文摘
对于一个多项式的程度 ,它遵循的最大模量定理 。这是Ankeny和Rivlin,如果所示 为 ,然后 。1998年,高和Mohapatra延长上述两个不平等理性的功能,在本文,我们研究这些结果的细化高和Mohapatra。
1。介绍和语句的结果
让表示所有复杂的集合代数多项式在大多数的学位,让的导数是 。为一个函数单位圆定义 在复平面 ,集 ,切比雪夫范数的在 。
让表示该地区严格内部和是该地区以外的严格 。为 , ,让 Blaschke产品,
然后,是理性的设置功能和可能的波兰人在 和有一个有限的限制 。另外,请注意, 。
1.1。定义
(我)对多项式 ,共轭转置(倒数)的被定义为 (2)对有理函数 ,共轭转置, ,的被定义为 (3)的多项式 self-inversive如果 对于一些 。(iv)的有理函数 self-inversive如果 对于一些 。
很容易验证 和 ,然后 ,因此, 。所以, 是self-inversive当且仅当吗self-inversive。
立方理性的样条函数,对一些相关结果看到阿巴斯et al。1,2]。
如果 ,众所周知,
这种不平等所带来的一个直接结果的最大模量定理。此外,如果 所有的零吗 ,然后
不平等(6)是由于Ankeny和Rivlin [3]。不平等(5)和(6)锐利;不平等(5)变得平等 ,在哪里 ,和不平等(6)变得平等 ,在哪里 。
高和Mohapatra4)给结果类似于不平等(5),但对于理性的功能,它是这样的。
定理1。如果 是一个有理函数 为 ,然后 ,
这个结果是最好的,平等的 ,在哪里 。
在同一篇论文中,高和Mohapatra4)也给出如下结果,证明了类似于不平等(6)理性的功能。
定理2。让 与 为 。如果所有的0躺在 ,然后 ,
这个结果是最好的,平等适用于有理函数 ,在哪里 。
在本文中,我们首先提出以下改进上面的定理1。在这里, 最多是一个多项式的程度 。
定理3。如果 是一个有理函数 , ,然后 , 结果是最好的,平等的 ,在哪里 。
备注1。很明显,定理3提高定理1。同时,我们可以使用定理3获得一个削尖的伯恩斯坦多项式不等式的形式。为此,我们
是一个多项式的学位
。然后,
,因此通过定理3,因为
,
如果在
是这样的,
然后我们从(13)
自
和
,我们得到了
,因此,从(16),我们有
,
自(17适用于所有
,在哪里
,使
,在哪里
,我们得到,
,
我们在引理2节中,2的表达式右边(18)是一个增加的功能
。请注意,
,因为如果
,然后
。在运用这一事实(18),我们得到,
,
相当于对吗
,我们有
这样的增长率多项式的结果,这是一个磨练伯恩斯坦的不平等,首次出现引理3的5]。
我们继续之前的证明定理3最近,我们国家以下结果证明了米尔(6),这是一个精致的定理2。
定理4。让 ,与 为 。如果所有的0躺在 ,然后 ,
我们忽略这个定理的证明,因为它已经证明了本文由于米尔(6]。然而,与此相关,我们做出以下两个讲话。
备注2。很明显,
,上面的定理4减少对定理2。此外,它已被米尔声称[6),在所有其他情况下除非
,它给出了一个比获得一个尖锐的定理2。虽然这种说法似乎是正确的,但为了证明这一点,有必要说明
为
,我们显示如下。
自
为
,Blaschke产品
分析在
。此外,在
,我们有
;因此,由最大模原理,
为
,这显然意味着
但是,上述相当于
这意味着
上面清楚地给了
为
,期望的不平等是两集
和
都是一样的。
备注3。如果在定理4,我们两边(21)然后让每个走到正无穷,我们得到以下结果由于阿齐兹和Dawood [7]。
定理5。让 是一个多项式的程度 。如果没有零 ,然后 ,
结果是最好的,平等的 ,在哪里 。
上面的定理5明显提高不等式(6在所有情况下除非 ,在这种情况下,它明显降低(6)。
备注4。来我们注意到,大约在同一时间,我们的论文投稿,Milovanović和米尔8包含定理)还提交了一篇论文3。然而,我们的定理的证明3比一个给定的不同(8]因为我们使用广义形式的施瓦兹证明引理给出当地([9],p . 167)(见高et al。(10],p . 326)),而证明(8由于Osserman[]使用一个引理11]。
现在,我们进行定理的证明3,在这方面,我们提出以下的前题。
2。前题
以下是一个著名的泛化施瓦兹的引理,给出当地([9],p . 167)(见高et al。(10],p . 326))。
引理1。如果分析内外圆吗 ,然后 ,
引理2。为 ,和 ,这个函数 是一个递增函数 。
证明。请注意, 它清楚地表明 ,我们有 因为上面的表达式是阳性 ,这个函数正在增加的 ,声称。
3所示。定理的证明3
自 与 为 ,这个函数 分析在 。因此,通过引理1我们得到, , 由于 ,不平等(32)事实上相当于不平等, ,
自定义 ,我们从(33), , 这显然给了,对吗 ,
很清楚的定义那 这,当结合(35),给了, , 这是(12)和定理的证明3因此完成。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。