文摘

积极的线性离散系统零能控性判据与多个延迟获得状态和输入和证明。给出一个例子来支持我们的主要结果。

1。介绍和预赛

在本文中,我们使用以下符号:非负整数的集合,是正整数的集合, 有限的子集与 , 是真正的向量的集合组件,向量的集合在吗与非负组件,是真正的矩阵的集合尺寸 , 单位矩阵在吗 ,和是一组与非负矩阵的条目。

积极的系统是一类广泛的系统状态变量的约束是积极的或者至少非负时间只要初始条件和输入是负的(1,2]。积极线性系统的数学理论是基于非负矩阵的理论开发的阶石和弗罗贝尼乌斯,看,例如,(3,4]。因为积极的系统不是线性空间上定义但锥,然后许多概念的线性系统不能直接推广到线性没有再形成积极的系统。其中一个属性是线性积极系统的能控性的概念。

可控性是数学的基本概念之一,控制理论。积极的系统是可控的,如果可以从任意非负初始状态转移到任意非负最终状态只使用某些容许非负控制。自1980年代末以来,积极离散线性系统的可控性没有延迟一直是许多研究的主题(5- - - - - -9]。特别是,Coxson和夏皮罗(6)表明,离散线性正系统可控当且仅当它是可获得的(从零初始条件可控性)和零可控(可控性零最终状态)。积极线性离散系统的能达性与多个延迟状态和控制是解决(10]。在零积极线性离散系统的能控性与延迟,作者的11]表明,以下系统与单个国家延迟 是零可控当且仅当矩阵 是幂零。在本文中,我们将扩展零能控性的结果(11]更一般情况,即积极与多个时滞离散系统的状态和输入。为此,我们考虑一般离散线性时滞系统: 在哪里 是国家, 是输入, , ,和和非负整数的最大延迟的状态和输入值,分别。初始条件(2)是任意的 为 和 为 。

定义1。(积极的)。系统(2如果国家)被认为是积极的 , ,对于任何初始状态 ,对于任何初始输入 ,和所有输入 , 。

引理1。(见[10])。系统(2)是积极的,当且仅当 和 。
所有的续集在本文中,我们假设系统(2)是积极的。

定义2。(零能控性)。系统(2)据说是零可控如果任何初始状态序列 和任何初始输入序列 ,存在一个正整数和一个输入序列 这样系统的状态驱动为0, 。
本文组织如下。节2,我们给予和证明标准的零能控性的系统(2),是本文的主要结果。中给出了一个数值例子3。最后,结论部分提供4。

2。主要结果

在本节中,我们给出了本文的主要结果的证明,这是完成定理1。

引理2(见[12,13])。的通解(2)是由 的转移矩阵 由递推关系吗 与假设

引理3。转换矩阵也满足以下方程:

证明。请参阅附录一。
然后,对任何 ,我们的姿势 ,因此,对所有 ,我们的姿势 与 此外,对于 ,我们把 与 为 。
显然,(7)和(9),解决方案(3)是由以下新配方:

定理1。系统(2)是零可控当且仅当矩阵 是幂零。
我们介绍以下有用的两个引理,将帮助我们在我们的主要结果的证明。

引理4。对所有 ,我们有

证明。请参阅附录B。
不失一般性,我们假设 。事实上,如果 ,我们可以设置 为 ,然后我们回到 的情况。

引理5。对所有 ,我们有

证明。请参阅附录C。

备注1。自 ,然后 。
现在,我们证明我们的主要结果。

定理的证明1(充足)。自是幂零,那么存在一个正整数吗这样 。因此,由引理5,我们有 为 和 为 。因此,系统(2)是零可控。
(必要性)。因为系统(2)是零可控,存在一个正整数这样 为 和 为 。根据引理4,我们得到 和 为 。因此,通过引理5,我们有 。这意味着是幂零。这个定理证明。

备注2。如果一个矩阵的对角元素非零,系统(2)非零可控。

3所示。例子

考虑系统(2), 和矩阵

通过计算,我们得到的矩阵 是幂零指数 ,也就是说, 和 因此,通过定理1系统(2)是零可控。

4所示。结论

在本文中,我们调查了离散线性积极系统的零能控性与延迟。零的必要和充分条件可控性与多个延迟离散线性积极的系统状态变量和输入信号。给出了一个数值例子来探索该理论。

附录

答:证明引理3

证明。首先,对于 ,我们有 和(6)持有。其次,假设(6)适用于 。我们证明它适用于 。
为 ,我们有 为 ,我们有 因此,(6在步骤)是满意 。因此,(6适用于任何 。

b .引理的证明4

证明。让 。为 ,我们有 和, ,我们有 同样,我们证明(13)持有。

5 c .引理的证明

证明。我们引入一个新的状态变量 为 通过 很容易验证 在哪里定义在(11), 让 为 。然后,系统的解决方案(C.2)是由 另一方面,从(10),为所有 ,我们有 因此,通过识别之间(C.4)和(C.5),我们得到(14)持有。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。