文摘
我们扩展了著名的收敛特征空间( )的 - - - - - -可和序列和消失序列收敛的一般特征在巴拿赫空间与Schauder基础和获得即时推论收敛特征在一个无限维空间可分希尔伯特空间和空间的收敛序列。
”本文中的方法是抽象和措辞的巴拿赫空间、线性算子,等等。这样做的优势更简单和更大的普遍性应用证据。”雅各布·t·施瓦兹
1。介绍
在赋范矢量空间的序列,逐项地收敛,收敛的必要条件的序列(序列),不足的特点(见,例如,1])。因此,自然的问题如下:需要哪些条件,随着逐项地收敛,收敛的充分必要序列在这样的空间?
事实证明,在巴拿赫空间( )的 - - - - - -可和序列与 - - - - - -规范, ( 自然数的集合),消失的序列与 - - - - - -规范, 只有一个附加条件是必要的。以下收敛特征在上述场所是众所周知的。
命题1(收敛特性( ))。(真实的或复杂的)空间 , 敌我识别(1) , ,(2) 。
备注1。(我)(1)逐项的收敛条件。(2)条件(2)代表的一致收敛级数, 各自的总结 。
命题2(收敛特性 )。(真实的或复杂的)空间 , 敌我识别(1) , ,(2) 。
备注2。(我)(1)逐项的收敛条件。(2)条件(2)表示序列的一致收敛0 / 。
一个不能不注意到两个特征共享相同的条件(1)和条件(2)在每一个可以在下面的等价形式:新配方
(2 c) ,
在哪里代表 - - - - - -规范( )或 - - - - - -规范,分别映射 , ,( ( )或 )定义如下:
因此,我们有以下特征包括两相结合( )和 。
命题3(组合收敛特性)。(真实的或复杂的)空间 ( )或 , 敌我识别(1) , ,(2 c) ,在哪里代表 - - - - - -规范( )或 - - - - - -规范,分别映射 , ,被定义为(6)。
鉴于这一事实( )和巴拿赫空间Schauder基础,我们的目标表明,双态收敛特性,类似于上述特征相结合,适用于所有这样的空间似乎充分动机。我们建立的一般特征融合在巴拿赫空间Schauder基础和获得即时推论收敛特征在一个无限维空间可分希尔伯特空间和巴拿赫空间的收敛序列。
2。预赛
在这里,我们简要概述我们的话语某些预赛必不可少的。
定义1 (Schauder基础)。Schauder基础(也可数的基础上)的巴拿赫空间(真实的或复杂的) 是可数无限集在这样 这个系列叫做Schauder扩张和数字 , ,的坐标相对于 。
无限维空间分离的希尔伯特空间 (站内积和内部产品标准),一组标准正交基是Schauder基础,一个任意的 , (见,例如,1,2])。
正如我们上面提到的,序列空间( ), ,和巴拿赫空间的例子有Schauder基础。为( )和 ,是一组标准Schauder基础 (克罗内克符号)和一个任意的吗 在上述场所, (见,例如,1- - - - - -4])。
巴拿赫空间收敛序列的配备 - - - - - -规范(见(2)),标准Schauder基础( 非负整数的集合) 对于一个任意 , 见,例如,(1- - - - - -4]。
巴拿赫空间与更复杂的包含Schauder基地 ( )和 与 - - - - - -规范, (见,例如,3,4])。
巴拿赫空间与Schauder基础是无限维的,分离(见,例如,1- - - - - -3])。然而,无限维空间可分的巴拿赫空间不需要Schauder基础(见[5])。
的集合 - - - - - -称为序列, 逐项的线性运算和规范, 巴拿赫空间和线性算子, 受逆映射定理(见,例如,1- - - - - -3,6])。逆算子的有界性 意味着有界性,因此,连续性,对于线性Schauder协调泛函,, 与 (见,例如,1- - - - - -3])以及线性算子: 与 (是标识符 )和 (见,例如,3])。
备注3。这里,从今以后,我们用符号算子范数。
3所示。一般的描述
下面的语句似乎是一个完美的例子施瓦茨的深刻观察发现,在7),选择题词。
定理1(一般收敛特性)。让
(真实的或复杂)的巴拿赫空间Schauder基础和相应的协调泛函,
,
。
对一个序列和一个向量在
,
敌我识别(1)
,
,(2)
。
证明。”只有在”部分。
假设为一个序列和一个向量在
,
然后,通过的连续性Schauder协调泛
,
,我们推断条件(1)。
让
是任意的。然后,
自
,
因此,
鉴于(22),(25)和(27),我们有
此外,由于
,
,我们可以认为
在(27足够大,这样)
因此,条件(2)持有。
这就完成了“只有”部分的证明。
”如果”部分。假设为一个序列和一个向量在
,条件(1)和(2)。
对于一个任意
和
,条件(2)的条件(1),
自
,我们也可以把这
在条件(2)足够大,这样
然后,针对(21),(30.)和(31日)和条件(2),
这就是“如果”部分的证明和整个语句。
评论4。(我)条件(1)的收敛性的坐标相应的坐标相对于 。(2)条件(2)代表的一致收敛Schauder扩张, 的相对于在 。
现在,合并后的收敛特性(命题3)是一个即时的推论的一般特征。
4所示。收敛特性在一个无限维的可分离希尔伯特空间
无限维空间分离的希尔伯特空间 相对于一个标准正交基 ,鉴于(9)、收敛的一般特征(定理1)获得以下形式。
推论1(可分的收敛特性希尔伯特空间)。让
(真实的或复杂)的无限维空间可分与一组标准正交基希尔伯特空间
。
对一个序列和一个向量在
,
敌我识别(1)
,
,(2)
。
评论5。(我)条件(1)的傅里叶系数的收敛相应的傅里叶系数相对于 。(2)条件(2)表明傅里叶级数的一致收敛扩张, 的相对于在 。(3)收敛的特性(命题1) 现在是一个先前描述的具体情况。
5。特征融合的
另一个收敛的一般特征的直接推论(定理1)是实现后者的空间收敛序列的配备 - - - - - -规范(见(2相对于标准Schauder基础)(见部分2)。
事实上,在相对于 ,对于一个任意 , (见(13)), (cf。20.))。
因此,收敛的一般特征(定理1),针对明显的情况下,对于任何 ,这个序列, 减少,获得以下形式。
推论2(收敛特性 )。(真实的或复杂的)空间 , 敌我识别(1) , ,和 , ,(2) 。
评论6。(我)条件(1),除了逐项地收敛,包括收敛的极限。(2)条件(2)表示序列的一致收敛在各自的限制 。(3)收敛的特性(命题2)是一个纯粹的限制之前描述的子空间的 。
6。结论的话
很容易看到,收敛的一般特征(定理1)符合以下描述的密实度,这背后的结果(8]。
定理2(描述的密实度,定理III.7.4 (3])。(真实的或复杂)的巴拿赫空间 Schauder基础,集准紧(一个闭集吗紧凑)敌我识别(1) 是有界的,(2) 。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。