文摘
本文对角隐两点块向后微分公式的推导(DI2BBDF)求解一阶初值问题(IVP)和两个不动点。同时在两个点方法近似的解决方案。该方法的实现和稳定性进行了讨论。DI2BBDF的性能是与现有的方法相比。
1。介绍
最现实的问题出现在各领域的研究,如工程或科学构建数学模型之前解决。这些模型往往会导致微分方程。一个微分方程可以被定义为包含一个导数的方程。在本文中,我们考虑的是IVP和两个固定的点的数值解的一般形式 给定的初始值,在那里和是一个有界实值函数与连续的衍生品。看到;(1如何简化问题,我们假设固定的点和。本文的目的是介绍一个新的块方法叫做对角隐式两个点块向后微分公式。块方法基本上是一个方法用于计算之前块和计算当前块,每个块包含点。易卜拉欣et al。2给的一般形式点块, 在哪里和是通过矩阵。
块上的快速增长的研究方法求解常微分方程导致竞争发展中产生一个精确的方法解决许多类型的常微分方程。最早研究块方法提出了Shampine和瓦3)与块隐式方法,一步现金(4)与修改扩展向后微分公式,楚和汉密尔顿[5与多个块方法],Majid和苏莱曼6)与完全隐式块方法求解常微分方程。块的最新研究方法在计算块近似被称为块向后微分公式(BBDF)提出的易卜拉欣et al。7]。对角隐式多步方法等一些研究者讨论的Majid和苏莱曼8)与4对角隐式块方法和亚历山大(9)与对角隐式龙格-库塔方法求解刚性常微分方程。在本文中,我们感兴趣的比较方法的准确性与一步法预估法(1 spcm)和pci亚当斯法研究了•阿吉亚尔和拉莫斯1]。
2。制定对角隐式BBDF
在图1,对角隐式2点BBDF (DI2BBDF)将创建两个新值同时等距的解决方案。Majid和苏莱曼8)表示,该方法称为对角隐式,因为条目上三角矩阵的系数为零。
我们将推导的公式计算近似值和同时有两个以前的返回值和。公式推导,利用拉格朗日插值多项式的计算解决方案和分开。考虑多项式的程度插入的值,,,的一个函数插值点,,,用拉格朗日多项式定义如下: 在哪里 为每一个。
为,我们定义和替换通过多项式(2。1),只插入值,,在插值点。 因此,区分结果一旦对多项式在点和评估提供以下:
然后,我们插入值,,,在插值点,,和微分结果一旦对多项式在点和替换收益率
因此,校正公式和是由
3所示。对角隐BBDF的稳定
许多依赖于数值方法收敛速度、计算费用和准确性为初始值问题的解(ivp)。在本节中,我们的目标是识别DI2BBDF的线性稳定的特性。根据Shampine和瓦(3),最关键块方法的局限性是由于稳定性问题的存在。零稳定块方法的基本定义描述了易卜拉欣et al。10]。块方法据说zero-stable如果根源的第一个特征多项式满足。如果其中一个根,我们称之为根的主要根源。
线性稳定属性是通过应用程序的标准线性测试问题 因此,我们将构建的公式推导出在前一节中,这是(2。6)。应用程序的标准线性测试问题(3.1)(2。6)给下面的 设置我们写(3.2)在指定的矩阵系数 第一个特征多项式的(3.2)是由
通过求解和,我们可以确定零稳定收益和。因此,对角隐BBDF零稳定。以来的一个根源,我们称之为根主根。
4所示。的实现方法
在本节中,我们得到的计算和使用牛顿迭代。DI2BBDF可以编写的一般形式 在哪里和backvalues。
指定的迭代,以下介绍了符号。将表示迭代的价值,让和。牛顿迭代形式如下:
替换,和采取的形式
同样对于第二点,给了
因此,近似的值和是
5。数值例子
在本节中,两个固定的点被认为是一个自治问题为目的的验证计算结果: 解决方案是。
确切的解决方案是 看到•阿吉亚尔和拉莫斯(1]。
我们已经测试了这个问题考虑到步长,在哪里与间隔。所有方法的精度的最大误差如表所示1。
使用的符号表中需要以下含义: :步长,马克斯:最大误差,DI2BBDF:对角隐式2块向后微分公式方法,1 spcm:一步法预估方法,亚当斯pci:显式欧拉作为预测和梯形规则校正器。
最大误差定义如下:最大误差=在NS步骤的数量。
在图2,该方法的数值结果和现有方法绘制。精确的和近似的解决方案还绘制在图吗3。
6。结论
在这项工作中,我们应用DI2BBDF作为解决普通的初值问题的数值方法有两个固定的点。通过减少步长,我们观察到的最大错误值DI2BBDF变小。此外,通过比较我们的结果与现有解决方案获得的方法,我们可以得出结论,DI2BBDF收益率更精确的近似。然而,对于高维问题的情况下,DI2BBDF仍然表现良好,虽然知道块向后微分公式更有效解决僵硬的初值问题。在图3,我们可以观察到的精确和近似解DI2BBDF仍增加向稳定的不动点。对于未来的研究,我们制定的策略来提高该方法的性能扩展的顺序变步大小的公式和修改公式求解微分初值问题的两个不动点。