文摘

让是一个戒指,让是一个正确的模块与=结束()。被称为几乎一般quasi-principally内射(或AGQP-injective),如果任何存在一个正整数和左理想的这样和。AGQP-injective模块给出的一些特征和属性,和一些性质AGQP-injective模块附加条件进行了研究。

1。介绍

在是一个关联环与身份,所有模块都是统一的。回想一下,一个环被称为对主要是单射(1)(或正确的内射),如果每一个同态从校长的理想来可扩展的自同态吗同样,对所有。正确的概念P-injective戒指已经被许多作者广义。例如,在[2,3),分别在两个方向对P-injective环广义。后(2),一个环被称为权利从而如果对任何,存在一个正整数这样和任何权利同态从来可扩展的自同态吗。注意,从而推广戒指也被称为YJ-injective在[4]。从[5),我们知道,从而推广P-injective戒指不需要。后(3),右模块与被称为quasiprincipally内射(或QP-injective从一个),如果每一个同态循环的子模块来可扩展的自同态吗或者说,对所有。1998年,页面和周6)广义的概念从而环AGP-injective戒指。根据(6),一个环被称为对AGP-injective如果对任何存在一个正整数和左理想这样和。在[7),第一作者介绍GQP-injective模块的概念可以被视为泛化从而戒指和QP-injective模块。根据(7),右模块与被称为GQP-injective如果对任何,存在一个正整数这样和任何权利同态从来可扩展的自同态吗,或等价于对任何,存在一个正整数这样和。好AGP-injective环结构和GQP-injective模块定义几乎吸引了我们的注意力GQP-injective模块,类似于AGP-injective戒指,并调查其属性。

2。结果

定义2.1。让是一个正确的模块与。然后,据说几乎通用quasiprincipally单射(简而言之,AGQP-injective)如果任何存在一个正整数和左理想的这样和。

显然,一个环是正确的AGP-injective当且仅当吗AGQP-injective AGQP-injective GQP-injective模块。

我们的下一个结果给AGQP-injectivity模块的之间的关系和AGP-injectivity的自同态环。

定理2.2。让是一个正确的模块与。然后,
(1)如果是正确的AGP-injective呢AGQP-injective;(2)如果AGQP-injective和生成为每一个,然后AGP-injective是正确的。

证明。(1)假设是正确的AGP-injective任何存在一个正整数和左理想的这样和。如果和,然后,也就是说,。因此,,也就是说,。这表明。因此,我们有,保证 因此,(1)证明。
(2)假设任何AGQP-injective然后吗存在一个正整数和左理想的这样和。假设和对于某些子集的。很容易看到为每一个,我们有为每一个。这意味着,我们有 因此 因此,AGP-injective是正确的。

回想一下,一个模块被称为- - - - - -循环(3),如果是同态的形象。让=结束(后),(8),我们写。

定理2.3。让一个AGQP-injective模块。然后,
(1) ,(2)如果每个非零子模块包含一个非零循环子模块,然后。

证明。(1)让。然后,为每个,所以。自存在一个正整数,AGQP-injective吗和左理想这样和。请注意,对于一些。自,我们有,然后。所以对于一些和,接下去和。因此,对于一些,因为是至关重要的,如果,那么存在一个非零元素,因此。但,一个矛盾。所以因此是可逆的,这意味着什么呢。
(2)我们只需要证明。让。如果,然后存在这样通过假设。很明显,和。自存在一个正整数,AGQP-injective吗和左理想这样和 如果,然后,所以。这表明。因此,。写,在那里。然后给了,,一个矛盾。

推论2.4(见[6推论2.3])。如果是一个右AGP-injective环呢。

后(9),一组力宏,子模块 的被称为一个- - - - - -歼灭者子模块的。由(7引理9]和定理2.3,我们有以下推论。

推论2.5。让一个AGQP-injective模块。如果每个非零子模块包含一个非零循环子模块,满足ACC在歼灭者子,然后是幂零。

回想一下,一个模块据说是一个GC2模块(10)如果每个子模块与是直接被加数。为了方便起见,我们写来表示,是直接被加数。

定理2.6。让是一个AGQP-injective模块。然后,
(1)如果和子的这样和,然后。特别是是一个GC2模块;(2)如果和是简单的子这样,然后。

证明。(1)让。这是微不足道的。现在假设和。然后和,在那里和。自存在一个正整数,AGQP-injective吗和左理想这样和。让,然后自。所以我们有 因此,。因此,显示,这就可以证明。请注意,首一和对于每一个,因此根据()= Ker ()。由此可见,。现在,让与和,然后。最后,让,然后和是必需的。
(2)让,在那里,让。然后,在那里。自存在一个正整数,AGQP-injective吗和左理想这样和。请注意,和很简单。我们有。很明显,因为是一个单型性。自很简单,是最大的子模块。但,所以然后。由此可见,。现在,让与和,然后。最后,让,然后和是必需的。

回想一下,一个模块据说是弱内射(11),如果任何有限生成子模块,存在这样。

推论2.7。让是一个有限生成模块。然后,是单射当且仅当弱内射,AGQP-injective。特别是,一个戒指是正确的self-injective当且仅当吗弱内射,AGP-injective。

证明。我们只需要证明的充分性。让。然后,存在这样。因此,AGQP-injective和遵循从定理2.6(1)。但是是至关重要的,所以因此。

推论2.8。让一个AGQP-injective模块。
(1)如果有限的戈尔迪维度,然后是半局部。(2)如果是诺特self-generator呢semiprimary。

证明。(1)自AGQP-injective,满足GC2-condition定理2.6(1),然后由[(1)遵循立即12引理1.1]。
(2)由(1)和推论2.5。

回想一下,如果和是两个对吧模块,然后被称为M-projective对于每一个满射而且每个同态,有一个同态这样。一个模块被称为quasiprojective如果它是射影。

让是一个戒指。回想一下,一个元素被称为定期,如果存在一个正整数这样(13)对于一些。一个元素被称为广义常规的如果存在一个正整数这样对于一些。一枚戒指被称为定期(分别地。广义常规的如果每一个元素是定期(分别地。广义常规)。如果是的一个子集,然后我们说是常规的如果每一个元素是常规的。

命题2.9。让quasiprojective有。然后,定期当且仅当吗AGQP-injective和是射影每。

证明。假设是常规的。然后,每一个正确的理想是直接被加数,所以每一个同态从校长的理想来可扩展的自同态吗。因此,P-injective然后对AGP-injective是正确的。由定理2.2,AGQP-injective。的规律性也意味着是直接被加数由(14定理37.7)。但quasiprojective,所以是射影每。
相反,假设AGQP-injective和是射影每。然后对任何,AGQP-injectivity的存在一个正整数和左理想的这样和。自是投影,根据()=对于一些。然后,我们有,所以对于一些和。因此,。这证明是常规,因此广义常规。很明显,定期(在这种情况下,必须等于1)。因此,或者是常规的13定理2.2)。

回想一下,一个模块被称为一个在模块(15如果对于任何子和的,在那里。

命题2.10。让是一个AGQP-injective在模块。然后,定期当且仅当吗。

证明。由定理2.3,我们只需要证明充足。让。自存在一个正整数,AGQP-injective吗和左理想的这样和。自根据()是不重要的然后存在一个非零子模块这样,根据是至关重要的。Moveover,我们也有 因为是一个在模块和。因此, 让与,,然后。由此可见,最后一部分是普通的命题的证明吗2.9。

引理2.11。让是一个AGQP-injective模块,每个非零子模块包含一个非零循环子模块和。如果,然后将是严格一些。

证明。如果,然后根据对于一些非零子模块的,所以依然对于一些通过假设。很明显,。自存在一个正整数,AGQP-injective吗和左理想这样和。因此, 写在哪里和,然后因此 这意味着。很明显,依然根据()。请注意,包含在Ker但不包含在Ker (),包含Ker根据是严格的。

定理2.12。让AGQP-injective有。如果每个非零子模块包含一个非零循环子模块,然后下列条件是等价的:
(1) 是对完美的;(2)对于任何序列,链终止。

证明。由定理2.3,引理2.11,(16引理2.8),一个人可以完成的证明以类似的方式,16定理2.9)。

承认

作者非常感谢裁判有用的意见和建议。