文摘

在本文中,我们考虑了广义增长( - - - - - -秩序和 - - - - - -类型)的系数的发展鉴于在(n, n)th Newton-Pade亚纯函数的近似式。我们使用这些结果来研究之间的关系程度的插值函数的收敛能力和信息融合的程度的最佳合理近似的紧凑(在上确界规范)。我们还将显示两个亚纯函数的顺序将一个上限收敛的程度。

1。介绍

让是一个非常数的整函数和 。

众所周知,这个函数 是一个无限增加凸函数的 。估计的增长f准确地说,博厄斯(见[1)介绍了秩序的概念,定义的数字ρ :

众所周知,整个函数的顺序和类型分别给出了

类型的概念,介绍了确定两个功能相同的非零的相对增长有限的秩序。整个函数的顺序 ,据说是类型的吗 ,如果

如果f是整个无限的函数或零阶的定义类型是无效的和增长的函数不能精确测量上述概念。亚太区et al。(见[2]介绍了index-pair整个函数的概念。因此,对于 ,他们定义了这个号码 ,在哪里如果和如果 ,在哪里 ,和 ,为 。

这个函数f据说index-pair吗 如果 是一个非零的有限。数量 被称为 - - - - - -的顺序f。

亚太区等人也定义的概念 - - - - - -类型 ,为 ,通过

在他们的作品中,作者建立了关系 - - - - - -的增长f对系数麦克劳林级数的f。

我们也有许多的多项式近似结果的经典案例。让K是一个紧凑的复平面的子集积极的对数能力,f是一个复杂的函数定义和有界K。为 ,把 在规范是最大的K和是n最好的切比雪夫多项式近似f在K。

伯恩斯坦显示(见[3],p。14) ,它存在一个常数这样 是有限的,当且仅当吗f是限制K整个订单的函数ρ和一些有限的类型。

这个结果被Reddy广义(见[4,5])如下: 当且仅当f是限制K整个函数的的订单ρ和类型σ为 。

以同样的方式Winiarski(见[6这个结果])广义紧凑K复杂的飞机积极的对数能力,用如下

如果K是一个紧凑的子集复杂的飞机吗 ,积极的对数的能力 当且仅当f是限制K整个订单的函数ρ( )和类型σ。

回忆的能力 是 ,和单位圆盘的能力 。

作者认为,分别,泰勒的发展f关于序列和发展的f关于序列定义为 在哪里 是n极值点的系统K(见[6],p . 260)。

我们的话,上述结果表明,序列的速率趋向于零的增长取决于整个函数(顺序和类型)。

Harfaoui(见[7- - - - - -9)获得的结果广义近似的顺序和类型 - - - - - -标准的紧凑 。

回想一下,纸的Winiarski(见[6]),作者使用了柯西不等式。

本文的目的是概括增长( - - - - - -秩序和 - - - - - -类型),研究了K。Reczek(见[10])的系数的发展后面我们将被定义。

我们使用这些结果来研究之间的关系程度的插值函数的收敛能力和信息融合的程度的最佳合理近似的紧凑(在上确界规范)。我们还将显示两个亚纯函数的顺序将一个上限收敛的程度。

收敛之间的关系程度(容量)Pade近似值和最佳rational派生程度函数Goncar的类(见[11]),类的函数吗f这样在一些紧凑的圆盘(取决于f)我们有 在哪里范围的理性功能类型n与波兰 。

2。辅助结果:Newton-Pade近似值

首先,我们回忆起一些将使用后的定义和符号。

定义1。如果是一个紧凑的子集 ,我们定义它的对数(超限直径)的能力 在哪里在所有多项式的程度范围n与主要系数1 。
让是一个紧凑的复平面的子集这样 ,和f是一个复杂的函数定义和有界 。为 ,把(最佳合理的近似误差) 我们将表示,R类的功能f,这样在一些紧凑的圆盘(取决于f)我们有 在哪里范围的理性功能类型n( )与波兰 。

备注1。如果我们让区间多项式的学位n而不是理性的功能,得到整个函数的类。
我们需要下列符号和引理,将用于续集(见[2):

引理1。(见[2])。
与上面的符号我们有以下结果: 这些结果的更多细节,请参阅[2]。
让是一个复数序列。假设f是一个函数集的全纯在附近 。表示由 ,所有理性功能的集合,其分子和分母多项式度不大于n和m,分别。函数满足下列条件:(1) (2)这个函数全纯每一点吗为为每一对情侣 ,存在一个函数满足上述条件。它被称为 - - - - - -th Newton-Pade函数的近似式f关于序列 。在续集中,我们将考虑Newton-Pade的序列近似式与米固定和n趋于无穷。这将是有用的简化符号。表示 在哪里 在哪里近似值的波兰人吗 。然后,多项式和没有共同因子的程度高于零。假设

3所示。的 - - - - - -亚纯函数的增长

在工作中我们假设 。

让是一类亚纯函数的极数不大于米。本文的主要结果如下:

引理2。让是一个有界序列的复数,让f是亚纯函数 ,全纯在附近的集合 。假设f正好有m波兰人在C语言中,计算的多样性。然后,(1)几乎每一个n存在近似式(2)两极的倾向于的波兰人f当n趋于无穷(3) 在 ,除了两极f(4)f可以扩展到一个函数类的吗这个引理是轻微修改员工的定理,我们省略了证明。

定理1。让是一个有界序列的复数。让ω包含集是一个域 。假设存在一个极限点的序列在ω。让f在ω亚纯函数和正则的每一点为 。假设对于几乎每一个n,存在 - - - - - -th Newton-Pade近似值关于序列和一些积极的数字和 然后,(1)的顺序f不大于 。(2)如果然后的类型f不大于μ。(3)如果 如果 然后和 。

证明。让 ,假设存在一个序列和一个邻居U (z,这样每一个点l这个函数在美国没有两极,它可以显示在前面的方式吗 。所以,我们已经表明在除了最多m点。我们可以选择一个数字这样对每一个点 假设如此之大,是一个递增函数R比 。让R大于 。然后, 根据(25),我们有 让K是任意数量大于μ。然后,它遵循从(21),存在一个数字这样 如果R足够大吗 。它遵循从(25)和(26), 在哪里只取决于θ。
让最小的整数比 。然后,大于 ,如果R足够大,金额小于1。因此, 当R足够大。从(29日),我们得到 在哪里只取决于θ,μ,K。因此,我们可以使用的一般公式显示 类型 这意味着的顺序吗f不大于μ如果 ,然后的类型f不超过K,因此不大于 。这证明了1和2。
现在,假设条件(22)和(23)感到满意。当然,f可以扩展到一个函数类的吗 。然后,我们可以写 ,φ是整个函数和在哪里问是一个多项式的形式 在哪里k波兰人的数量吗f。当然,订单的φ等于的顺序f和类型的φ等于的类型f。
假设的顺序f小于μ的类型f比ν小。然后,有一个数字 ,这样 当足够大。使用柯西公式从(17)和(32), 为 。使用(17),(18)和(33),我们获得的评估 当r是足够大的。把 。然后,对于几乎每一个n,估计(35)是正确的。因此,我们得出 这与认为平等(22)。我们已经证明3°。

4所示。最好的合理近似的 - - - - - -增长

本节的目的是给一个概括以下定理(见[11])。

定理2。让f亚纯函数的顺序ρ,( )。然后,

备注2。一个函数f是整个订单最多ρ,( ),当且仅当 在哪里取而代之的是多项式。

定理3。让f亚纯函数的顺序 , 。然后,

证明。由Poisson-Jensen公式, 在哪里和和分别是0和波兰人,的 。让 。自是nth泰勒多项式 ,因此优化常数乘以在原点附近,我们有 Walsh-Bernstein引理。与通常的符号Nevanlinna理论, 通过替换被积函数 和集成,利用泊松积分1和有核的事实是有界的 ,我们得到了 如果 。现在,如果f的订单 ,我们通过定义对于任何足够大的R,我们得到 我们把这么小r,两个金额将会消失,然后减去得到 ,除非 。
取幂,我们得到 然后, 为n相当大 因此,定理证明。

定理4。让f亚纯函数的有限的秩序 , ,和有限的类型。然后, 在哪里c是一个常数。

证明。对定理的证明我们使用相同的步骤3

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。