文摘

本文的目的是证明第二个上同调群 左交错代数代数闭域上的特点可以解释为0组等价类的一维中心扩展 。

1。介绍

在本文中,我们考虑有限维代数闭域上代数特色的0。一个代数剩下的选择(分别地。对替代)如果它满足左替代法律(分别地。正确的替代法) (职责。 ),对所有 。另一种代数是一个既左和右的选择。关于替代代数的一般理论,参考(1- - - - - -6]。

如果左交错代数,代数上定义相同的向量空间吗“相反”的乘法 代数是一个正确的选择,反之亦然。因此,剩下的语句替代代数有相应的语句替代代数。因此,我们只会考虑离开交错代数的情况。

Elhamdadi和Makhlouf7]介绍了替代代数的代数上同调,他们计算第二个2×2的矩阵代数的上同调群(视为左交错代数)。在本文中,我们回忆的上同调理论和birepresentations左交错代数和我们讨论第二个上同调群之间的联系 左边的交错代数和中央扩展,然后我们证明第二个上同调群 左交错代数可以解释为一维中心扩展的组类 。

2。预赛

在本节中,我们回忆起一些定义和概念的替代代数。这类代数是研究了几个作者;有关详细信息,请参考[1,4,6]。

定义1。让是一个交错代数。的birepresentation是一个三 ,在哪里是一个 - - - - - -向量空间和 和 两个线性映射满足吗(我) (2) 在哪里 在这种情况下,被称为双模的 。我们表示(职责。 )通过 (职责。 )。

命题1。让是一个替代的代数和是双模的 。直接被加数 是左交错代数拍成,通过定义乘法如下: 对所有 和 。

证明。我们表明,左替代法律是满意的。
让 和 。 因此, 是一个交错代数。

3所示。左替代代数的中心扩展

定义2。让是左交错代数;一维中心的延伸是离开的确切顺序选择代数: 这样 。
我们表示 的中心并通过的内核 。
两个这样的扩展和如果有一个射被称为等效 离开替代代数,下图是交换: 表示由 一维组等价类的中心的延伸 。

例1。让是一个左交错代数,一个向量空间, 是一个双线性映射,这样 我们定义在向量空间直和以下产品 : 我们可以很容易检查左交错代数(见示例1 (8]),并进一步得到一个精确的序列: 此外,我们有 ,扩展是中央和中央的延伸通过通过 。

4所示。的解释

现在,我们回忆离开交错代数的上同调理论引入了m . Elhamdadi和a . Makhlouf [7]。

让是一个替代的代数和一个 - - - - - -双模。如果 ,一个 - - - - - -上链的与价值观是一个 - - - - - -线性映射的在 。我们表示 的空间 - - - - - -上链的 。为 ,我们把 和 。

为 ,我们定义第一个微分 通过

让 ,我们定义第二个微分 通过 在哪里包含三条线的地图吗定义为 和表示程度的Hochschild微分2定义的

调用任何 - - - - - -形式 一个 - - - - - -余圈当且仅当 和表示的子空间 - - - - - -闭上链的 。

的 - - - - - -th上同调群 定义的因素空间:

备注1。在示例1,如果我们考虑作为一个 - - - - - -简单的双模,然后 由此可见, 因此, 是左交错代数当且仅当 ,(例如,是一个2-cocycle)。
现在,从我们前面的讨论,我们得到本文的主要结果:

命题2。让是一个左交错代数和考虑作为一个平凡的 - - - - - -双模,然后上同调群 可以解释为一维中心扩展组等价类的吗(例如,there is a bijection between 和 )。

证明。让 ,我们可以联想到扩展 的产品 是由 ,对所有 和 。如果 ,然后 ,与 。此外,定义一个一维中心扩展: 的产品 是由 映射 定义为 射的替代代数。事实上,让 和 。 使这些扩展之间的等效。所以,cohomologous闭上链对应等效一维中心扩展。我们也证明了等价的一维中心扩展诱发cohomologous闭上链。为了显示的主观性,我们必须构建一个2-cocycle从给定一维中心的延伸 : 这是由于如下:
有一个线性映射 与 。让 ,为 。作为是离开的射替代代数,我们有什么 ;因此, 有值 。然后,你可以检查地图 是一个2-cocycle。我们因此获得

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。