离开Baire-1排字工人和连续函数

文摘

我们表明,类的左Baire-1排字工人正是连续函数的类。回答这个问题在工作由赵(2007年,550页),定居在肯定工作的猜想Fenecios和卡布拉尔(2012年,43页)。此外,基于上述结果我们提供新的证明函数的类在哪里是所有积极的连续函数和类的吗是一切积极的类中定义的常量由Bakowska和pswlak(2010)正是所有连续函数的类。

1。介绍

让是一个完整的可分离度量空间。古典意义上的一个函数在哪里实线是Baire-1如果,每一个开集,是一个设置在。同样,一个函数每一个闭集,Baire-1如果吗在,限制有一个点的连续性。事实上,连续性的点集是剩余的子集。

最近,李et al。1)发现了一种新的等效Baire-1函数的定义。一个函数是Baire-1当且仅当每个有一个积极的功能这样,对于任何 各种类的调查已经完成Baire-1函数以及其子类使用- - - - - -鉴定。见,例如,(2- - - - - -4]。

让我们回忆在4],左边的概念Baire-1排字工人介绍的自然对应的概念对Baire-1排字工人。一个函数是一个左Baire-1排字工人如果每Baire-1函数函数的构成Baire-1。与正确的Baire-1排字工人没有已知的表征左边Baire-1功能。这是所示(3),即存在一个函数与有限的不连续不左Baire-1排字工人。这个观察导致猜想,Baire-1函数必须有很好的属性。我们证明这确实是这样:左侧的类Baire-1排字工人正是所有连续函数的类上定义。此外,我们利用这一点来重建在哪里是类的所有积极的连续函数,是一切积极的课堂真正的常数,所有连续函数的类定义在[2]。

2。主要结果

让我们表示通过。方便参考,我们提出以下有用的结果。

在[4命题1),结果表明:是Baire-1当且仅当每一个积极的连续函数吗有一个相应的积极作用这样,对于任何 另一方面,后(2一个函数属于如果对于每一个存在一个函数这样,对于任何 在哪里和是家庭的积极功能上定义。

下面的定理被证明在2]。

定理1。以下是适用的: 在哪里,,是一切积极的家庭降低半连续,函数所有积极的常数函数,和所有连续函数,分别定义了。

另一个重要的结果是由于[Alinayat5]。我们将状态作为一个定理。

定理2。如果是连续的,那么对于每个存在一个积极的连续函数这样,对于任何

现在,我们可以证明我们的主要结果。使结果尽可能一般我们考虑实值Baire-1欧几里得空间中定义的函数为与标准的欧几里得范数。

定理3。下面的语句是等价的。(1) 是连续的。(2)对于每个Baire-1函数,Baire-1。也就是说,是一个左Baire-1排字工人。

证明。很容易看到,如果是连续的,那么是一个左Baire-1排字工人。假设是一个左Baire-1排字工人。相反,如果我们假设有一个间断点,我们可以假设不失一般性是唯一的不连续点的。然后可能需要下列形式之一:(我) 与或,(2) (3) 注意,函数和连续函数在自己的领域。即让我们将处理情况是一个枚举的叉乘。让这样 首先,我们需要证明Baire-1。我们将适应一个众所周知的技术在显示在补充是连续的吗的。如果,然后是不连续的。让和是一个任意的元素。我们可以找到一个自然数这样。对于这样的,选择这样为每一个。假设。然后要么或对于一些。如果,那么显然。如果对于一些,然后。因此,是连续的补上吗。如果任何非空的完美在吗,然后是不可数的。因此,至少有一个点的连续性。因此,Baire-1。接下来,我们证明不是Baire-1这样不是一个左Baire-1排字工人,我们的假设矛盾。现在, 这是简单的证明到处都是不连续的第二类。案例二世可以同样处理给出的 遵循同样的推理,以防我,一个可以证明到处都是不连续的第二类。剩下的情况下同样可以证明。所有这些参数显示不是Baire-1。因此,必须是一个连续函数。

语句的下一个结果的一部分包含在(2]。这个包含在定理1。我们的主要结果,定理1(定理11 [2])承认一个非常直接的证据。

推论4。让是家庭的积极的连续函数,所有的家庭积极常数函数,下半连续函数所有积极的家庭,所有连续函数定义的家庭。然后

证明。包含是直接从定理2。让。我们将显示是一个左Baire-1排字工人,通过定理3 是连续的。让是任何Baire-1功能和让。然后有一个正面的连续函数这样,对于任何 自是Baire-1,有积极作用这样,对于任何 由此可见,对于任何 因此,。自的,也就是说 证明已经完成。

确认

作者感谢裁判的有用的建议,导致目前的改善。此外,第一作者希望感谢科技部通过科学教育研究所的这项研究是正在进行的金融支持。

引用

1. P.-Y。李,W.-K。唐,d .赵”的一个等价定义函数的第一个贝利类,“美国数学学会学报》上,卷129,不。8,2273 - 2275年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
2. pswlak Bakowska和r . j .,”贝利一班函数的一些特征和贝利一班像功能,“Tatra山上数学刊物,46卷,第106 - 91页,2010年。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
3. j.p. Fenecios和e·a·卡布拉尔。”K连续函数和正确的$B_1$排字工人。”印尼数学学会杂志》上,18卷,不。1,37-44,2012页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
4. d .赵”功能与贝利类一个函数是贝利类的成分,”苏州日报的数学,33卷,不。4、543 - 551年,2007页。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
5. 答:Alinayat。”δ作为一个连续的函数x和ε”,美国数学月刊,卷107,不。2、151 - 155年,2000页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet

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