罗杰斯-拉马努詹连分式的参数计算

摘要

本文利用奇异模的逆函数对罗杰斯-兰曼扬连分式及其一阶导数求值。

1.介绍性定义和公式

为，罗杰斯-拉马努詹连分数(RRCF)(见[1])定义为 我们还定义 Ramanujan给出了以下非常有用的关系: 从椭圆函数理论(见[1- - - - - -3.]), 为第一类的椭圆积分。我们知道，反椭圆型是不存在的,是方程的解吗 在哪里。当是理性的代数数据。

我们也可以写出函数使用椭圆函数。它能保持(见[3.]) 同时拥有 从[4大家都知道 现在考虑每一个这个方程 有解决方案 因此,举个例子 有…的帮助函数我们求罗杰斯拉马努詹连分式的值。

2.命题

之间的关系和(见[1280页) 为了解决(2.1我们给出如下。

命题2.1。方程的解 当一个人知道是由 在哪里 如果发生了和,然后和,。

证明。的关系(2.3)可以使用Mathematica找到。参见[5]。

命题2.2。如果和 然后 在哪里是根。

证明。假设,在那里为正整数，那么肯定是真的吗 在哪里
公式如下:已知: 因此，如果我们使用(1.4)和(1.7)和椭圆函数理论的上述推论，得到: 参见[4,5]。

3.主要定理

从命题2.2和的关系我们得到了 结合(2.2)和(3.1),我们得到 关于求解,我们得到 我们也 上述等式源自[1]第280页，第13- 12条及…的定义。请注意,乘数。

因此对于给定,我们发现我们得到Rogers Ramanujan连分式的参数化计算如下 因此对于给定的我们发现和从(2.4)和(2.5)。设置的值,,在(2.3的值和(见命题2.1)。因此从(3.5如果我们发现我们知道。下面是更清晰的结果。

主要定理3。当是一个给定的实数，可以找到吗从(2.3)。然后，对于罗杰斯-拉马努詹连分数，有以下几点:

定理3.1。(一阶导数)。一个人

证明。结合(1.7)和(1.9)和命题2.2我们得到了证据。

现在我们来看看这个函数在其他连分式中起同样的作用。这里我们还考虑了Ramanujan的立方分数(见[5])，这是完全可以使用。

定义的函数 设置为给定 然后和主定理一样，对于三次连分式，以下观点(见[5): 注意这里，我们只需要知道。

如果，一定的,然后 如果我们设置 然后下面的句子就成立了: 它总是可以用自由基四次方程来解。当我们知道我们可以找到从因此。

反过来也成立，如果我们知道的话我们可以找到因此。的可由三阶模方程求得，该方程在自由基中始终可解: 让现在 如果 然后 或 或 将当前值设置为(3.19)我们得到价值。这个函数为代数函数。

4.roges - ramanujan连续分数的评价

注意,如果,，然后我们有经典的评估和。

评估
(1) (2)假设,因此。从(2.5)为了这个可以在自由基中解决，相对于,我们发现 因此,从 我们得到了 将这些值设置为(3.6的价值然后在激进分子。结果是 (3)设置和,,然后 (4) 我们得到了 因此 (5)设置,然后从 我们可以计算所有 在哪里 因此 为一个例子是 在哪里可以用根计算，但为了简单，我们给出多项式形式 然后，我们分别得到值 因此 它还认为 在哪里。的由(2.24 .在这种情况下，我们找不到评估的方法在激进分子)。

定理4.1。集 然后 在哪里 的已知的代数函数是并且可以由主要定理计算出来。