后,我们得到一些其他的资金由于我们的主要身份,其中一个是已经被证明在4]。

组合总结我们的工作不同于之前的研究,因为它使用一个新的、简单的数学归纳法原理而不是普通的上述复杂的方法。

首先,我们介绍一下我们的数学归纳法原理作为一个引理,然后我们把它用于证明我们的主要定理。后来,我们证明我们的第二个主要的结果,一个公式,可以诱导在文献中已经存在。

2。主要结果

首先,我们介绍一下以下特定数学归纳法原理。

引理1。让 ,并考虑断言 。假设(我) 是真的。(2) ,对所有 。然后,适用于所有 。

让表示期限下降! , 。现在,我们国家我们的主要结果。

定理1。让 。然后 对所有 。

证明。为 ,让 表示第二类斯特林数字。自 ,我们得到了 这意味着 现在假设 我们有 我们使用这一事实在哪里 因此, 这意味着 下一个引理不难看出,但必要的证明我们的下一个结果。

引理2。让 , 对所有 。

证明。对所有 ,我们有 同样的, 然后, 与假设 当然,它可以重复相同的过程次了。

定理2。让 和 。然后 对所有 。

证明。为 ,我们得到了 作为一个直接后果的引理。现在,假设 我们得到, 作为一个直接后果之前的定理,我们得到以下的身份。

推论1(见定理5.1的4])。如果我们把 在过去的定理,我们得到的 这意味着

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。