文摘
我们推广r-costar模块r-costar一对逆变子之间交换类别。
1。介绍
对于一个环一个固定的对吧模块,,让fgd-tl ()表示无扭的类模块的双是有限生成和fg-tl ()表示的有限生成无扭了模块。被称为合演模块如果 是一个二元性。配角模块介绍了科尔比和富勒(1]。据说是一个r-costar模块提供任何确切的序列 这样和是应用函子后反身,仍然是准确的当且仅当是反射性的。r-costar模块的概念引入了刘、张(2]。我们说一个正确模块是有限-copresented如果存在很长一段的序列 这样是正整数,。所有的类有限用-copresented模块- - - - - -。我们说一个正确模块是一个finitistic-self-cotilting模块提供任何确切的序列 这样- - - - - -和是一个正整数,应用函子后仍然是准确的吗和- - - - - -- - - - - -。Finitistic由Breaz -self-cotilting模块介绍了(3]。
在[4]Castano-Iglesias概括合演的概念模块Grothendieck类别。流行在5]概括finitistic的概念-self-cotilting模块finitistic- - - - - --cotilting对象交换类别和他描述一个家庭交换类别之间的二元性。在[Breaz和流行6概括一个二元性表现出在3阿贝尔定理2.8),类别。
在这个工作我们继续这种学习和概括的概念r-costar模块r-costar一对逆变子之间交换类别,通过推广工作(2]。我们使用相同的技术证明的。
2。预赛
让和添加剂和逆变离开具体子两个交换的类别和。据说他们是伴随右边如果有自然同构 为和。然后他们诱导两个自然转换和定义为和。此外以下身份感到满意和: 这一对被称为二元性如果有functorial同构和。一个对象的()- - - - - -反射性的(职责。- - - - - -反射性的)的情况下(职责。)是一个同构。通过我们将表示所有的子类别反射性的对象。以及由我们将表示所有的子类别反射性的对象。很明显,仿函数和诱导的类别之间的二元性和。
我们说的对离开的确切逆变子r-costar提供任何确切的序列 与 应用函子后仍然是准确的当且仅当。
一个对象被称为如果有一个满射有限生成,对于一些正整数。我们表示所有的子类有限生成的对象。表示的类的加式有限的直接的份。我们将表示,完整的子范畴的投射对象。
从现在开始我们假设有足够的projectives即为每一个对象有一个投射对象和一个满射。很明显,我们可以构造一个射影决议对于任何对象。假设我们有一个投影的分辨率 这就产生了序列 和上链复杂,我们可以计算其上同调现货(地图的内核模映射到的形象),表示它。我们定义随着派生的函子的。的函子我们定义 对于每一个。
让
是一个精确的序列。应用函子我们得到确切的序列
在哪里。让规范的分解,在那里是地图。应用函子序列(2.7),我们有以下的序列
如果我们把,然后
所以我们有以下交换图
(2.10)
3所示。r-Costar一对逆变仿函数
我们将解决所有在前一节中使用的符号和术语。
命题3.1。让是一对的左的逆变子伴随在右边。假设和。然后是一个r-costar。
证明。让
一个精确的序列。假设我们有准确的序列
在申请函子。应用函子最后一个序列,我们得到一个精确的序列
自。因此我们有以下交换图:
(3.4)自,和是同构的。现在很明显,是一种同构这意味着。
相反,假设。应用函子序列(3.1),我们得到一个精确的序列
在哪里。因此我们可以得到准确的序列
对于一些,是地图。应用函子序列(3.5),我们有以下具体交换图(见图(2.10))
(3.7)在哪里。请注意,和是同构的,因为。从图lt是清楚的。现在对所有尺寸改变,。因此。现在申请函子序列(3.6),我们得到的序列
以上我们得出这样的结论:和假设
,从而和。因此通过维度转变。现在考虑以下部分序列(3.8)
请注意,在图(3.7)是一种同构,因为和是同构的。因此是一个同构,因为是一种同构,所以从序列(3.9),我们得出这样的结论:。自的假设,因此从序列(3.6)正规的。因此,函子保存的序列的正确性
在。我们得出这样的结论:对是一个r-costar。
推论3.2。让是一对的左的逆变子伴随在右边。假设。然后是一个r-costar。
证明。让,然后。因此。
命题3.3。让是一个反身发电机在和。让是一个r-costar一对。如果,那么对于任何,有一个无限的序列 应用函子后仍然是准确的吗,在那里为每一个。
证明。让)。然后,因此,假设有一个精确的序列
应用函子我们有一个准确的序列
对于一些。自一对r-costar,最后应用函子后序列是准确的吗我们有一个精确的序列
应用函子我们得到以下交换图的行
(3.15)自,,。通过重复这个过程等等,我们终于获得所需的确切顺序。
命题3.4。让是一个反射和投射发电机和。让是一对r-costar和假设。然后。
证明。让,然后因此,命题3.3,有一个无限的序列 应用函子后仍然是准确的吗,在那里为每一个。我们有一个精确的序列 再一次最后一个序列应用函子后仍然是准确的,因为我们得到一个同构序列(序列3.16),因为,,对于每一个,都是反射性的。我们获得通过维度转变。
假设我们有以下的序列 在哪里,投射对象在和。应用函子我们得到以下的序列
应用函子我们得到以下交换图准确的行
(3.20)如果,那么很明显,)。
命题3.5。让是一个反身发电机在。让是一对r-costar和假设。然后。
证明。对于任何,我们可以构建以下具体序列
在哪里,投射的对象,一个对象在。由命题很明显,之前的论证因此。应用函子我们得到以下的序列
应用函子我们得到以下交换图准确的行
(3.23)因此很明显,。
现在我们可以给下面的描述r-costar一对。
定理3.6。让是一对左确切逆变右边伴随函子。假设是一个自反射影发电机在和。然后是一个r-costar当且仅当吗和。
推论3.7。让是一对左确切逆变右边伴随函子。假设是一个自反射影发电机在和。如果,那么以下是等价的。(1) 是一个r-costar。(2)对于任何确切的序列 与,然后当且仅当具体应用函子序列后仍然是准确的。