文摘
是一个有界闭凸子集的希尔伯特空间,和两个渐近扩张映射的映射,这样吗。我们建立一个强大的收敛定理和希尔伯特空间的混合方法。结果推广和统一许多相应的结果。
1。介绍
让是一个有界闭凸子集的希尔伯特空间。回想一下,一个映射据说是渐近扩张映射如果 在哪里我们可以假设对所有。表示由固定的点的集合。在这篇论文和两个交换和渐近线的系数渐近扩张映射吗和,分别。假设([1、Goebel和柯克定理可以)。众所周知,和凸和关闭(1,2),所以。表示度量投影在一个封闭的凸子集的和表示弱限制的。众所周知,希尔伯特空间满足产生的条件3),也就是说,如果一个序列弱收敛于一个元素和,然后
到目前为止,扩张和渐近扩张映射不动点迭代过程已经被许多作者广泛的研究来解决非线性算子方程和变分不等式(4- - - - - -6]。有许多强大的扩张和渐近收敛定理扩张映射在希尔伯特空间7,8]。
特别是,清水和高桥7研究下面的迭代过程的任意扩张映射的映射: 在哪里然后他们证明了这一点强烈收敛。这个结果被Shioji扩展到两个交换渐近扩张映射和高桥9]。
最近,一些试图修改后的曼迭代法是这样强收敛性得到保证。和Haugazeau提出的混合方法10),金和徐8]介绍了渐近迭代过程后扩张映射的映射: 在哪里作为。然后证明了强烈收敛。这一结果推广到两个渐近扩张映射Plubtieng和Ungchittrakool [11]。
的基础上(1。3)和(1。4),我们提出一个新的迭代过程两个交换渐近扩张映射的映射和: 在哪里,每本文的目的是证明强烈收敛。
2。辅助前题
本节收集一些词用来证明在下一节的主要结果。
引理2.1(见[7])。让,希尔伯特空间中的身份: 为,和。
引理2.2。让是一个有界闭凸子集的希尔伯特空间,和两个交换渐近扩张映射的映射为本身渐近线的系数和,分别。对于任何,把。然后
证明。把,和。它遵循从引理2.1那 选择,那么存在一个常数这样 对所有的非负整数,。因此,对所有的非负整数,。所以 同样,我们可以证明
引理2.4。让和两个交换渐近扩张映射的映射定义在有界闭凸子集希尔伯特空间的渐近线的系数和,分别。让。如果是一个序列这样收敛弱一些和强烈收敛0,那么。
证明。我们声称强烈收敛作为。如果没有,存在一个正数和子序列的这样对所有。然而,我们已经 产生的条件,对任何与,我们有 让并选择一个正数这样 然后,存在一个子序列的这样和对所有。根据定义的,存在一个正整数这样 对所有。自 和是有界的,存在一个正整数这样 对所有和。通过有界和引理2.2,存在和这样 对所有。由(2。7),(2.10),(2.12)和(2.13),我们有 对所有。然而, 对所有。这与(2。8)。所以强烈收敛然后。同样,我们可以得到。因此,是一种常见的不动点的和。
引理2.5(见[12])。让是一个有界闭凸子集的希尔伯特空间。一组鉴于凸和关闭吗和。
3所示。主要结果
在本节中,我们证明我们的主要定理。
定理3.1。让是一个有界闭凸子集的希尔伯特,和两个交换渐近扩张映射与渐近线的系数和,分别。假设对所有,在那里。如果,然后生成的序列(1。5)强烈收敛。
证明。请注意,凸和关闭吗由引理2.5。另一方面,凸和关闭。那么,。
根据定义的和,存在这样对所有。另一方面,对于任意的,存在这样对所有。因此
因此。很明显,。
接下来,我们证明。事实上,首先
对所有。所以。这就可以证明对所有我们用归纳法证明这个。为,我们有假设自的投影到,我们有
作为,(3所示。3适用于所有,特别是。这一起的定义意味着。因此,对所有。
我们将显示作为的定义我们有,。它遵循从那。这表明序列正在增加。自是有界的,我们获得了吗的存在。再次注意,从和,我们有。因此
现在我们说作为的定义,我们有
自,作为。所以作为。这意味着
自有界闭凸,。它遵循从(3所示。6)和引理2.4那。的定义我们有,对所有它遵循的弱semi-continuity低标准对所有。自,我们有对所有。因此。然后,收敛于弱。的事实
我们有收敛于强烈。这就完成了证明。
以下从定理推论如下3所示。1。
推论3.2。让是一个有界闭凸子集的希尔伯特,和两个交换扩张映射的映射。假设对所有,在那里。如果,那么序列生成的 强烈收敛。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(10771173)。