文摘
Chevalley-Dickson简单的组谎言的类型对伽罗瓦域和的秩序类最大的子组的形式吗 ,在哪里是一种特殊的2组与中心吗 。自是正常的 ,该集团 可以构造成一群nonsplit扩展的形式 。两个惯性因子组, 和 ,了,如果作用于 。在本文中,作者提出了一种方法来计算所有射影字符表 。这些表变得非常有用,如果一个人想要构建普通字符表通过Fischer-Clifford理论。这里介绍的方法是非常有效的计算不可约射影字符表有限可解群的可控的大小。
1。介绍
Chevalley-Dickson简单的组谎言的类型对伽罗瓦域和的秩序有八个共轭性类最大的子组(1]。这些类中的一个极大子群的指数在1365年是当地两子群的形式 ,在哪里是一种特殊的2组与中心吗 。此外,它可以提到 是一个抛物线子群的 。
该集团 是标准化者(1)的基本交换2组订单16的 ,发电机的4通勤对合发现班上的退化的 。因此,我们可以构造 作为一个扩展的通过 。使用一个416度的置换表示 发现在2的帮助下),我们可以很容易的验证(计算机代数系统的差距3), 存在nonsplit扩展组 。事实上,从字符表 上传在图书馆的差距,我们可以推断出也正常 。因此,借助缺口,它可以很容易地显示 也是同构nonsplit扩展的形式吗 。
自 ,的作用 在分裂N成两个轨道的长度1和图15所示。布劳尔的定理在4),G也作用于Irr有两个轨道的长度1和15和相应的惯性因子子组的形式和 。如果一个人想要构建普通字符表Fischer-Clifford矩阵的技术(5),一般不可约特征Irr的和普通的不可约特征Irr或一组不可约IrrProj射影字符 的与重要的相关因素是必要的。读者被称为(6]Fischer-Clifford理论的调查。
从上传字符表在图书馆的差距,我们发现有42个共轭性类。因此,Fischer-Clifford理论,= = 42。因此, ,在哪里 。自 ,当然一组不可约投射人物和重要的因素的Irr的建设是必需的通过Fischer-Clifford理论。
使用计算缺口,舒尔乘数的被确定为一组同构基本交换2组吗 。因此,组可以有15套独特的不可约射影字符 , ,这样 。在本文中,作者提出了一种方法(基于工作(7,8])来计算不同的不可约射影字符表 。作者还将展示如何选择适当的设置 为如果一个人想要构造一组Irr使用Fischer-Clifford矩阵的方法。
证明给出的结果,即不可约射影字符的数量 有限群的G与一些因素有关总是小于等于普通不可约的字符的数量的G。基于上述证据,代码开发的差距发现数量 不可约的投影特征与每个因素集在上同调类的 。有兴趣的读者被称为(9- - - - - -13]对概念在普通和射影定义角色理论。计算是借助计算机代数系统进行岩浆(14和差距3),和阿特拉斯的符号(1主要是使用。
2。初步结果在射影字符
在本节中,简要概述相关的射影角色理论与我们的研究。G总是表示有限群。同时,给出一个命题的证明即有限群的不可约射影的字符数G与一些因素有关α总是小于等于普通不可约特征的数量G。
定义1。一个函数α:被称为一个因素组吗G如果
对所有
。
所有因素集的等价类的集合G形成一个有限交换群,称为舒尔乘数,是用
。
定义2。的投影表示一组G的程度n复杂的数字地图
,这样(我)
(2)鉴于
,存在
这样
地图α被称为因素联系在一起P。
让P是一个投影的代表G使用因素组α。定义对所有
。然后,κ被称为射影性格的G。我们说κ是不可约如果P是,κ有一组因素α,在那里α因素的一组吗P。
让
表示不可约投影特征的集合G相关因素集α。一个元素据说是α常规的如果
对所有
。众所周知,是α- - - - - -当且仅当对于一些
或者说,是α不规则当且仅当对所有
。不可约投射人物的因素集α=的数量α常规类的一组G。投射人物也满足一般的正交关系,类似普通字符。
稍后我们将看到的部分4,定义3和备注1将发挥重要作用的不可约投影特征的计算
。
定义3。一组R是一个代表小组G如果存在一个同态π从R到G,(我)和(2) 。
备注1。一群覆盖C为G通常是一个商吗R由一个小组B的一个。如果有订单n,我们有时指的是作为一个组n倍的封面G。的投影表示G在表示组R因素集的等价类
。然而,在一个n倍的封面C的G,只有n等价类,C封面将代表(7]。
下列命题(见[15,16])是非常有用的,以确定的数量不可约射影字符的一群G与一个特定的相关因素α。它也告诉我们在这条件下
严格小于
。节4、GAP规范(基于命题1)将被用来计算数量
所有的不可约的射影字符在一组
。
命题1。让 。G是一个有限群的表示组G,在那里表示的舒尔乘数G。然后,Irr不可约字符的数量的R躺在一个线性的性格是小于等于 。
证明。不可约特征Irr的数量的R坐落在一个线性的性格是由 。众所周知,数量为每一个 ,非零如果x是一个换向器R。对于任何 ,我们有 在哪里共轭性类的数量吗 。最后遵循平等,因为不可约特征R与在内核正是那些包含琐碎的字符的限制 。因此, = == 。此外,如果有一个不同一性元素这是一个换向器R,那么不平等变得严格。
3所示。行动的 在和
解释在导论部分,分割扩展 可以构造成nonsplit扩展组 一个小学阿贝尔群通过 。自的标准化者N在 ,的作用在N产生了两种轨道的长度1和图15所示。它遵循的行动G在N还将导致两个轨道的长度和对应点稳定剂1和15吗和 。然后,通过布劳尔定理(4),G也有两个轨道的长度1和15 Irr子组与相应的惯性因素和 。见表1总结的行动(自对偶) 在和 ,分别。
4所示。射影字符表惯性因素H2
在本节中,所有IrrProj集 不可约的投影特征与相关因素集将计算。适当的差距代码将用于协助确定集IrrProj的计算方面 。读者被称为(7,8]在计算技术背景在这一节中使用。
自舒尔乘数小学阿贝尔群同构订单16日我们获得包含15上同调类订单2和琐碎的类 。因此,存在15套IrrProj射影字符 躺在上面设置的重要的因素 , ,这样 。注意,订单的两个质数是权力的产物,因此,伯恩赛德的吗定理(17),该集团是可以解决的。自是相对小的订单,这是可以解决的,以下空白码(18)(基于命题1)给不可约射影字符的数量包含在每组IrrProj :差距h:=差距f:= EpimorphismSchurCover (h)差距f:= InverseGeneralMapping (IsomorphismPcGroup(源(f)))f差距z:=内核(f)差距x:=源(f)差距列表(Irr (z),λ数量(Irr (x),气不是IsZero (ScalarProduct (RestrictedClassFunction (chi,z),λ))))
从上述差距的输出代码,不可约射影字符的数量 的每组中包含的 是30,26日,18日,16日,16日,16日,16日,16日,16日,14日,4、4、4、4、4和4分别。一组包含30投射人物与微不足道的因素集的 ,因此,他们是普通的不可约特征Irr的 。注意在上面的差距编码”来源集团”是完整的表示的而“内核”舒尔乘数表示 。
备注1、不可约的射影字符与给定因素集可以使用完整的计算没有表示组的 。因为所有的重要的因素集的IrrProj 订单两个,其目的是找到15双封面的其中包含所需的15集IrrProj 投影的特点 。非平凡的最大的子组的计算在差距,我们发现其中15的订单8和形状 。的15个因素组 , ,是双封面包含15集IrrProj吗 理想的不可约的射影字符的使用因素集这样 。下面的差距代码被用于“限制”R来获取集合 , :差距t:= CharacterTable (””)差距2t:= CharacterTable (””)差距F:= GetFusionMap (2t,t)差距地图:= ProjectionMap (F)差距projchars: =(2列表t,x {x地图})
从集 每个包含16个不可约射影字符,我们获得准确3独特的不可约射影字符表。此外,集 含有4不可约投射人物,产生3组不同的不可约射影字符表。因此,我们获得9截然不同 不可约的射影字符 ,在表中列出2- - - - - -10。普通的不可约特征Irr的发现在表11。注意,不可约射影字符与相关因素集0的值吗 - - - - - -不规则的类G。因此,不可约射影字符的数量等于的数量 - - - - - -常规类的G下面的表。上面的结果总结了以下定理:
定理1。惯性因子群的行动G在正好有9组不同的 与相关因素集这样 。
在介绍部分提到过,一组 16不可约的射影字符与相关因素集Irr的建设是必需的 ,使用Fischer-Clifford矩阵的方法。而是一种选择是在3个不同的射影字符表每个包含16个不可约射影字符。所需的设置 16不可约射影字符惰性组中可以找到的在Irr 。
因为我们有一个已知的置换表示 ,该集团内生成的差距。正常的子组的订单8计算。有三个这样的组织, ,和 ,这是基本的交换。三商集团是双封面每个包含46个普通不可约的角色。从每个组的Irr 30个字符是普通的臂的不可约特征来 ,而其余16个普通字符代表一组 不可约的投影特征 ,这是我们感兴趣的。使用以上差距代码前,所需的设置 投影的特点这是需要建设的普通字符表利用Fischer-Clifford理论被确定为表3。
5。Fischer-Clifford矩阵和共轭性的类
的读者感兴趣的普通字符表的建设 使用Fischer-Clifford矩阵的方法(见,例如,(6,9,19- - - - - -23Fischer-Clifford矩阵(表)12(表)和共轭性类13)提供。共轭性类排列的格式通过陪集的技术分析(见,例如,6,9,21,24])。不可约特征的集合将划分为2块 和 对应于惯性因子组和 ,分别在哪里 。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
信息披露
本文的内容提出了作为作者的短通信”表示在2018年国际数学家大会在里约热内卢,巴西。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢金融ConfCom的支持和应用科学学院开普半岛科技大学。作者最感谢主耶稣基督。