常规的配置空间球面多边形

文摘

让一个是一个实数满足 。我们表示常规的配置空间球面n-gons与边长一个。在我们之前的纸,我们确定为奇数n。在本文中,我们确定了n。从我们以前的纸的主要区别是,如下所示。当n很奇怪,我们证明吗是获得历届莫氏手术。另一方面,当n甚至,我们表明,是获得历届莫氏手术。在这里,表示等边的配置空间n-gons在 ,有奇异点什么时候n是偶数。

1。介绍和声明的主要结果

最近,多边形的拓扑空间维欧几里得空间的两个或三个已经被许多作者认为。平面多边形空间的研究开始于(1- - - - - -3]。例如,同源组决定在4]。另一方面,空间多边形空间的研究开始于(5]。

莫尔斯理论的研究中扮演着重要角色的多边形空间。(6)是一个很好的阐述关于多边形空间强调莫尔斯理论。在[7),米尔格拉姆和Trinkle结果制作优秀使用莫尔斯手术。

后来,卡珀维奇和米尔森(8研究了球面多边形空间。他们被证明是一个非凡的莫尔斯函数和非常有用的定理。我们首先回忆起他们的结果。

让 是一个n元组实数的满意 。我们设置 和定义 在哪里d是球面距离。让采取行动对角和我们组 。卡珀维奇和米尔森定义的函数通过

我们将限制u的,这样这是可微的。请注意, 封闭的多边形的模空间联系在吗用边长 。

它证明了在8)的一个元素是一个临界点的当且仅当它是退化。,它位于一个大圆γ在 。为了描述签名,我们给出以下。

定义1(定向γ)。假设 是一个封闭的简并链接中包含一个大圆吗γ。东方γ所以弧加入来积极引导。因此,优势是一个由原路退回,如果方向一样吗 。

定理1 ([8),主要定理)。让是一个堕落的自由链接和P是相关的简并关闭ngon联系。的签名是由 在哪里表示forward-tracks和表示数量的日文歌曲 。此外,表示退化的圈数的配置P,这是由公式给出 ,在哪里定义如下:如果是forward-track,我们准备好了吗 ,如果是由原路退回,然后我们准备好了吗 。

让一个是一个实数满足 。我们考虑这样一种情况 ,也就是说,为 。我们设置

请注意,是常规的模空间球面多边形边长吗一个。

我们意识到莫尔斯的水平集函数,它不同于上面 。我们第一组

让采取行动通过 在哪里 。然后,我们组

我们定义的函数通过

注意,所有 ,我们有

在[9),我们研究了奇怪的情况n和证明莫尔斯是一个函数。以来连续获得的水平集是莫氏手术,我们可以确定对所有一个。

本文的目的是研究的情况n。从今以后,我们总是假设n甚至和设置 。当n是偶数,具有以下两个特点,不奇怪吗n。一个是有一个同胚对所有一个(见定理5(我))。另一个是奇异点了吗一个。事实上,我们集 在哪里定理1中定义。然后,一个元素是一个奇异点的 。

避免 ,我们给出下面的定义。首先,我们设置

第二,我们组

第三,我们表示的限制来 。

定理2和3,这是本文的主要定理,断言莫尔斯是一个函数。

定理2。一个元素 是一个临界点的当且仅当P是退化。

定理2意味着以下两个结果:(我)相比之下的临界点的临界点,退化的联系吗是简并联系P这样 。(2)所有一个的关键值是理性的倍数π。此外,最小的临界值和最大的一个 。

定义的f,b,在定理1简并链接,下面的关系:

然后,我们有以下:

定理3。让是一个退化的多边形。然后,以下控制:(我)当 ,的签名是由 (2)当 ,的签名是由

本文组织如下。节2,我们首先结合定理2和3为定理4。然后,使用这个定理,我们确定定理6。节3,我们证明定理2和3。定理1是一个关键的证明定理3。节4,我们举几个例子 。

2。从定理2和3的结论

定理3,我们组

然后,我们得到下面的定理。我们表示 自然数的集合。

定理4。我们设置 然后,下面的断言:(我)对每一个 ,有一定数量的临界点对应的 。所有关键点都非简并,这样他们的信息是由表1。(2)相反,一个临界点获得了一个独特的吗 。

备注1。(我)不是真正的临界点的临界值有相同的索引。例如,包含的元素和这样,他们的关键值 。另一方面,前者是4的指数,但后者是3。(2)临界点并不取决于数量t。此外,索引的有相同的奇偶校验 ,也不取决于什么t。

定理4的证据。(我)让设置的临界点 。我们定义的地图 通过使 符合 在(15)。我们检查F当然是一个地图 。首先,我们检查 。事实上,这是明显的(15)积极的还是消极的。其次,我们检查 。事实上,我们从第二个方程(14), 自 ,(18)意味着 。第三,我们检查 。事实上,我们从第二个方程(15),如果 ,然后 ,如果 ,然后 。接下来,我们检查表1。首先,(18)告诉我们,临界值表1是真的。第二,我们计算的指数在 。从第一个方程(14)和(15),我们有 然后,使用定理3,(15)和(19),我们的指数在 是为积极的还是消极的。因此,索引的在表1是真的。第三,我们计算数量的临界点。(15)告诉我们,临界点 和 满足 当且仅当 或 。的描述f而言,年代计算(19)。自总是由原路退回,我们需要选择吗f的元素 。这样的选择的总数 因此,临界点在表的数量1是真的。这就完成了证明定理4 (i)。(2)项目是明确的15)。

定理5。(我)为 ,我们设置 ,我们把为 。然后,有一个同胚 ,那里的空间定义在(3)。特别是,有一个同胚对所有 。(2)让等边的配置空间n-gons在 。然后,如果或 ,有一个同胚 。

证明。(我)在([项目证明10),定理2.2)和([8),第四节)。更确切地说,我们定义了地图通过 在我们组 。然后,G是一个同胚。(2)显然,如果ε是一个足够小的正实数,呢是同胚的 。此外,由于任何元素 是一个常规的价值由定理4,我们有为 。使用上面的项目(i),我们也有为 。

定理6。让是关键的值的集合(注意,我们可以写的元素用表1)。然后,下面的断言:(我)假设 。然后,我们有 (2)假设 。让 独特的元素 ,满足以下两个条件: 然后,我们有 注意右边的(24)不依赖 。
为了证明定理6,我们需要以下。

定理7。让是一个光滑函数采用流形m .对数字 ,我们假设 紧凑和包含一个独特的非简并的临界点p指数r。然后,以下结果持有:(我)的水平集是获得通过删除 和附加沿着边界。我们称之为建筑类型的手术 。(2)如果d是偶数,那么我们有什么 (3)我们设置 。然后,水平集是获得通过删除 和附加 沿着边界,C表示锥。特别是,如果d是偶数,那么我们有什么

证明。这个定理是众所周知的在莫氏手术(见[11])。

定理的证明6。我们应用定理7的函数μ在(9)。每一个水平集包含奇异点集和信息定理4决定。(我)如果 ,然后表1告诉我们,一个是一个常规的价值 。结合定理7 (ii)和定理5 (ii) 。回想一下,决心在([12),定理)。因此,(我)。(2)如果 ,然后表1告诉我们的元素谁的临界值等于一个是由 为 。然后,结合表1定理7 (iii),我们获得(ii)。

3所示。证明的定理2和3

定理2的证明。我们证明这个定理的([8),定理2.9)(参见([的证明9),定理1.3))。结合以下三个断言,我们得到定理2:(我)的模拟([8),引理2.7(2)):通过(10),Zariski切线空间是由 (2)的模拟([8),推论2.8):我们看到(我)一个点P是一个奇异点的当且仅当 是一个临界点的 。(3)由([13),定理1.1),P是一个奇异点的当且仅当P是简并的。为了证明定理3,我们需要以下。

引理1。我们认为这个函数在(2)的情况下 ,也就是说,为 。让O是一个开放的社区 在这样啊,不包含其他退化多边形 。我们修复一个足够小正实数ε。然后,下面的断言:(我)假设 。然后,对所有 , diffeomorphic开放组吗(2)假设 。然后,对所有 , diffeomorphic开放组吗

引理1的证明。(我)我们写一个球面多边形的边长 。为 ,我们的边长变形的因素 通过 我们需要检查这个变形确实是可能的。看到它,它就足够了,(28)不为任何穿过一堵墙δ中定义的,一堵墙([8],p . 311)。回想一下,总是追踪(见定义1)。因此,我们对(28), 对于一些整数u。我们声称 。事实上,假设至少告诉我们的第一个组件(28forward-track。因此,我们有 和索赔。现在,因为这个词 在(2)接近于零,但不为零 ,(28)不为任何穿过一堵墙δ。最后,设置或ε在(28),我们完整的证明(我)。(2)而不是(28),我们的边长变形的因素 通过 我们有(30.), 对于一些整数 。我们声称 。事实上,假设告诉我们最多的第一个组件(30.forward-track。因此,我们有和索赔。
现在,因为这个词 在(9)接近于零,但不为零 ,(30.)不为任何穿过一堵墙δ。最后,设置或ε在(30.),我们完整的证明(ii)。这就完成了证明引理1。

定理3的证明。我们将演绎定理3从定理1。我们应用定理7 (i)的地图 。请注意, 。我们表示r指数P。当水平集 下降到 ,临界点P给出了一个类型的手术 我们设置 。(我)如果 ,引理1 (i)告诉我们,上述下降相当于提升来 。结合定理7 (i)和定理1,当我们穿过P手术的类型 发生。比较(32)和(33),我们有 (2)如果 ,然后从 来相当于的血统 来 。当我们穿过P手术的类型 发生。比较(32)和(35),我们有 这就完成了定理3的证明。

4所示。例子

命题1。我们有下面的例子:(我) (2) (3) (iv)

证明。计算的右边(24)明确,我们获得的命题。

备注2。命题1 (i)得到([14不同的方法),定理2)。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持jsp KAKENHI(批准号15 k04877)。

引用

1. J.-C。豪斯曼,在la Topologie des胸罩Articules在1474年数学课堂讲稿斯普林格出版社,柏林,德国,1989年。
2. m·卡珀维奇和j·米尔森”的模空间多边形在欧氏平面上,“《微分几何,42卷,不。2、430 - 464年,1995页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. k·沃克,“配置空间的联系,”普林斯顿大学,普林斯顿,新泽西,美国,1985年,本科论文。视图:谷歌学术搜索
4. m·法伯和d·舒茨的“相同的平面多边形空间,”Geometriae学报,卷125,不。1,第92 - 75页,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
5. m·卡珀维奇和j·j·米尔森”在欧几里得空间的辛几何多边形,”《微分几何,44卷,不。3、479 - 513年,1996页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. m·法伯邀请拓扑机器人、苏黎世高等数学的课程,欧洲数学学会(EMS)、苏黎世、瑞士,2008年。
7. r . j .米尔格拉姆和j . c . Trinkle闭链的几何配置空间的二维和三维,”同源,同伦和应用程序》第六卷,没有。1,第267 - 237页,2004。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. m·卡珀维奇和j·j·米尔森”的模空间球面多边形的联系,“加拿大数学通报,42卷,不。3、307 - 320年,1999页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. y Kamiyama”,普通球面多边形的欧拉示性数空间,”同源,同伦和应用程序,22卷,不。2019年1 - 10页。。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. a . Galitzer”多边形的模空间联系2的球体,”马里兰大学学院公园,MD。美国1997年博士论文。视图:谷歌学术搜索
11. j·米尔诺尔莫尔斯理论:《数学研究,51卷,普林斯顿大学出版社,普林斯顿,新泽西,美国,1963年。
12. y Kamiyama”等边多边形的拓扑联系。”拓扑结构及其应用,卷68,不。1,13-31,1996页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. m·卡珀维奇和j·j·米尔森,”霍奇理论和折纸的艺术。”数学科学研究所的出版物,33卷,不。1日至31日,1997页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. y Kamiyama”超曲面构型空间的空间机械臂,“摩根大通几何和拓扑杂志》上,20卷,不。1,27-38,2017页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

版权

版权©2019 Yasuhiko Kamiyama。这是一个开放的分布式下文章知识共享归属许可,它允许无限制的使用、分配和复制在任何媒介,提供最初的工作是正确引用。