报告在随机图的温暖与给定的期望度

文摘

我们考虑随机图模型对于一个给定的期望度序列。温暖,介绍Brightwell和温克勒组合统计力学的背景下,是一个图形参数相关的色数的下界。我们现在新的上界和下界的温暖。特别是,最低预期的程度是一个上界趋于无穷时的温暖和最大期望的程度与。

1。介绍

让是一个图的顶点集和边集。对图和,一个函数据说是一个图同态(1如果它产生一个边缘之间的映射。表示由所有的同态的集合图一个图。让表示分支的树(根有学位);参见图1插图。一幅地图在据说冷如果有一个顶点的这样,对于任何没有同意在顶点的距离从根但。我们说是温暖的如果不包含任何冷的地图。此外,温暖,的,定义是最大的的是温暖的。根据定义,任何有限和连通图,和当且仅当是由两部分构成的。

温暖是一个图形参数引入Brightwell和温克勒(2在组合统计物理的背景下。这是图的色数密切相关,这是最小的正整数,不是色多项式的根(见,例如,(3])。结果表明,[2定理5.1),任何的鼾声图的温暖是其彩色数字最多。一个自然的问题是一个图表的温暖是什么样子在一个典型的图或随机图(4]。最近,Fadnavis和卡利(5)建立了一些上界和下界Erdos-Renyi随机图以及随机正则图。主要的发现是,温暖往往远小于彩色数字随机图。我们提到的大部分参数研究了随机图论是单调的增加(或删除)的边缘(4,6]。然而,温暖不是这样的一个参数,这使得它很难研究随机图设置。

在这篇文章中,出于工作的5),我们研究的上下界温暖一般随机图模型。对于一个给定的序列,定义如下。每个顶点之间的潜在优势和选择的概率和独立于其他边缘 在这里,我们假设和定义。(所带来的一个直接结果1),预期的程度在一个顶点正是(7]。因此,是预期的平均程度。

称为Chung-Lu模型,这个模型是首次提出在8]。古典Erdos-Renyi随机图可以看作是一种特殊情况的通过预期的度序列。许多图形属性,如组件结构(8,9),平均距离(10),双曲率(11),和光谱的差距12- - - - - -14),已经探索了这个模型。我们参考读者专著7)相关的详细的背景和不同的结果。

死亡笔记的其余部分组织如下。我们国家和讨论部分的上界和下界取暖2。部分3包含了证明。一个简短的结论是在部分4。

2。主要结果

在本节中,我们建立我们的主要结果上界和下界。我们说一个事件持有渐近几乎肯定(大家),如果它与概率趋于1。渐近的,,,使用在他们的标准意义上(15]。例如,我们和两个序列的正实数。考虑意味着;考虑意味着存在一个常数这样对于所有足够大;考虑意味着存在一个常数这样对于所有足够大;考虑意味着存在一个常数这样对于所有足够大。

稀疏随机图,我们可能上界温暖使用最低预期的程度。

定理1(上限)。对于一个随机图假设最大的期望程度与和最低预期的程度作为。然后,对于,一个

作者在5定理3.1)表明,稀疏Erdos-Renyi随机图与对于一些,嗜。另一方面,众所周知,(4,16)色号在这个政权趋于无穷时嗜。因此,温暖的远小于其彩色数字。

我们的定理1,然而,提供了一个例子,温暖可能接近色号。看到这,我们选择,,。主要结果(17)然后得出结论,(在一个稍微不同的配方,精准度而不是期望度)指定色号嗜。另一方面,定理1产生了一个类似的上界。

密集的随机图,我们有以下的下界。

定理2(下限)。对于一个随机图,假设对于任何。然后,对于和,一个

我们的话,上述结果表明定理3.4 (5)当和。鉴于(2节中,定理5.1)(如前所述1),定理2提供了一个可选择的方法获得下界。

3所示。证明

对于一个图,让表示的最低程度。为一个顶点的社区用,一个子集的社区被定义为。一个集合的子集被称为如果对于任何一个稳定的家庭有这样。

我们需要以下引理证明定理1。

引理3(见[2])。给定一个图和一个自然数,不是温暖当且仅当存在一个稳定的子集的家庭。

定理的证明1。自,因为,我们有作为使用一个集中的不平等(7]。集。我们将证明。
现在考虑所有单顶点组成。一组顶点被称为一个代表(5的如果这样,他们并不在附近对于任何一个顶点。因此,通过引理3,它可以证明每个顶点有一个代表。
假设。让表示事件是在附近的。因此,
回想一下,所示的证据。让和有一些邻居的不相交的子集与为。为和,表示的事件对于一些。因此,剥离和不平等(4)意味着 因此,一些顶点没有一个的概率从上面的代表是有界的 倾向于零自与和。这就完成了定理的证明1。

定理的证明2。集。根据定义,我们需要证明不包含任何冷的地图。
接下来,我们进行类似的推理的第五节(5]。我们标签的顶点分支的树根据图1根标记0和它的孩子,随后带走。
让表示的截断版本分支的树与顶点,标记来。我们假设和有顶点到水平和顶点的水平的,在那里。因此,我们有和。叶的数量可以计算为 树叶都贴上。表示由根和叶的设置;也就是说,。
对于一个图和一个函数,据说是如果有一个同态可扩展这样。因此,如果每一个函数是可扩展,然后不包含任何寒冷的地图,从而证明将完成。
现在我们 这是有界的离开吗足够大的。我们要求如下。
索赔1。为和的概率函数与和不是可扩展的最多是对于一些常量。
索赔证据1。我们利用詹森不等式(15]证明权利要求1。注意,根据定义(8)的假设对于任何相当于
让。然后,从(9)和(10),不存在这样的概率为一个特定的选择最多是和至少。
让 我们有。为,表示顶点的集合下令根据其标签。表示由的事件由是一个同态。因此,上述讨论 在哪里表示事件的补充。
让的子图引起的。让意味着的边缘和有一个重要的十字路口。我们应用詹森不等式(15)和(12) 在哪里和。
从(9)和(12)我们有 估计,我们表示最大的全对边的数量和相交于顶点。自组边缘和有一个重要的十字路口,我们得到了什么。因此,(10) 自。注意的是,有这样的对和,我们获得
我们选择这样和。因此,估计(14)和(16)容易屈服
请注意,由我们选择。因此,不平等(13)结合估计(14)和(17)意味着 为一个常数,然后总结了索赔的证据。
因为有最多选择,一个同态的概率(与)不存在至少一个选择是最多的,趋向于零。因此,与概率,每个地图是可扩展的一些。定理的证明2然后完成。

4所示。结论

在本文中,我们给出了上界和下界的温暖与随机图的期望度。我们的研究结果表明,典型的致密的温暖图小于(但可能相当接近)的彩色数字,脱落一些见解普遍的上界。值得注意的是,Fadnavis和卡利(5)表明,一个典型的稀疏图比色数量小得多的温暖。

我们提到程度分布随机图模型的研究,5)或多或少是同质的(即Poisson-like)。这将是有趣的知道温暖的行为不同类地连接图或标识(18- - - - - -20.],无处不在的影响在实际系统和进一步调查最大/最小度暗示的温暖定理1。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者表达了他真诚的感谢匿名裁判和编辑原始论文的仔细阅读和有用的评论,帮助改善的结果。

引用

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