文摘

谐波函数的卷积,与分析情况,证明是非常具有挑战性的。在这篇文章中,我们介绍膨胀条件,保证两个调和函数的卷积本地一对一,保向,close-to-convex谐波单位圆盘。

1。介绍

让表示的类函数分析在开放单位圆盘 ,让的子类组成的函数与标准化 。我们让表示函数的类 这

考虑复数调和函数的家庭 中定义的 ,在哪里和是真正的谐波 。这些函数可以表示为 ,在那里 和 。Clunie和Sheil-Small非凡的纸(1探索了表单的功能 本地一对一,保向和谐波 。路易的定理(见[2]或[1]),谐波函数的充分必要条件 一对一和保向在当地是它的雅可比矩阵 是正面或等价,当且仅当 在和第二个复杂的扩张的满足 在 。

在一篇有趣的文章,Bshouty Lyzzaik [3证明以下。

定理1。让 是一个谐波的映射 ,与 ,满足 和 对所有 。然后是单价的close-to-convex映射。

一个单连通的子域名据说close-to-convex如果补充的是封闭的结合半线两两不相交的内饰。因此,单价的分析或谐波函数 据说close-to-convex如果close-to-convex(例如,看到Clunie Sheil-Small [1]或Bshouty Lyzzaik [3])。

Ruscheweyh和Sheil-Small引人注目的一篇文章(4]证明了阿达玛产品或两个分析凸函数的卷积也凸分析,分析凸函数的卷积和单位的分析close-to-convex close-to-convex函数分析磁盘 。具有讽刺意味的是,这些结果不能扩展到谐波的情况下,从谐波函数的卷积,与分析情况,证明是非常具有挑战性的。本文的目的是介绍膨胀条件,保证两个调和函数的卷积本地一对一,保向,close-to-convex谐波在单位圆盘 。换句话说,我们扩展定理1两个调和函数的卷积 和 与某些食道扩张, 。

操作员代表卷积或阿达玛两个幂级数的乘积 和 给出的 。同样,两个调和函数的卷积 和 是由 。

关于谐波单价的函数的卷积,Clunie和Sheil-Small1证明以下。

定理2。如果 如果中凸谐波 ,那么他们的卷积 close-to-convex谐波在 。

一个映射 被称为凸谐波如果是一个凸域。

函数的凸性条件在定理2不能妥协,因为它是在下面。

例3。集 并考虑星形的解析函数 ; 在 。让 在定理2我们观察到谐波卷积 甚至没有单价的 。

为了调查改善所需的凸性条件的可能性 ,作者在5证明以下。

定理4。让 和 。也让是一个施瓦兹函数。然后卷积函数 close-to-convex谐波在 。

定理4为 和 产生一个定理给出了Bshouty et al . ([6),定理)。由上面所说的,尤其是例子3,如果有其他条件,保证close-to-convexity两个调和函数的卷积。在接下来的定理,我们发现这种情况。

定理5。让 和 这 ,在那里是由不平等(1)。如果下列条件之一(我) ; 和 ,(2) ; 和 ,在那里 ,然后卷积函数 保向当地一对一,close-to-convex谐波在吗 。

因为两个凸分析的卷积函数也凸(见Ruscheweyh和Sheil-Small [4]),上面的定理是一个明显的结果如下。

推论6。让 和 并设置 和 然后卷积函数 保向当地一对一,close-to-convex谐波在吗 。

2。初步的引理和定理的证明5

为了证明我们的定理5我们需要以下三个前题,第一个是一位著名的结果由Clunie和Sheil-Small [1),第二个是由卡普兰(7]。第三个引理从属是修改的结果由米勒和Mocanu(例如,看到8]引理或(9])。函数的和 ,在哪里 ,我们写 (例如,隶属于如果存在一个解析函数)与 和 这 在 。

引理7。(我)如果和分析在这 如果 close-to-convex分析在为每一个 ,那么这个函数 close-to-convex谐波在 。
(2)如果和分析在这 如果 是本地单价的 ,然后函数 close-to-convex谐波在 。

引理8。解析函数的充分必要条件 close-to-convex就是非零的在和

引理9。如果 和分析在 ,然后 意味着 。

定理的证明5。
证明(部分)。卷积函数 是单价的本地和保向 很明显 ;因此,鉴于引理7,这就可以证明 为 close-to-convex分析在 。
我们注意到, 和 。
我们还观察到非零的在自 。因此, 现在,通过引理8和不平等(5) 和 ,这就可以证明 为 ,你可以验证(也看到Bshouty Lyzzaik [3p . 770) 为 ,替换通过,让 收益率 在哪里是泊松内核。然后, 另一方面, ,我们获得 因此,在视图所需的条件(9),我们得到 (2)部分的证明。鉴于引理7,它可以表明卷积函数 当地单价的和保向在吗 。换句话说,我们需要证明 利用幂级数的阿达玛的产品属性,我们 因此, 另一方面, ,是星形的 因此,鉴于引理9, 或

备注10。它作为一个开放的问题是否定理5(我)可以扩展情况 和 如果 。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。