文摘

Irwin-Hall分布的总和的分布是一个有限数目的独立同分布的均匀随机变量在单位时间。许多应用程序出现由于舍入错误转换Irwin-Hall分布和供应花键分布近似正态分布。我们回顾一些分布的历史。现在推导非常透明,因为它是几何和显式地使用了容斥原理。在某些特殊情况下,推导可以扩展到独立统一的随机变量的线性组合有限长度的时间间隔。推导了文学的方法寻找分布的随机变量,特别是分布域的边界,这样容斥原理可能使用。

1。介绍

简单的连续均匀或矩形分布均匀(0,1)概率密度函数(PDF) 为 和 否则是很重要的。两个应用程序出现在数值模拟和贝叶斯分析的比例。如果累积分布函数(CDF)连续随机变量,然后随机变量 有一个统一的()分布。随机变量可以模拟第一次模拟吗然后让 。这就是所谓的反演方法([1,295页),2,194 - 196页)。转换被称为概率积分变换([3]、[4,203 - 204页)。均匀分布是一个贝叶斯noninformative先验分布分布的随机变量定义在单位间隔,如β分布比例([2,第33页],[5,82 - 90页)。其他应用程序和概括的均匀分布,看到6- - - - - -8]。

目前的目标是获得提供的PDF ,在那里是独立同分布均匀(0,1)随机变量 。提供和PDF 分别在哪里单位阶跃函数吗 节的推导2几何和显式地使用了容斥原理。

派生的分布,它最近收购了它的名字Irwin-Hall,回到拉格朗日,拉普拉斯在18世纪和19世纪早期。基于拉格朗日使用生成功能获得的分布T([9,603 - 612页),10,283页)。这些生成函数特征函数的前任(10,286页)。拉普拉斯经常重新发现的分布的问题和雇佣了很多方法([9,714 - 715页),10,286 - 301页)。(描述的分布1,296 - 300页),它被称为Irwin-Hall分布。

一些推导采用特征函数在各种方面,因为一笔独立随机变量的特征函数的产品是每个被加数的特征函数和逆变换不是棘手([11,188 - 189页),12- - - - - -14]、[15,362 - 363页),16,17])。别人利用卷积积分金额和数学归纳法([4,225页),11,190 - 191和244 - 246页),(18])。均匀随机变量之和的分布可能找到不同的域(18- - - - - -21]。资金依赖均匀随机变量的检查(22,23]。

直接集成技术可以用来获得统一的线性组合的分布(0,1)随机变量([15,358 - 360页),24,25])。类似的技术被用于(26)的均匀分布域的间隔为零作为他们的左端点。的分配获得的意思是当所有的常量 。在这种情况下,称为分布贝茨分布([1,297页),27]),也可以通过一个简单的转换Irwin-Hall分布([15,359页),25,241页)。使用矩生成函数,而不是特征函数,灰色和Odell [28)发现的分布均匀随机变量的线性组合与不同的领域。节3,目前的方法或风格的证据是扩展到这些情况下给予相同的分布。

因为一笔,用样条Irwin-Hall分布接近正态分布,自Irwin-Hall分布(2)是由多项式组成的。的支持是间隔 ];意思是,模式和中位数是 ;及其方差 。通过对称,所有奇怪的中央力矩为零,包括偏态。峰度是 (1,300页)。这是为一个正态分布的峰度测量3,所以Irwin-Hall分布低阔峰,峰态接近3大。根据中心极限定理, ([4,280 - 283页),11,213 - 218和245页],[29日,220 - 222页)。图1包含一个正态分布的意思 和方差 及其近似Irwin-Hall分布 。近似很好甚至对这个小的价值(30.]。统一的错误开往正常(0,1)提供是 ([31日]、[3251页)。近似与样条拟合可能有用的或不完整的信息分布形状(33,34]。

由于舍入误差随机变量,四舍五入为最接近的整数分布均匀(−1/2,1/2),舍入误差的总和是一个线性转换Irwin-Hall分布(12]。对于大型,舍入错误的和很容易用正态分布描述(29日,222页)。对小Irwin-Hall分布也适当,不要太复杂。

李等人。35)使用Irwin-Hall分布检验拟合优度检验的功效。海因里希et al。36适应Irwin-Hall分布在考虑舍入误差积累的准确性。不平等的独立随机变量的线性组合域有一个上界了(37]。

2。Irwin-Hall分布的推导

定理1。让为 是独立的随机变量,每个单位时间上的连续均匀分布,并让 。然后,提供和PDF是由(1)和(2),分别。

证明。为 和 ,让 这是维单位立方体。的设置补关于用。
超体积的维固体是有价值的 (38),因为固体是一个标准正交单工的角落多维数据集。类似地,如果 ,然后超体积的是 为 , 自非负坐标的总和超过的数量大于1的坐标。
容斥原理, 在(1),是第二类的斯特林数量与参数等于什么和数值139,页面38-39]。如果 ,然后 ,所以 在这种情况下。自是一个多项式, 对于所有实值。介绍了单位阶跃函数给出了(1),和分化给(2)。

3所示。讨论和泛化

数据2和3揭示它的结构 为 。图2演示了如何超平面(线)的一个常数的值随机变量之和,并垂直于多维数据集的主对角线(广场),产生体积(地区)在它的下面。图3说明了区域包含和排除各种超平面的位置(行)和如何在顶点集。为 二项式系数,提供顶点的计数,1 ()、2 ()和()和1 (),见图2和3。在(11),第一项是大三角形的面积数据3(一个),3 (b),3 (c);第二项是两个孵出三角形的面积之和,如图3 (b),一个 大于1,如图3 (c);第三项是在图阴影三角形的面积3 (c),两和都大于1。

图4显示了相同的几何解释 。在其运作 第一项是音量使用(7)大正交单形的数字4(一),4 (b),4 (c)边的长度。第二项是卷使用(的总和8)的三个正交单形,完全之一 大于1。在图4 (b)的顶点 ,单形的 已经标记出来。他们的坐标 , , 。边的长度 ,是 。第三项(12)是三卷使用的总和(8),其中两个 都大于1。在图4 (c),标签的顶点 ,在这两个地区和都大于1。他们的坐标 , , 。边的长度 ,是 。第四项是该地区的所有共享的其他地区,类似于阴影区域在图3 (c)。

同样的,对于任何一个、术语卷的正交单形的多样性是由二项式系数计算顶点的数量决定的多维数据集的集“移动” 维超平面作为“通行证”增加。超平面是垂直于对角线 。单形的体积计算使用(7)和(8)。

网站(40有一个免费的模拟器,选择收益率PDF (2)。其他计算器在[41,42]。

证明的方法2可以扩展到统一的随机变量的线性组合在不同的时间间隔。假设 是独立的,均匀分布区间 ,这 是真正的常数。同时, 在哪里 然后, 是独立均匀随机变量,可以解释为超体积的固体,由点躺在单位超立方体和超平面的一侧。现在,继续由容斥2。一般的公式是复杂的,因为缺乏对称性的存在造成的吗 。这增加了病例数量和消除了同余的每个尺寸的固体超体积需要添加或减去容斥过程的每个阶段。然而,正确的分配是通过这种方式获得的。这些问题消失的一个特例 ,所以 在哪里在(1)。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关这篇文章的出版。