文摘
使用广义的法诺不平等标准熵和贝叶斯概率的误差,证明了广义random-cipher结果考虑广义标准熵的类型。
1。介绍
众所周知,一个好的密码系统可以提供关键利率大于信息冗余(1]。香农获得这个结果通过考虑含糊其辞的关键在一个随机密码。通过计算的平均数量的限制类随机密码的破译文字,赫尔曼(2)获得相同的结果。类似的结果是证明了陆(3)通过使用正确的平均概率解密消息的数字来衡量性能和法诺不平等的密码。陆所做的分析是准确的,而在1使用近似。所有这些结果都是通过考虑到香农熵。
Sahoo [4陆)广义的结果考虑Renyi熵和贝叶斯概率的错误。但在信息的文学理论中,存在各种各样的香农熵的概括。其中之一是R规范信息,由Arimoto介绍(5)和广泛研究了Boekee和范德Lubbe6]。本文的目的是通过考虑广义陆概括的结果R标准熵的类型和贝叶斯概率的错误。
2。香农的泛化Random-Cipher结果
考虑一个离散随机变量X,值,拥有完整的概率分布。还要考虑集积极的实数不等于1;也就是说,。然后R规范信息(5)被定义为
这种方法不同于香农熵(1],Renyi [7],Havrda和Charvat [8],Daroczy [9]。最有趣的这项措施是当的属性R 1,香农的方法(1)熵和情况。测量(1)可以推广在很多方面;然而,Hooda和Ram (10参数进行了研究归纳如下: 在哪里。
测量(2)可能被称为广义R标准熵的类型它减少了(1)当。以防R= 1,(2)减少
设置在(3),我们得到
测量的信息(4)也被提到了Arimoto [5)作为一个例子的一类广义信息的措施。尽管(4)和(1相同的形式,然而,这些不同的范围R和是不同的。然而,(2)是一种联合的代表(1)和(4)。所以这是有趣的研究广义的应用程序R标准熵的类型。
现在让我们考虑另一个离散随机变量Y,值,,拥有完整的概率分布。现在考虑一个二维离散随机变量与与概率值,分别。如果的条件概率是吗鉴于,然后利用贝叶斯定理,我们有
定义1。联合R规范信息的类型为和是由
很容易看到是对称的和。由于非加和性的财产,因此,如果在一次和是随机独立的,
成立。
构建一个条件R规范信息的类型,我们可以使用一个直接和间接方法。间接法导致以下定义。
定义2。平均减去条件R规范的信息鉴于是为和,定义为 注意,通过选择这个定义,我们认为可加性的感觉 如果和使用贝叶斯定理是统计独立的,那么,我们有什么 直接的方式来构建一个条件R规范信息的类型是这样的。
定义3。一般的条件R规范信息的类型的鉴于是为和,定义为 讨论了有条件的两种形式R规范信息的类型介绍两个条件可以对条件信息的措施;也就是说,(一)如果和是独立的,那么 (b)
当且仅当与平等和是独立的。
很明显,(b)包括(a),因此是一个强大的限制。然而,这是一个基本的基本属性,因为它是在应用程序的重要性。在接下来的两个定理,我们国家这两个条件的行为措施的需求(a)和(b)。
定理4。如果和是统计独立的随机变量,然后呢和,
证明。的证明(14)和(16从表达式()之前8)和(11)。从(7),我们获得(15)。
通过这个定理,我们可以得出结论,这项措施通过正式的区别是,联合和边缘信息的措施,不满足要求(a)。因此,它是比测量的吸引力。
在接下来的定理,我们认为需求(b),测量条件的信息。
定理5。如果和离散随机变量,然后呢和,
成立。
平等迹象当且仅当和是独立的。
证明。我们知道,11),对。考虑
设置在(18),我们有
或
使用作为,我们发现
在同一行,我们可以证明(22)适用于。因此,(17适用于所有和。等号成立当且仅当是可分的吗。这是概率的独立要求。
它遵循从定理5那满足需求(a)和(b)。
让我们考虑的数学模型为3]。为了清晰起见,我们将重复的一些术语的定义3]。在这个模型中,输出消息的来源是一个平稳随机序列。每个组件将一个值从一个有限集。传入消息序列由瞬时块编码器转换成消息的长度。让我们表示消息的话。源输出的关键是一个随机变量,这是统计独立的并以等概率的值在一个有限集。率的关键被定义为 很容易看到 这是中定义的关键利率(3]。
同时,广义R标准熵的类型消息的冗余块被定义为广义的最大价值的区别R标准熵的类型和实际的广义R标准熵的类型;也就是说, 很容易看到 消息的冗余块是哪一个的香农熵。
关键是输入关键字发生器;当键的值,keyword-generator输出的关键字长度,在那里是一种元素的关键字母吗。为每一个数字,一个瞬时块编码器产生的数字密码系统的词使用以下组合器: 在哪里是双射的映射来,密码字母集。
本文认为,集,有限的基数和组合器吗是每一个变量。瞬时译码器使用生成的关键字和适用的倒数对每个字母密码的词恢复消息;也就是说,。cryptoanalyst截获密码单词和试图解密使用他或她的先验知识信息和关键,使用概率,合路器的块长度,关键是速度和密码。的密码,他(或她)假定一个关键和解密消息,在那里 解密消息的话被认为是一个可能的消息的话,考虑到密码单词和密码。
让消息的长度和解密后的词字的消息。如果表示一个错误的概率正确的解密根据贝叶斯决策方案,数字 在哪里是集的基数。因此,每个字母的平均概率的错误消息的长度被定义为 在以下定理random-cipher结果证明了广义的R标准熵的类型。
定理6。考虑到平稳随机离散源与字母的大小。让的广义熵R-norm类型冗余,率的关键的平均概率正确的解密。然后 在哪里。
证明。自从消息,关键是统计独立的,我们有 现在每个变量和一对一,所以 在哪里是密码。然后从(32)和(33),我们有 我们也 使用(35)(34),我们有 因为密码的总数等于,因此 使用(37),(36)成为 我们假设随机地选择键,这是等概率的,因此每个键 使用(39),不平等(38)成为 自是一个函数的只有我们有 因此使用(41),不平等(40)成为 与每个键相关联,有一个关键字和关键字是不同的。因此 在哪里和。我们也有 从(23),我们可以在一个简单的方法证明 在哪里,三个随机变量。利用这一结果,(44)成为 因此使用(45)和(43),不平等(42)成为 使用的法诺不平等R规范信息(6),我们有 从(47)和(48),我们有 因为这个函数与是凸的,它遵循从詹森不等式, 现在使用(50),不平等(49)成为 很容易看到,(49)是有效的。因此,使用(23)和(25),我们有 这证明了结果。
言论。定理的结果对所有密码是有效的考虑,对于任何cryptoanalyst执行可行的解密。这个定理指出,为了设计一个好的密码,足够使用一个关键利率大于广义R标准熵的类型β冗余的信息。
特定的情况下。如果不平等(31日)减少不平等 在哪里 这个结果被陆(派生3]。然而,而不是使用贝叶斯概率的错误定义,陆(3)认为是定义错误的概率正确解密: