文摘

一个梯形的数字,至少有两个连续正整数之和,是形成图案的数量可以由点重新排列在平面上的梯形。这些数字的兴趣和广泛研究。本文概括的介绍了梯形数字。对于每一个正整数 ,一个正整数 被称为一个 - - - - - -梯形数量如果 至少可以写成一个算术级数 与公差 。的属性 梯形的数量一起研究了梯形表示。在特殊情况下 ,这些数字的表征和枚举有说明性的例子。准确地说,对于一个固定的 梯形数量 、方法和数量写的方法 作为一个算术级数与公差 已经确定。一些评价 梯形提供了数据。

1。介绍

三角形数是有固定形状的数字可以表示为一个等边三角形排列的等距的点。对于每一个正整数 , th三角形数的点组成一个三角形 点,等于的总和 自然数的形式 的 th三角形数可以表示成一个等边三角形点如图1。


图1
的 三角形数。

三角形数研究了从古希腊人。毕达哥拉斯学派的Tetractys 。数论的三角形数量已经应用到其他领域,如完美的数字和二项式系数。他们也几乎等差数列的最简单的例子。因此,三角形数量吸引世界各地的人们和文化(见[1- - - - - -3)和引用)。

梯形数量(见[4),例如)是一个泛化的三角形数定义为至少两个连续正整数之和。准确地说,一个正整数 是一个梯形数量如果 对于一些整数 和 。梯形数字形式的重要类形成图案的数字,已经广泛被研究(见[2- - - - - -7])。

的定义,不难看到,每一个梯形的数字 可以表示为一个重排的 点的飞机作为梯形图2。为了方便起见,表示 形式的数量(1)。梯形的特征和枚举数得到在4,8]。主要结果总结如下。


图2
梯形数量 。

定理1 ([4命题1])。让 是一个正整数。然后 是一个梯形号码当且仅当 不是的 对所有 。

定理2 ([4命题2])。让 是一个正整数,这样 和 是整数, 不同的奇质数, 是一个整数为所有 。然后 是一个梯形号码有吗 写作的方式 至少两个连续整数之和。

一些属性nontrapezoidal数字中可以找到的9]。

三角形和梯形号码关闭连接(见部分2更多的细节)矩形的数量定义是什么 在哪里 和 都是整数。一个矩形数字可以表示成一个矩形图3。


图3
矩形的数量 。

在本文中,我们专注于梯形的一般概念的数字。对于每一个正整数 ,一个正整数 被称为一个 梯形数量如果 至少可以写成一个算术级数 与公差 。由此可见,一个 可以表示成梯形号码 对于一些整数 和 。不难看出 梯形是经典的梯形数字。为了方便起见,表示 系列(4)。

我们注意到一个 梯形数量不是唯一地由一个三 (见例子3)。每一个 梯形数可以表示为一个点在平面上的布置是一个梯形。给出一些例子如下。

例3。的正整数 是( -)梯形代表数量形式的系列 上述系列可以表示成梯形 点在平面上如图4。


图4
。

例4。这些数字 和 的例子是 梯形, 梯形数字,分别。他们可以表示成梯形图5。


图5
和 。

在本文中,我们关注的属性 梯形的数字和他们交涉的梯形平面。的描述和枚举 梯形的数字在特殊情况进行了研究 。本文组织如下。节2,一般的属性 梯形讨论数字以及与其他形成图案的数字。节3的描述和枚举 梯形数字一起得到一些说明性的例子。评价 梯形数字提供了部分4。给出了部分结论和开放的问题5。

2。广义梯形数字

在本节中,我们关注的一般属性 梯形和与其他形成图案的号码如三角号码、梯形号码和矩形数字。

首先,我们简化的公式 梯形的数字。

引理5。让 , , 是整数。然后

证明。的定义,我们有 根据需要。

公式的引理5,可以推导出以下属性。

推论6。让 是一个正整数。如果 是偶数,那么一个吗 梯形数量 是一个长方形的数字为所有整数吗 和 。

证明。假设 是偶数。让 和 是整数。然后 自 和 , 是一个长方形的号码。

推论7。让 是一个正整数。如果 奇怪的是,那一个 梯形数量 是一个长方形的数字为所有整数吗 和 。

证明。假设 是奇数。让 和 是整数。我们考虑以下两种情况。
案例1( 甚至)。然后 对于一些 和 自 和 , 是一个长方形的号码。
案例2( 很奇怪)。然后 对于一些 和 自 和 , 是一个长方形的号码。
从两种情况, 是矩形为所有 和 。

梯形的数字, 梯形数字,矩形数字,和三角数字是通过以下链接关系。

定理8。让 是整数, , , 。然后 对所有正整数 。

证明。让 是一个正整数。然后 因此,结果如下。

下一个推论是立即从定理8。

推论9。让 是整数, , 。然后下面的语句:(1) 。(2) 。

说明性的例子在推论的结果9给出如下。

示例10。让 和 。从定理8,我们有 在飞机上面的关系可以表示数据6和7。


图6
。

图7
。

定理11。让 和 是正整数。如果 是一个 梯形数量, ,然后 可以写成一笔和一个长方形的号码 梯形的数字。

证明。假设 是一个 梯形数量, 。然后 对于一些整数 和 。
让 和 。然后 是一个长方形的数量和 是一个 梯形的数字。由此可见, 因此, 是一个矩形的总和号码和一个 梯形的数字。

示例12。让 , 。然后 可在平面上表示为图吗8。


图8
。

3所示。描述和枚举2-Trapezoidal数字

在本节中,我们专注于特殊情况 。的描述和枚举 梯形数字一起给出一些说明性的例子。

的描述 梯形的数字在接下来的定理给出了完全不同的情况 梯形的定理1。

定理13。让 是一个整数。然后 是一个 当且仅当梯形号码 不是一个质数。

证明。假设 是一个 梯形的数字。的必然结果6, 是一个长方形的号码。因此, 不是质数。
相反,假设 不是质数。然后存在整数 这样 。选择 和 。然后 , , 因此, 是一个 梯形数量。

从定理的证明13,一个 梯形数量 可以表示成一系列 通过以下步骤:(1)确定因子 的 这样 。(2)为每一个 ,计算 。(3)写 ,在那里 和 。让我们考虑下面的例子。

例14。考虑到 梯形数量 。我们有 这至少可以写成等差级数 与公差 是在表1。

表1
梯形的表示 。

15例。考虑到 梯形数量 。然后 这至少可以写成等差级数 与公差 是在表2。

表2
梯形的表示 。

示例16。考虑到 梯形数量 。然后 这至少可以写成等差级数 与公差 是在表3。

表3
梯形的表示 。

的定义,每一个 梯形数量可以写成一个算术级数与公差 。在下面的定理,我们决定写一个数量的方法 梯形的数量至少的算术级数 与公差 。

定理17。让 是一个 梯形的数字。然后写的数量方法 至少作为一个算术级数的 与公差 是 在哪里 因子的数量吗 。

证明。从定理的证明13,接下去 对于一些整数 。接下来,我们考虑以下两种情况。
案例1( 是一个正方形)。在这种情况下,我们有 。然后写的数量方法 至少作为一个算术级数的 与公差 因子的数量吗 的 这样 。自 是一个广场, 对于一些 , 不同的奇质数, 甚至是一个正整数吗 。然后因子的数量 是 这是非常奇怪的。因此,数量写的方法 至少作为一个算术级数的 与公差 是
案例2( 不是一个广场)。在这种情况下,我们有 。然后写的数量方法 至少作为一个算术级数的 与公差 因子的数量吗 的 这样 。自 不是一个广场, ,在那里 , 不同的奇质数和吗 是一个正整数为所有 这样 是一些奇怪的 。然后因子的数量 是 这是偶数。因此,多种方式写作 至少作为一个算术级数的 与公差 是 。
两种情况下,结果如下。

下一个推论是定理的直接后果17。

推论18。让 是一个 梯形的数字。然后 有独特的表示的算术级数至少 与公差 当且仅持有一个下面的语句:(1) 是两个不同的质数的乘积。(2) 是一个主要的广场。(3) 是一个主要的多维数据集。

一些说明性的例子的数量写的方法 梯形数量 至少作为一个算术级数的 与公差 如表所示4和5。

表4
广场的数量表示 梯形的数字。
表5
nonsquare的数量表示 梯形的数字。

4所示。的一些性质3-Trapezoidal数字

在本节中,我们关注的属性 梯形的数字。一个正整数是一个必要条件 梯形数量。然而,这个条件是不够的。

定理19。让 是一个正整数。如果 是一个 梯形的数,然后 不是的形式 对所有 。

证明。假设 是一个 梯形的数字。然后 对于一些 和 。我们考虑以下两种情况。
案例1( 很奇怪)。由此可见, 甚至和 。由此可见, 奇怪的是, 。因此, 对所有 。
案例2( 甚至)。我们有 奇怪的是, 是奇数。自 ,接下去 和 。因此, 对所有 。
总之,我们有 对所有 根据需要。

我们注意到,在定理给出的必要条件19是不够的。不难看到 不是的 对所有 但 不是一个 梯形的数字。

5。结论和讲话

一般的概念,介绍了梯形数字。的一些性质 梯形数量已经确定以及与其他形成图案的数字。完整的描述和枚举 梯形的数字。一个正整数的一个必要条件 梯形确定数量。然而,给定的条件是不够的。

一般来说,有趣的是研究的特征和枚举 梯形数字与 。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项研究得到了泰国研究基金和泰国高等教育委员会办公室研究资助MRG6080012之下。