文摘

通勤可逆矩阵的元组集合的系数在一个给定的领域,共同决定因素被定义为方阵的行列式地图的概括。我们引入一个自然拓扑在米尔诺尔组拓扑领域的商共同决定因素引发的拓扑地图和调查的存在一个非凡的连续联合利用行列式这种拓扑中,概括作者先前的结果持续联合通勤可逆矩阵的行列式和 。

1。介绍

在[1),介绍了联合行列式作为可逆矩阵的行列式的泛化映射。更准确地说,对于一个字段 ,一个联合行列式 ( )被定义为一个组的映射通勤矩阵的元组( )一些阿贝尔群 满足以下属性。

(我)Multilinearity: 通勤矩阵 和在对于一些 ,我们有 。

(2)块对角矩阵:用于上下班 和通勤 对于一些 ,我们有

(3)相似矩阵:通勤矩阵 和任何 ,我们有 。

(iv)多项式同伦:用于上下班 ,我们有 。

使用标准的包容 我们定义这些团体的直接限制 。使用上面的夹杂物,我们可以识别直接限制的组通勤矩阵的元组 在的一个子集 。然后,联合行列式可以被认为是一个地图成一个阿贝尔群 。

主要结果(1)的联合决定因素之间存在着一一对应联合决定因素的集合成一个阿贝尔群并从米尔诺尔的群同态的集合集团成 。米尔诺尔的介绍了集团(2商群的张量积 元素生成的子群的形式 ,在那里 对于一些 ( )。这是一个代数的主要研究对象理论,出现在众多的文献。例如,Voevodsky Bloch-Kato猜想的证明(3米尔诺尔有关的组域的层上同调。的元素由 通常是用一个符号 。

来描述“普世”联合行列式 ,我们需要Goodwillie组定义生成的阿贝尔群通勤矩阵的元组 ( 对各种 ),受以下四种关系。

(我)标识矩阵: 当对于一些等于单位矩阵 。

(2)相似的矩阵: 对于通勤 和任何 。

(3)直接求和: 对于通勤 和通勤 。

(四)多项式同伦: 对于通勤矩阵 在 ,在哪里多项式环结束了吗与不确定的 。

万向节行列式映射 然后复合的自然地图吗 ,它发送一个元组的通勤矩阵的发电机和同构 所描述的,这是定理的证明 (1]。从这一事实是一种同构是容易的联合决定因素之间的一一对应吗成一个阿贝尔群并从米尔诺尔的群同态的集合集团成 。

当 , 和万向节行列式只不过是传统的行列式地图(命题 (1])。

联合行列式的定义给出了地图在纯代数方面有非常复杂的联合决定因素的可能性;例如,当是该领域复杂的数字或实数,米尔诺尔组为 是已知唯一可分割或循环群的直和订单吗和一个独特的可分割组,分别2]。

因此,如果我们忽视了拓扑联合行列式映射的连续性,共同决定因素远非微不足道,但是如果我们需要联合行列式是连续的,那么情况就变得截然不同。这是证明, ,存在只有一个重要的共同因素成 ,这是连续的通勤矩阵的限制 ,为每一个 ,与标准拓扑(推论 (1])。

在本文中,我们概括这个结果来确定所有可能的连续的联合决定因素或拓扑交换群 。为此,我们引入一个自然拓扑米尔诺尔组对于一个拓扑领域商拓扑诱导的地图和共同因素表明,以防 或 ,自然拓扑上是独立的两个一体的组件或一体的拓扑结构,分别。这表明, 或 ,“通用”连续联合是行列式 或 ,分别。

2。一个自然拓扑

对于一个拓扑领域 , 是一个拓扑群,直接限制拓扑,也就是说,一个子集的当且仅当开放吗 为每一个开放 (例如, (4])。的拓扑结构给出了子空间拓扑关于它的一个子空间产品空间 。然后伴随着直接限制拓扑如果我们认为直接子空间的限制通勤矩阵的元组空间 在 。

定义1。对于一个拓扑领域 ,米尔诺尔的拓扑集团是商拓扑的地图吗 ,这是自然的复合映射 其次是组织同构 这是描述的定理的证明吗 (1]。

明显的地图 实际上是满射推论 (1),所以是满射。

定理2。 是一个拓扑组对给定的拓扑定义呢1。

证明。Goodwillie组的定义 ,集团法律给出了通过 由直接求和规则: 对于通勤 和通勤 ( )。这种加法规则不是表达的连续映射 ,但以下连续映射 实际上引发操作 : 证明这两个元素 的映射到相同的元素 ,这足以证明一个元组 通勤矩阵的代表相同的元素所代表的是哪一个同时通过改变矩阵的元组th和th也行,th和th列的 矩阵 。对于符号的方便,我们将证明这个第一和第二行和列 矩阵和证明很容易推广到 矩阵。让我们写 矩阵的条目作为( )。在 ,我们有 使用多项式同伦 导致交换第一和第四行用负号新的第四行,然后用负号交换1和4列新4列,我们看到,在吗 , 再次,运用多项式同伦 导致交换第二和第三行用负号新的第三行,然后用负号交换第二和第三列新的第三列,,在吗 , 等于 在 。

3所示。的拓扑结构和

定理3。为 ,拓扑空间是一个不相交的两套一体的开放的联盟。

证明。注意,我们已经 ,第一个直接因素 是由 和是一个独特的可分割组(2]。为 在哪里都为阴性 ,我们有 等于的总和 和各种形式的象征 至少有一个在哪里是正的。
每个元素的可以写成求和符号的形式 ,至少有一个是正的。通过编写一个正实数作为广场的平方根,我们可以假设是正的每 (例如, 以防 )。
让是任何打开的包含单位元素,并考虑其逆形象 在 。让 任何元素。然后包含一个元组对角矩阵的形式 在哪里是正的每 和 。通过th的根源足够大的 ,我们可以假设任意接近 。然后包含一个元素的任意接近 与等于单位矩阵。所以,包含一个元素包含在开集 。因此必须包含 。
同样,陪集 也是一个不分开的子空间。事实上,下的图像的组元组 通勤矩阵的( ),这样的决定因素是积极一些 。另一方面, 下的图像的组元组 通勤的矩阵的行列式都为阴性 。因此,适当的开放组是和 。

推论4。为 ,拓扑空间是不分开的(简单)。

证明。让是一个开放的包含元素,让身份 。对于任何一个元素 ,包含一个元组 的对角矩阵。写的每个对角元素作为一个产品的正实数和复数绝对值 。任何复杂的数字的绝对值任意接近根的团结,任何符号包含一个根以来的团结是微不足道的,例如, 如果是一个根的团结。结合这一事实和论点中给出定理的证明3,我们看到,包含一个元素包含在 。这表明自然拓扑是一体的。

4所示。应用程序共同决定因素

当是一个拓扑领域,联合行列式的到一个拓扑交换群被称为连续如果给出了子空间拓扑结构的 直接限制拓扑节中描述2。因为自然拓扑在定义1商拓扑,任何连续的共同因素诱发连续映射成反之亦然。

推论5。为 和任何拓扑交换群这是 ,任何连续的联合行列式成通过离散群因素 。

证明。这是直接从定理3。请注意,如果它是拓扑组是分离(cf引理。 (5])。

下面是一个必然的直接结果4。

推论6。为 和任何拓扑交换群这是 ,任何连续的联合行列式成是微不足道的。

我们总结我们的研究结果在连续的共同因素 和 在下面的定理,这几乎相当于定理3和推论4。

定理7。为 或 和一个拓扑交换群 ,让 是一个连续满射联合行列式。当 ,行列式是一个复合的地图,后跟一个规范满射吗 与配备一个粗比满射商拓扑诱导的拓扑。当 和 ,是一个一体的空间或有不分开的子群的指数 。如果 ,然后不分开的拓扑。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府(最高明的)(没有。nrf - 2010 - 0006083)。