多项式近似封闭公式贝塞尔的0

文摘

我们发现近似表达式和的实部和虚部th零贝塞尔的多项式。获得这些封闭公式我们使用定义良好的曲线在复平面上的点是零的极限点的归一化贝塞尔多项式。因此,这些零通过静电的实现首先计算数值解释公式,然后,一个合适的函数的实部和虚部,和是获得。结果表明,由此产生的复数是收敛到固定。

1。介绍

的多项式解微分方程 系统地研究了在1通过第一次)。他们命名(广义)贝塞尔多项式,给出明确 因为它可以显示在2]。在这里,Pochhammer符号和吗。许多属性以及相关的应用程序这个方程;旅行波在径向方向上的解决方案,在球坐标中波动方程可以写成多项式的解决方案(1。1)。同时,这个方程在网络应用程序和滤波器的设计,各向同性湍流场等等(见专著[2]或[3- - - - - -14)和引用其中一些其他的结果)。其中,一些结果的重要的问题关于取得了零的位置(8- - - - - -11)和(12),显式表达式和规则和同质产品和对称函数的零多项式。另一方面,这些零平衡配置的静电解释在复杂平面对数电势和偶极子在原点已在13],在[14]表明,这种均衡配置是不稳定的。因此,这些情况表明,需要获得新的分析了解贝塞尔的零多项式的位置。

在本文中,我们给出近似显式公式的实部和虚部th零的和显示这些新公式的近似阶贝塞尔的确切零多项式固定。

遵循本文的方法很简单,基于三项。第一个是静电的解释零多项式满足二阶微分方程的15- - - - - -17),第二个是一个简单的曲线拟合的数值数据,第三个是已知的事实,定义良好的曲线在复平面上的点是零的极限点的归一化贝塞尔多项式(8- - - - - -11]。公式产生的静电解释贝塞尔的零多项式用于数值找到它们,因为它已经完成之前点的这些和其他集(7- - - - - -19]。几套以这种方式计算的零和实数和虚数的集值拟合多项式根据索引的系数取决于和。

2。0的渐近表达式

让,贝塞尔的零多项式下令根据虚部。然后,从(1。1),(程序获取这种非线性方程组的零多项式满足第二并给出高阶微分方程(19]。) 在哪里,即零的实部和虚部应该满足静电方程 这一组非线性方程可以通过标准方法来解决。我们使用一个牛顿法来解决这些问题和。

让是规范化的贝塞尔多项式零点,也就是说,和。因为它是图所示1分段线性插值的实部和虚部可以通过多项式拟合指数的第二个和第三个学位吗。

因此,我们提出以下表达式 的近似为零符合我们的数据。找到这些多项式的系数的依赖和我们考虑到数值行为数据的中间和结束点。

我们首先发现的系数二阶多项式拟合值的实部在和。在图2我们的依赖性和在一些值的。

这些数据的模型和收益率 这些条件的对称对中间点导致以下系数: 在哪里 现在,找到三阶多项式的系数虚部我们遵循类似的过程。的实部的依赖和在一些值的如图3。

再一次,这些数据的模型和收益率 此外,我们有 因此,给出了系数 在哪里 因此,替换(2.10),(2。9),(2。6)和(2。5),分别在(2。3)收益率近似封闭表达式 在哪里非规范贝塞尔的零多项式。中给出的表达式(2.11收敛到零这些多项式,当我们将显示在下面。

3所示。收敛

后(9),我们定义 和表示定义的曲线 它包含的极限点0的规范化贝塞尔多项式。然后,事实证明在8),零的订单的方法极限的值,也就是说, 作为。

因此,如果我们显示,我们将证明 因此,考虑到这一点显式表达式(2.11)方法零贝塞尔的多项式。

为了这个目的,我们只是用表达式代替由(2。3)(3所示。1)获得,经过长时间的计算,这的扩张而言,是 在哪里 这意味着 固定和。因此,订单的方法的曲线和(3所示。4)。从这里我们有 作为。数值计算证实和扩展这个结果。图4显示了最大值的行为在因为他们依靠的具体情况。数字计算(2。2)作为确切的0。这些数据的与。

4所示。一些测试

为了让示例应用的近似表达式(2.11),我们考虑下面的情况。

4.1。真正的零

一个真正独特的封闭公式为零贝塞尔的多项式可以获得的替代吗在现实的一部分(2.11),。这给了 作为我们的新结果。在[2,11非常精确的表达式给出了。特别是,以下公式: 给出了在11]。扩大的权力我们发现 表明良好的相对两个结果之间的协议。

4.2。权力和

这里我们进行相应的乘法和使用某些情况下Faulhaber的公式。然后我们比较我们的结果和精确的。

(1)的和零。简单的总和(cf。2.11)给出了一个复杂的实部的表达式。然而,扩大这个总和的实部和虚部 确切的结果我们可以看到从(1。2)。

(2)零的平方之和。在这种情况下我们的具体情况。为我们获得这个值 确切的数目 可以找到其他地方(12]。

使用近似公式(2.11)获得的更高权力的这些零预计不会给出令人满意的结果,因为权力和放大和总误差。

5。最后的评论

的近似公式鉴于以上远非是独一无二的。存在许多其他的功能以适应零通过静电方程(2。2),还有其他条件对极端和中间点的拟合区间。例如,虚部可以安装一个多项式的学位,但这并不能提高收敛速度,另一方面,计算变得更加复杂。

承认

作者感谢Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologia金融支持这个项目。

引用

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