文摘

多项式可以用来代表现实世界的情况下,根部有实际含义时实数。代数基本定理告诉我们,每一个非常数的多项式 复杂系数有复杂的根源。然而,没有类似的结果保证真正的根的存在 如果我们限制系数是真实的。让 和 向量空间的多项式的学位 用实系数或更少。在本文中,我们给出显式形式的多项式 这样所有的根是真实的。此外,我们目前的显式形式的线性变换 保存多项式实根的特定子集的 。

1。介绍

多项式是最简单、最常用的数学。我们可以从实际情况近似函数多项式模型,他们给我们的结果是“接近”我们会通过使用实际的功能和更容易使用。也是一个多项式的根 - - - - - -截取的图是关键信息时画出多项式图,和实数时他们有现实的意义。许多方法来计算多项式的根已经发展(例如,1- - - - - -3]),提出了各种有效的算法(例如,4,5])。很自然的问多项式形式的保证所有实根,当我们一个多项式映射到另一个多项式,线性变换,如何保存多项式实根的样子。最明显的结果是证明了在6),只有非零的倍数的恒等变换保持向量空间中的所有多项式的根的多项式的学位 或少用真正的系数, 。

本文的目的是提供显式形式的多项式 这样他们所有的根是真实以及给显式形式的线性变换 保存多项式实根的某个子集 。

本文的组织如下。节2,我们回顾一些基本定义和属性 - - - - - -的阶乘多项式以及他们的应用程序。节3,我们提出明确的形式的多项式,证明他们总是所有实根。节4,我们定义了一个子集 的 和线性变换 。然后,我们证明他们保存的多项式实根 。节5,我们给我们的结果的结论。

2。初步

在本节中,我们介绍 - - - - - -阶乘和回忆多项式的基本定理及其应用。

2.1。 - - - - - -的阶乘

定义1。为非负整数 和 ,组合的数量 拍摄的对象, 一次,是由 按照惯例, 被定义为1, 被定义为0 。

定义2。对于一个非负整数 ,的 - - - - - -模拟的 定义是 按照惯例, 定义为0。请注意, 。

定义3。对于一个非负整数 ,的 - - - - - -的阶乘 用 定义是 按照惯例, 被定义为1。请注意, ,和

例1。考虑 ;我们有

2.2。多项式

定义4。一个元素 在 据说是一个给定的多项式的根 在 如果 。所有的根的集合 用 。

定理1。(代数基本定理;参见[7])。每一个非常数的多项式 复杂系数有复杂的根源。

这是一个非凡的声明;然而,没有类似的结果保证真正的根的存在 如果我们限制系数是实数。

下面的定理,我们使用证明在我们的主要结果提供了一个存在的充分条件所有实根。

定理2(见[8])。让 是一个多项式的学位 用积极的系数。如果 然后 。

多项式的有各种不同的应用程序,我们可以看看。下面的例子展示实根多项式的应用于实际情况中。

例2。引力大约是常数在地球表面的加速度 英尺/ ,和一个刚性物体的高度自由落体的时间 由牛顿运动方程建模: 在哪里 运行时间以秒为单位, 英尺/秒的初始速度, 对象的初始高度高于地面的脚。当 和 众所周知,我们有什么 如果 是一根 。这意味着对象 秒撞到地面。注意,因为 代表时间,只有负的实根适用。
在[9),特殊情况 用于翻译高度测量移动物体的图像以公制单位在3 d世界坐标系,推导关系的情况下刚性铰接的对象,然后从视频运动估计一个人的高度。

例3。化学平衡状态中,正向反应的速率等于逆反应的速率。考虑气体的化学平衡系统Cl2+ 2没有 2 nocl所描述的 在[10),如果 酒吧和平衡常数 酒吧在500 K的表达式 方程可以写吗 在哪里 的摩尔数吗 反应在平衡时从一个初始状态1摩尔组成 ,2摩尔 ,和2摩尔的 。自 有两个复杂的根和一个真正的根 ,只有真正的根是化学的根源 。

3所示。多项式实根

Fisk [11)发现,如果一个多项式的系数减少足够迅速,然后多项式的根都是实数。出于这个观察,我们在下面的形式和使用构造多项式定理2显示他们有所有实根。

命题1。让 是一个多项式在下列形式之一。然后, 。(1) (2) (3)

证明。首先,请注意,如果 ,然后 , 类似地,如果 ,然后 , 同样,如果 ,然后 , ,因此, 因此,通过定理2,所有的根 在上面的表格是真实的。

例4。由命题1, 所有真正的根源。

4所示。真正的根保存转换

让 和 是一组多项式满足条件定理2,也就是说, 为 为 }。很明显, 是的一个子集 ,和所有的多项式的根 是实数。

命题2。下面的线性变换 保存的多项式实根 。(1) 为 (2) (3) (4) (5) (6) (7) 为

证明。假设 是在 。然后,对于 ,我们有 。
对于每个线性变换,我们表明,它保留的真正根源 使用定理2。(1)让 。定义 。很明显, 保存所有多项式实根 。(2)定义 为 。然后,对于 , 自 ,我们有 ,因此, 。(3)定义 为 。然后,对于 , 因此, 。(4)定义 为 。然后,对于 , 因此, 。(5)定义 为 。然后,对于 ,我们有 因此, 。(6)定义 为 。然后,对于 , 自 ,我们有 ,因此, 。因此, 。(7)让 。定义 为 。然后,对于 , 自 ,我们有 。因此, 。

5。结论

建模现实世界的情况下,不能使用可以使用多项式近似线性函数,本文给出三个显式形式的多项式实根,七个显式形式的多项式实根保持线性变换保证真实的诠释和理解。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。