文摘
我们表明,量子的家庭都将从一个有限的空间映射到有限维量子半群有一个紧凑的正则量子半群的结构。
1。介绍
根据盖尔芬德二元性,紧凑的豪斯多夫空间的类别和连续映射和交换unital C *代数的范畴和unital *同态是双重的。在这种二元性,任何紧凑的空间对应于所有连续的C *代数复杂的地图,任何交换unital C *代数对应于其最大的理想空间。因此作为非交换拓扑结构的基本概念,非交换unital C *代数被认为是连续函数的代数符号紧凑的非交换空间。在这个信件,*同态解释是象征性的连续映射。自量子力学系统的坐标可观察到的非交换,有时被称为量子空间非交换空间。
Woronowicz [1]和Sołtan [2)定义了一个量子空间的所有地图来和显示,在适当的条件下存在和。在[3),我们认为是functorial这个概念的属性。在本文中,我们表明,如果是一个紧凑的有限维(即是unital量子半群和有限生成),如果是一个有限交换量子空间(例如,是一个有限维交换C *代数)呢有一个正则量子半群的结构。换句话说,我们构建的非交换半群描述如下。
让 是一个有限的空间 是一个紧凑的半群。然后空间 的所有地图 来 是一个紧凑的半群,紧开拓拓扑和逐点的乘法。
节2,我们定义量子家庭所有的地图和紧凑的量子半群。节3,我们国家和证明我们的主要结果;我们也考虑和余单位关于量子半群。最后,在部分4,我们认为一些例子。
2。地图和量子的量子家庭半群
本文所有C *代数单位和所有C *代数同态保护单位。对于任何C *代数,和表示身份同态来和单位,分别。对于C *代数,表示的空间张量积和。如果和*同态,那么*同态定义为()。
让,三豪斯多夫空间和紧凑是空间的连续映射来开着紧凑的拓扑。考虑连续映射。然后两人家庭是一个连续的地图吗来被与参数。另一方面,通过拓扑指数定律,我们知道特点是一个连续的地图吗定义为。因此可以被视为一个家庭的地图吗来。现在,盖尔芬德的二元性,我们可以简单地翻译这个系统非交换语言。
定义2.1(见[1,2])。让和unital C *代数。由量子家庭的地图来,我们的意思是一对,包含unital C *代数和一个unital *同态。
现在,假设而不是参数空间我们使用(注意,一般来说这个空间不是本地紧凑)。那么这个家庭 的所有地图来具有以下普遍性质。
对于每一个家庭的地图来,都有一个独特的地图这样,下图是交换:
(2.2)
因此,我们可以做以下定义非交换设置。
定义2.2(见[1,2])。假设的定义2。1,被称为量子家庭的所有地图吗来如果每unital C *代数和任何unital *同态,都有一个独特的unital *同态这样,下图是交换:
(2.3)
通用属性的定义2。2很明显,如果和两个量子家庭的所有地图来自哪里来,然后有一个*之间的等距同构和。
命题2.3。让是一个unital有限生成C *代数和是一个有限维C *代数。然后所有地图的量子家庭来的存在。
定义2.4(见[2,4- - - - - -6])。一对组成的unital C *代数和一个unital *同态被称为一个紧凑的量子半群如果是一个coassociative上乘法:。
A *同态诱发对偶空间上的二元运算定义为为。现在,假设是一个紧凑的豪斯多夫拓扑半群。使用规范化的身份,我们定义了一个*同态通过为和。然后是一个coassociative上乘法因此是一个紧凑的量子半群。相反,如果是一个紧凑的量子半群等阿贝耳,那么的字符空间,引起的二元运算是一个紧凑的豪斯多夫拓扑半群(7]。众所周知,一个紧凑的半群与取消属性是一个紧凑的集团(8,命题3.2]。类似的取消量子半群的属性定义如下。
定义2.5。让是一个紧凑的量子半群。(我)(见[5])(职责。,right) cancellation property if the linear span of(职责。)是密集的。(2)(见[5])弱左取消财产,只要是这样的,对所有,我们必须有或。同样的,弱有权利取消财产,无论何时对所有,我们必须有或。(3)(见[2)左(分别地。,right) counit for是一个字符在(一个unital *同态),满足(职责。)。左和右余单位叫做(双边)余单位。
在上面的定义泛和是由和。
2.6的话。在[4),余单位字符在特殊的致密紧凑量子组子代数。这些代数由紧凑的有限维酉表示量子组。在本文中,我们主要处理量子半群,因为它不是自然的定义统一的表示(量子)半群,我们对余单位使用上面的概念。
很明显,左(分别地。,right) cancellation property implies weak left (resp., weak right) cancellation property. The converse is partially satisfied [5定理3.2:
定理2.7。让是一个紧凑的量子半群。然后既有左右取消属性当且仅当它有弱左和弱右取消属性。
定义2.8(见[4,5,8])。紧凑的量子半群与左、右取消属性称为紧凑量子组。
再次考虑压缩半群及其相应的紧凑的量子半群上面的定义。使用命题3.2的8),这很容易证明是一个紧群当且仅当是一个紧凑的量子群。
3所示。结果
在本节中,我们国家和证明的主要结果。
定理3.1。让是一个紧凑的量子与有限生成半群,是一个有限维交换C *代数和是所有的地图从量子的家庭来。考虑到独特的unital *同态这样的图
(3.1)是可交换的,是翻地图,(),是乘法*同态的,也就是说,(。然后是一个紧凑的量子半群。
证明。我们必须证明,为此,量子家庭的普遍属性的地图,这是足以证明 注意,交换性的(3.1),我们有 让我们从左边开始(3.2): 右手边的(3.2),我们有 因此如果,然后 因此,自证明(3.2),这足以证明 让和。然后左手边的(3.7),我们有 和右边的(3.7), 因此,(3.7)是满足,证明已完成。
定理3.2。让是一个紧凑的量子半群与左余单位。假设,是在定理3.1。那么紧凑量子半群有一个离开余单位。
证明。让离开余单位。定义unital *代数同态通过()。然后的普遍性质显示有一个角色这样,下图是交换:
(3.10)我们表明,,因此是余单位。的普遍性质,这足以证明
我们有
自是离开余单位,我们有
对于每一个。这意味着
对于每一个在。这就完成了证明。
类似的定理3.2量子组织权利和满足(双边)余单位。一些自然问题量子半群的结构紧凑出现。
问题1。让和那么在定理3.1。(我)假设的左或弱左取消属性。这是否适用于吗?特别是,假设以下。(2)假设是一个紧凑的量子群。是一个紧凑的量子群吗?(3)的陈词(i)和(ii)满意吗?
部分我们考虑这些问题在下一节提供了一个简单的例子。
4所示。一些例子
在本节中,我们考虑一个类的例子。让是函数的C *代数交换有限空间,让是所有的地图从量子的家庭来直接计算表明。生成的通用C *代数吗元素满足的关系(1) 对于每一个,(2) 对于每一个,(3) 对于每一个。
同时,被定义为,在那里是标准的依据。假设 是一个乘法半群。然后引发一个上乘法: 定义为,在那里克罗内克符号。我们计算上乘法引起的,在定理3.1。我们有 因此 这等于。因此被定义为 我们现在考虑特殊情况在更多的细节。只有四个半群结构(同构和反同构)集:
。
。
。
。
半群的结构是一组结构和有权取消财产。在半群理论中,,被称为semilattice, null,分别和左零带结构。为半群,让和相应的量子半群,如上所述。一个简单的计算表明: 正如我们解释部分2,是一个紧凑的量子组和吗是一个紧凑的量子半群与取消财产。从上面的计算中,很明显,紧凑的量子半群有权取消财产。现在,我们证明也是一个紧凑的量子群:unital C *代数两个单一元素生成的吗和更多的细节(参见下面的评论)。一个简单的计算显示 这很容易意味着有左右取消属性,因此是一个紧凑的量子群。
4.1的话。(1)代数是宇宙的C *代数由统一的自伴的元素,说什么。它遵循的定理3.3的证明(2),成为普遍的C *代数生成的两个酉自伴的元素。一个模型是所有连续映射的C *代数封闭的单位时间矩阵代数,在区间的端点,对角矩阵等价
统一的自伴的发电机
在这种表示,发电机成为:,,和。此外,同态被定义为。这个C *代数的表示是一个基本的例子非交换空间;参见ii . 2。ii .(9]。
(2)还有另一个量子半群结构量子家庭所有的地图从任何有限量子空间本身引入的Sołtan [2]。
承认
作者感谢裁判他/她有价值的建议。