加权的射影描述(低频)空间的连续函数

文摘

我们解决问题的拓扑或代数描述可数归纳加权邻的极限空间锥上的连续函数。这个问题是两个家庭的调查权重定义为积极的齐次函数。这种形式的权重在傅里叶分析中发挥的重要作用。

1。介绍

的射影描述拓扑的问题归纳加权空间的全纯和连续函数的极限Ehrenpreis[后吸引了数学家的注意1证明了基本原则。这个问题在偏微分方程和卷积方程,应用程序(超)分布理论,在quasianalytic泛函,理论,和表示函数的指数系列。它的系统的调查是由Bierstedt和Meise Bierstedt et al。2,3]。射影描述的目的是找到一个归纳的条件限制是代数与射影船体或是其拓扑子空间。在归纳极限连续函数的加权巴拿赫空间投影的问题描述很好研究。现在有效的条件下得到的拓扑可数归纳加权极限一致连续函数的投影的船体。代数的身份总是会在这种情况下。(低频)空间的情况更为复杂。可数的发展在射影描述归纳加权连续函数的极限被调查(4,5]。抽象代数的条件和加权(低频)空间的拓扑描述连续函数是通过Bierstedt和莎·博内特(6]。他们的实现在具体情况下也有趣。在这一点上我们提到的文章莎·博内特和Meise [7]。在[7加权(低频)空间的连续函数定义为体重出现在ultradistributions理论和qusianalytic Roumieu类型的泛函,后被调查(见备注定理9)。莎·博内特et al。8]研究了射影的问题描述(低频)空间的连续函数的权重与凸局部闭集。

在我们的文章是解决这个问题的两个家庭权值定义为积极的齐次函数在锥在赋范线性空间中。这种形式的权重在傅里叶分析中发挥的重要作用。

2。投影的问题描述和符号

我们回忆起必要的符号和定义和状态投射的问题描述(3,6]。

让在本地是一个紧凑的豪斯多夫空间,让是严格正的双序列连续函数这样 为每一个。对于一个上半连续函数我们介绍连续函数的巴拿赫空间: 加权归纳邻空间的限制的连续函数被定义为 的空间豪斯多夫(LF)讨论。

该系统的重量assosiated包括所有上半连续函数这样,每有和与在。归纳的射影船体极限被定义为 的拓扑结构由系统定义的半模吗,。的空间包含在其射影船体与连续的包容。

射影描述空间的问题是确定的条件吗(一)的空间和用代数方法相一致,或(T)的空间是一个拓扑子空间的投影船体。

3所示。积极的权重由齐次函数

让是一个赋范(复杂或实际)线性空间与规范。我们假设是一个圆锥;也就是说,对所有和。一组具有诱导拓扑。假设是本地紧凑。然后每组,是紧凑的。让,积极,是连续和均匀程度功能,这样为每一个。进一步是一个连续函数 把,。我们定义权重函数

定理1。的空间是一个拓扑子空间的。

证明。自,然后为每一个的f空间代数与f空间拓扑一致 由(3定理1.3。)是一个拓扑子空间的。
我们现在研究代数的身份。

定理2。以下条件是等价的。(我)的空间同时用代数方法与。(2)条件(RD)持有:

证明。由(6,命题4]代数的身份相当于以下条件(wQ)由沃格特介绍9]: 也就是说, 自,后者相当于 因此,代数的身份当且仅当 或
。假设(RD)持有。修复。(RD): 我们选择和修复。如果 然后 因此,不平等(13)持有这样。因此,条件(wQ)是有效的,因此代数的身份满足了。
。假设,,,不平等(12)或(13)持有。假设条件(RD)不持有。考虑到积极功能的同质性我们获得 我们选择和为在(12)和(13)。集并选择为在(17)。我们把和在(12)和(13)。把,(从的连续性由此可见,)。对于每一个由(17), 因此, 我们设置。很明显,。的结果(17)和(19)有这样 因为这个函数上是连续的和,有这样
我们把。然后和和不平等(12)和(13)不持有。这是一个矛盾。

例3。(一)让是凸紧凑的子集这样包含在内部的吗为每一个。我们表示,,的支持功能。的函数积极均匀的订单1和凸。我们把。
序列满足条件(RD)的定理2。事实上,我们可以在定理的条件(ii)2 为。必要的不平等之前积极的同质性和连续性的功能。
(b)让是一个连续的和积极的同质性功能和,,在那里是正数的严格增序列。序列满足条件(RD)。
我们将表明,条件(RD)相当于条件定期减少的序列扮演重要角色在射影描述(磅)的情况下(3]。

定义4(见[3定义2.1])。序列的函数这样在经常被称为降低如果

定理5。让是连续函数的均匀程度,在,。以下断言是等价的:(我)条件(RD)持有。(2)序列经常减少。

证明。 。假设序列定期降低。然后, 假设条件(RD)不持有。然后 为我们选择的条件(23),这选择的条件(24)。
我们将证明平等由此可见,。事实上,如果对于一些也,然后为每个平等成立。因此 从这个它遵循。因此为每一个。因为所有的 由(24) 这是一个矛盾,23)。
言外之意是显而易见的。

4所示。权重的情况下积极与齐次函数定义的一篇作文

让是一个锥形的赋范线性空间(真实的或复杂的),也就是说,对所有和。设置 在哪里的标准是。我们赋予的诱导拓扑。

让,积极,是连续和均匀程度功能,这样在为每一个。假设是一个连续函数,这样吗 我们把,。

进一步我们将使用功能覆盖性质。

定义6。一个函数如果有满足条件(SJ)这样对所有。

例7。以下功能满足条件(SJ):(一) 如果,,,(b) ,,如果,,,。
我们修复和定义权重函数 在哪里是一个连续函数,满足条件(SJ)。

定理8。的空间是一个拓扑子空间的。

断言遵循从[3定理1.3)(见定理的证明1)。

我们将进一步调查代数时的身份成立。

定理9。以下断言是等价的:(我) 用代数方法。(2)有这样为每一个。

证明。由(3,命题4]代数的身份相当于条件(wQ): 也就是说, 自,这个条件是等价的 因此,代数平等成立当且仅当满足以下条件(wQ1): 或
。假设条件(i)持有但(2)很不满意。我们选择和为如(wQ1)。因为(2)不持有和这样和。选择如此之多, 我们解决了一些。定义和为如(wQ1)。自和,有这样 在哪里是一个常数的条件(SJ)。
让。然后。的条件(SJ)这样和。从 由此可见, 有矛盾(wQ1)。
言外之意是显而易见的。
我们给出一个定理的推论9。让,;,;,;,积极,是连续和均匀程度功能,这样为每一个;让函数如上图。我们把,。这个函数满足条件(SJ)。
把 在哪里是固定的。

推论10。以下条件是等价的:(我) 用代数方法。(2)有这样为每一个。

备注11。让是一个凸子集的开放;让是一个基本的序列凸紧凑的子集这样为每一个。为每一个我们表示,的支持功能。的函数凸和积极订单1的均匀。让是一个quasianalytic权函数在布劳恩et al。10](见[7,p . 125])。在[7,命题7]证明了代数的身份不持有的功能,。这种断言是必然的结果10,因为为每一个和。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者感谢裁判有价值的言论。