文摘

塞弗特定义了两个著名的三角意味着用和。以类似的方式,这是由卡尔森对数均值作为一个夸张的意思。纽曼和桑德尔的列表完成这种方式由另一个夸张的意思。有更多的已知不等式之间的意思,和一些权力意味着。我们把这些不平等两个新的结果获得以下好一系列的不平等,权力意味着均匀间隔的关于他们的订单。

1。意味着

一个的意思是是一个函数,财产 每一个的意思是反射性的;也就是说, 这也是作为的定义。

我们将在这里参考以下方式:(我)权力意味着,定义为 (2)几何均值,定义为,但也验证该财产 (3)第一个塞弗特的意思是,定义在[1), (iv)第二个塞弗特说,定义在[2), (v)Neuman-Sandor意味着,定义在[3), (vi)Stolarsky意味着中定义的(4)如下:

的意思是算术平均,意味着什么是对数的意思。卡尔森说,(5),对数平均也可以表示 因此,意味着,是非常相似的。在[3也证明,这些意味着可以使用非对称Schwab-Borchardt定义的意思给出的 (见[6,7])。它成立于(3),

2。交错财产权力的手段

给定两个手段和,我们会写如果

众所周知,家庭的权力意味着越来越家人的意思,因此 当然,更很难比较两个Stolarsky意味着,每个取决于两个参数。的比较定理给出了(8,9),我们必须给以下两个辅助函数的定义:

定理2.1。让。然后比较不平等 当且仅当适用,(1)如果,(2)如果或(3)如果。

我们需要在接下来的重要双面不等式证明(3]Schwab-Borchardt意味着:

相当复杂,Seiffert-type意味着被简单的评估手段,首先通过权力手段。的评价给定的意思由权力意味着假设一些真正的指数的测定和这样。评价是最优如果是最伟大的这个属性是最小的指数。这意味着不能与如果。

(对数平均的10),它是确定最优的评估 塞弗特意味着,有已知的评估 证明了在11), 在[2]。它也知道 (所示一样3]。此外在[12)这是确定最优的评估 使用这些结果我们推断出以下一系列不平等: 证明完整的交错财产权力的手段,我们的目标是证明之间可以把和。我们因此获得一个很好的分离这些Seiffert-type意味着权力意味着均匀间隔的关于他们的订单。

3所示。主要结果

我们增加了不平等2.11)下的结果。

定理3.1。下面的不平等 感到满意。

证明。首先,让我们评论。所以,第一不平等(3.1),这足以证明以下一系列的不平等 是有效的。第一个不平等(3.2)是一个简单的结果的财产的意思在(1.11)和第二不平等(2.5)。第二个不平等可以证明通过直接计算或通过这给了 这是很容易证明的。最后一个不平等(3.2)是由Stolarsky手段的比较定理。以类似的方式,第二不平等(3.1)的关系 第一个不平等又是由Stolarsky手段的比较定理。平等(3.4)所示基本计算,最后不平等的财产的结果是一个简单的意思在(1.11),第一个不平等的(2.5)。

推论3.2。以下两方不平等 是有效的。

承认

作者希望感谢匿名裁判结果提供一个更简单的证明。