系数估计对某些类别的Bi-Univalent功能

文摘

一个函数分析在开放单位圆盘据说bi-univalent如果两个函数和它的逆映射单价的。bi-univalency条件对功能分析使得其系数的行为无法预测。没有多少人知道的行为的高阶系数bi-univalent函数的类。我们使用Faber bi-univalent函数的多项式扩展得到估计的一般系数受某些差距系列等为早期提供边界系数函数。

1。介绍

让表示函数的类分析在开放单位磁盘和规范化的

让表示函数的类中单价的,让类的功能分析在和满足条件在。Caratheodory引理(例如,看到1)我们有。

为和我们让表示解析函数的家庭这

我们注意到,是有界的类边界将功能和也呢如果。为,类和第一次定义并研究了丁et al。2]。

众所周知,每一个函数有一个逆令人满意的为和为据科比四分之一定理(例如,看到1])。

一个函数据说bi-univalent如果两个和。寻找边界类bi-univalent函数的系数可以追溯到1967年(见列文(3])。但利息bi-univalent函数的系数的边界类被布兰南的出版物和塔哈4),斯利瓦斯塔瓦等。5],Frasin和Aouf [6),阿里et al。7,哈米迪et al。8]。bi-univalency条件强加于功能使得其系数的行为无法预测。没有多少人知道的行为类bi-univalent函数的高阶系数,作为阿里et al。7)还说,发现的界限当是一个开放的问题。在本文我们和并使用Faber多项式系数扩展为一般提供边界系数这样的函数与给定差距系列。我们还获得前两个系数估计和这些函数以及为他们提供估计系数的身体。本文中提供的边界被证明是比斯利瓦斯塔瓦提供的估计等。5]和Frasin Aouf [6]。

2。主要结果

使用Faber多项式扩展功能的形式(1),它的逆矩阵系数的地图可以表示为,9), 在哪里 这样与是一个齐次多项式的变量(10]。特别是,前三个方面是

一般来说,对于任何的扩张是,9,183页), 在哪里和(11]或[12), 而,和接管所有的非负整数令人满意的

显然,,(13]。

定理1。为和让和。如果;,然后

证明。解析函数的形式(1)我们有 和它的逆映射,,我们有
另一方面,和根据定义,存在两个正实部的功能和在哪里和在这
比较相应的系数(10)和(12)的收益率 同样的,(11)和(13我们获得
请注意,对于;我们有所以
现在的绝对值的上述两个方程,应用Caratheodory引理,我们获得

定理2。为和让和。然后有以下

证明。替换通过和在(14)和(15),分别,我们推断
分(19)或(21),绝对的值,并应用Caratheodory引理,我们获得
添加(20.)(22)意味着 或
一个应用程序的Caratheodory引理的根产量紧随其后
现在的界限定理2()注意的是,如果遵循,然后
分(20.)、双方的绝对值和应用Caratheodory引理产量
分(22)双方的绝对值,并应用Caratheodory引理,我们获得

推论3。为让和。然后有以下

备注4。上面的两个估计和显示的界限定理2比那些由斯利瓦斯塔瓦et al。([5,1191页,定理2]和Frasin Aouf [6,1572页,定理3.2])。

引用

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