文摘

线性化多参数反演的模型驱动的变体amplitude-versus-offset分析,旨在分别占几个模型参数对地震响应的影响。以前这类问题的方法包括几何optics-based (GRT基尔霍夫,)反演和迭代的方法适合大型线性系统。在本文中,我们提出一种方法基于线性化的正常算子的数学性质inversion-it阶段太空是一个扩展运营商从线性代数一个非常古老的想法,即,克莱姆法则计算一个矩阵的逆矩阵。线性化的近似解多参数问题涉及生产没有射线理论计算。可能是足够准确的一些目的;对另一些人来说,这可以作为预调节器来提高标准的迭代方法的收敛性。

1。介绍

反射地震学的线性逆问题旨在恢复模型的扰动数据扰动,假设已知的参考或背景模型。参考模型和模型扰动包括材料参数字段(位置的函数),波传播的特点。背景模型被认为是已知的,我们将从符号和抑制它使用“模型”这个词和符号和类似的符号来引用模型扰动。线性化散射算子地图模型摄动到相应的扰动预测的数据。

这些约定,反问题可能声明如下:给定的观测数据,找到一个模型摄动这 解释(1在最小二乘意义上的收益率正规方程 伴随(置)吗:它是一个迁移算子(准确地说,逆转时间偏移的结果,正确解释)。迁移算子将数据空间映射到模型空间。我们将参考迁移输出迁移后的图像,承认其在地震处理典型的作用。正常操作符,或者黑森(我们将使用这些术语可以互换)。

这个设置的一个例子是线性声学;我们将把这个例子中明确。该模型由速度和密度(或阻抗和密度,或任何其他等效组合)扰动字段为例。远期地图样本线性化的解决方案(玻恩近似)声波方程的源(右边)索引源位置,在接收机的位置,可能引起的附加过滤来模拟天线模式源和接收器阵列。

在模拟地震数据生成模型,如线性声学波通常在数百个波长,传播和模型领域必须解决特征波长范围。正规方程从而代表数百万或数十亿,相同数量的方程的未知数,排除的可能性解决他们通过直接矩阵方法如高斯消去法。本文假定计算实现正常算子的应用由波动方程方法,即有限差分和有限元模拟。因此每个应用程序是一个昂贵的,大规模的计算过程,哪些地方实际的限制步骤的数量在一个迭代的方案来解决普通方程(2)。例如,维子空间方法(如共轭梯度法)至少需要一个应用程序正常操作符的每个迭代。

我们提出一个有效的方法来近似正常的方程的解决方案,需要几个应用程序的正常操作符(一个单参数反演,两个两个参数反演,带三个参数的反演和6)。该方法利用正常算子的性质:在某些条件下(背景模型参数字段慢变波长范围,潜水波能消除数据,数据极化传播阶段),它是一种特殊类型的矩阵值空间不同滤波器(1- - - - - -9]。这一特定类型的空间不同的滤波器,称为伪微分算子在数学文献[10),保留了不连续(事件)模型它是应用而影响下降,振幅的频率相关扩展。其应用也混合事件当几个模型参数(密度、- - -波速度等)存在:因此密度事件将出现在声移民输出的速度分量,反之亦然,例如。

在这项工作中,我们将展示如何将事件对应的各个模型参数通过多个应用程序正常算子交换图像向量,这不同于数据的反演结果的整体空间相关的过滤器,所有组件。之前我们已经解决了这个问题的评估和纠正这样的过滤器(11,12):它是相同的问题发生在一个单个参数线性逆问题的解决方案。结合两种技术,我们为所有参数恢复一个精确的近似反演,在约束我们应当说明。

我们检查我们的单个参数反演方法(例如声学建模、基于恒定密度)附录B。它属于的类型扩展方法(13- - - - - -16],它近似的麻绳或其逆估计一个过滤器的某种正常操作符的一个应用程序迁移的图像或其他测试图像。在以前的工作在单个参数反演,第二作者指出,黑森的伪微分性质,可以,非常简单,和提供精确的近似,反射率下降是独一无二的每个成像位置(16]。我们的单个参数反演方法没有假设的独特性(附录B带着这个想法进一步;它类似于被Guilton [15),但有不同的限制滤波器结构出于上述引用的正常伪微分算子理论。我们的方法的核心是伪微分算子算法(17),一个高效的算法应用所需类型的过滤器,我们回顾在附录一个。一些其他作者探索扩展方法基于其他快速应用程序类似的伪微分算法(18,19]。

注意data-adaptive缩放方法如引用在前款规定的不同必不可少的方式从扩展的一个近似对角线黑森20.,21]。如前所述,Rickett [14],dip-independent扩展不能近似逆黑森一般来说,适当的振幅校正(从迁移图像反演)取决于倾斜。另一方面,这些方法也不同于所谓的基尔霍夫广义拉东变换或Ray-Born反演(例如,22- - - - - -25):都是渐近近似(隐式或显式)正常算子作为伪微分算子,但广义拉东变换反演涉及明确的几何光学计算,同时扩展方法不。迁移反褶积方法(26]也近似的麻绳,或其逆,但以类似的方式不同于扩展方法:迁移反褶积过滤器是由近似(分层)格林函数计算,而不是data-adaptive配件的先天的有限的过滤器类。一些作者探索建筑的局部滤波器表示黑森或逆黑森格林函数的使用更一般的类27,28];再次,扩展方法不需要预先计算格林函数的数据库。

长期以来被公认的抵消(或散射角)依赖一个反射器反射事件编码材料参数的变化。近似这个关系出于分析分层介质的反射和传输(Zoeppritz方程和线性化,29日,30.])导致amplitude-versus-offset (AVO)分析技术(31日]。为一个或多个材料参数线性化反演可能被视为一种定量,也就是说,AVO反演,通过迭代线性系统动力学(攻击32- - - - - -34]。赫曼(18)使用单个参数反演的方法类似于我们的前提为更快的收敛迭代反演;我们想象一个类似的利用我们的技术。注意,迁移反褶积也被用作一个援助定量分(35]。正如前面提到的,迁移反褶积依赖分层建模获得近似的格林函数。伪微分比例在其他方面是有限的但不需要波动力学建模用于构造近似黑森接近的分层媒体(不需要建设和格林函数)。

几项研究已经分析了空调,或多参数反演误差传播特性,(34,36- - - - - -38]。我们不会讨论这个重要的问题除了特点调节行为将在我们的例子:从表面数据线性声学反演、速度或阻抗比密度扰动扰动都在明显改善解决。

我们只使用合成工作报告中的数据和相当简单的合成数据。事实上,很少发表反演的例子(在噪声数据的感觉适合)exploration-scale数据(39- - - - - -41),强烈建议线性化的成功多参数反演反问题的其他方面:敏感源脉冲和辐射模式估计,背景场近似,对物理建模准确(包括弹性、衰减等),并非常小心数据预处理。在这项工作中,我们选择来避免这些问题,只关注数学/计算多参数反演问题,给出模型一致的数据。

2。理论和方法

回想一下,这篇文章的目的是解决正规方程 对一个模型向量组成的组件材料参数摄动的领域。迁移输出是一个向量相同类型的模型,也就是说,一个向量的组件,我们将称之为图像,因为他们通常包含视觉反射镜的证据。

因为正常的操作符的输入和输出组成向量的材料参数字段,它是自然的代表作为一个分块矩阵的运算符材料参数的映射字段的类型这些类型的。因为材料参数字段是积极的,可以使用相对扰动参数化模型(因此,例如),,和它的块是无量纲。我们选择不nondimensionalize问题如下所描述的技术是自动产生的结果以适当的单位。

海赛可能被视为一个矩阵的空间不同的过滤器。滤波器系数定义组件过滤取决于两个空间的位置和wavevector k, 在这表示的空间傅里叶变换th模型组件。表示由定义的算子矩阵通过滤波器系数(4)。

在某些情况下,空间的正常操作符是一个矩阵不同过滤器的一种特殊类型,称为伪微分,下面描述。由Beylkin [1和拉克什2)建立了第一个这种类型的结果,由诺兰系统扩展和•赛姆思4),十Kroode et al。6],De箍和Bleistein [5],Stolk [42),Stolk和De箍43和其他人。我们总结了理论如下:伪微分算子的黑森很近似(我)背景模型的材料参数变化平稳的波长(因为理论是渐近的频率,技术假设是光滑的,也就是说,无限可微,但这里的现实意义是表示);(2)潜水波浪能源数据中不存在或平淡或dip-filtered;(3)数据已经被极化成传播阶段组件。

这些条件可能是必要的:背景模型中的主要反射镜或不极化多相数据导致麻布产生物质反射图像在某些距离他们的来源,因此不能由他们的近似值,near-diagonal行为。因为伪微分运营商几乎是本地的,在某种意义上,精确的下面,麻布生产主要反射变化不能近似。对于这个问题,没有near-diagonal近似黑森可以准确的在这种情况下,这些限制似乎同样适用于所有扩展方法。

伪微分算子是区别于其他类型的空间不同过滤器通过强大的限制滤波器系数必须表现出波数的多项式增长,因为。更准确地说,要求一个真正的存在的混合偏导数长像作为: 也就是说,长像对于大型,每一个混合偏导数减少的订单增长的订单导数。也需要空间衍生品并不会增加订单的增长系数,我们不会确切地写下这额外的约束,他感兴趣的读者泰勒(10为一个更完整的帐户。

条件(5还描述了多项式的生长行为滤波器系数的微分算子。其他的功能举例来说,本身,也满足这些条件,所以过滤器所描述的类型(5)一般比微分算子。这些因素导致“伪微分算子”这个名字被用于这种类型的过滤器。事实上,它可以近似任何伪微分算子任意组合的微分算子和拉普拉斯算子的力量(即。,一个过滤器的形式)。从这个意义上讲,伪微分运营商几乎是本地的,也就是说,对角线。

按照惯例,滤波器系数服从这里描述的增长规则被称为符号,我们将使用这个术语来区分这些特殊滤波器系数从一般的傅里叶表示过滤器。数量计算的约束(5)是订单运营商;它决定了运营商的应用程度变化的增长(或衰减)在傅里叶域中,对于大型波数。注意顺序是包容,而不是精确的:如果一个操作符,它是对于任何。然而,秩序并区分伪微分算子对振动数据的大小影响,同样是微分算子的情况。工作引用本节开始时显示的顺序黑森取决于模型的维度和炮检几何学。例如,对于恒定密度在2 d音响,订单1;3 d和全系列(例如,),另,订单是2。

方程(5)是一个非常严格的约束空间的伪微分类的结构不同的过滤器,所以它不应该是一个意外,这样的过滤器的行为也非常有限。非常重要的续集的组成性质:如果是(伪微分算子矩阵)的订单,是另一个订单,然后(1)产品(换句话说,组成)又是一个伪微分算子的秩序,产品不同于产品的象征的符号秩序的象征;(2)因此,如果(标量运算符)、换向器的订单。

也就是说,主要波数订购,产品的伪微分运营商相乘得到的仅仅是他们的符号,和标量运算符。这些属性挑出伪微分算子在一般空间不同的过滤器。证明这些和其他关于伪微分算子的事实可能会发现在泰勒10例如,]。

上面引用的理论中还显示,正常操作符是“部分可逆的”,也就是说,每一点在地下,黑森尺度空间傅里叶组件与一定范围的下降积极的的倍数。它遵循从点(2)高于操作员的正常操作符的符号的倒数,这个范围的下降,并简单地与合适的圆锥形外设置为0这个范围将函数作为近似逆黑森。这个建筑给单个参数的近似反演逆黑森(例如,恒定密度声学),说明了这些特殊的过滤器的效用,并在附录简要解释B详细,在11,12]。

多参数矩阵黑森散射结果,混合各种参数之间的影响。在某些情况下,黑森矩阵的伪微分运算符。例如,黑森声散射或极化弹性散射()这个属性。声波散射只有一个(波)阶段,所以它有这个属性(44弹性散射一样),用适当的极化数据(43]。之间的密切关系矩阵的符号和正常操作它重新定义了允许我们通过符号计算计算近似逆。

为此,召回的定义伴随或古典伴随的矩阵一个,用:它的转置矩阵的代数余子式的。明确地, 在这一小是获得通过滴th行和列。的代数余子式的右边数(6)。在我们的例子中,代数余子式的转置矩阵可能被忽略,矩阵因此其共轭对称(自黑森是对称的)。

伴随的意义是:当矩阵是可逆的,那么伴随逆,成正比 这个关系是克莱姆法则,是关键的观察导致我们的近似方法。请注意, 在哪里是单位矩阵。如果我们定义的伴随是(即。,the matrix pseudodifferential operator with symbol matrix符号),轻微的虐待,然后伪微分算子的乘法指令属性上面描述的暗示 上面的方程特性的另一个滥用符号,。的力量(8)时显示应用于(3) 方程(10)降低了反转两个步骤:(i)的应用,紧随其后的是(2)反演的标量运算符之后,伴随的应用。

还请注意,虽然可能是在尺寸上异构,redimensionalized所有组件,他们的单位都承担相同的关系单位的组成部分。反转会删除这个公共单位因素和正确dimensionalizes模型估计。

反演的,我们求助于一个类似我们之前开发的方法(在附录B)。第一次申请再次正常操作符的左边(10),形成 在这里,我们使用这一事实标量伪微分算子大约与伪微分算子矩阵通勤上下班和。

方程(11)展示了如何找到一个伪微分近似逆来通过最小化目标函数,所有部件容易可计算的 在一个合适的类伪微分算子。从(9),一个解决方案大约会转化,因为是标量是多少。自从左边的删除(10)一个标量过滤器,它扮演类似的角色扩展因素中遇到各种方法在介绍中提到的,所以我们也会参考作为一个比例因子,尽管这是一个伪微分算子。

读者会记得只是部分可逆的一系列模型wavevectors吗,符号行列式渐近的积极的多吗和较低的权力之外的“照亮”锥模型的波数。附录的方法解释B构造作为一个近似的倒数的象征明亮的波数锥,锥形为零外锥。

该算法在附录解释道B是迭代的,需要至少一个应用程序审判的比例因子在每一个迭代。一种有效的数值方法应用程序所需的伪微分运营商因此;我们用一种算法引入的包和•赛姆思17),我们回顾在附录一个。

在构造,我们正规方程的近似解

方程(12)和(13)表明,伴随动作的计算是这种方法的关键,所以我们更仔细地检查它。我们将解决两个参数情况下(显式),为灵感,因为这种情况下,我们现在例子在下一节。写作 是 似乎有必要计算的各种组件另外:例如,如果底层理论是声散射可能代表输入和输出密度扰动,等等,所以,每个似乎需要一个完整的建模/迁移周期。

事实上,它可以计算使用只有的应用,从而减少应用程序的成本和消除需要编写特殊组件迁移代码。在情况下,只有一个应用程序是必需的!事实上, 在这里,是所谓的辛矩阵, 注意单位是隐式地改变(如在共轭算子)的应用,在实践中,据推测,离散表示的两个参数是相同的,因此,例如,密度可以交换速度,反之亦然。

方程(16伴随的)意味着应用程序迁移后的图像需要一个应用程序,而不是四个,一个天真的实施建议。因此,近似逆需要两个应用程序的正常操作符,加上少量的额外的数据操作。

情况要复杂得多,但类似的结果:可以计算的应用伴随使用5应用程序的正常操作,24,天真的相当大的改进算法的基础上,定义(6)似乎需要;注意,独立应用程序的每个组件通过波动方程方法是应用程序一样昂贵的整个操作符。看到Nammour [38详情)。我们猜想,一个类似的大幅减少是可能的。

最后需要注意的一点是,我们可以明确的方程的意义(9)是一个近似,而方程(8)是准确的。表示两个运营商的换向器, 伪微分算子理论表明,两个伪微分算子的换向器的低阶比他们组成,也就是说,相对可以忽略高度振荡输入字段。使用意思是“低阶不同的错误”,

3所示。数值例子:声学密度分层变量

作为第一个应用程序的两个参数反演,我们构造一个变量密度组成的声学模型摄动薄振荡速度层和一层薄薄的振荡密度层在不同的地方(见图1和2)。背景模型是均匀的和。两个薄层作为扰动。

我们这个模型模拟反射数据使用IWAVE软件开发的大米在线性化反演项目(出生)建模模式(45]。模型扩展深度约1.7公里和6.5公里的水平。一个源放在中间,和接收器布局创建一个偏移量范围(−2.7公里,2.7公里),间隔为20米和40 m(吸收)表面以下。各向同性点源小波是2.5 - 5-15-20 Hz梯形零相位带通滤波器。3秒的数据记录在151接收机的位置。边界条件是吸收各方的领域,特别是自由表面效应没有建模。由于模型是分层的,只有单一来源收集需要建模。

(逆时间)迁移也进行IWAVE [46]。输出是一个分层的模型(即。,two depth traces, one for each velocity and density perturbations), which we shall display as layered fields.

迁移的出生数据显示了如何迁移混合的影响两个模型的两个组件迁移后的图像(图3)。我们将参考图像作为迁移和保持一致与我们的符号迁移的矢量图片在哪里。这个例子中,尽管简单,强调多参数反演的一个新的挑战。对于一个参数反演,事件在迁移后的图像与事件的真实模型。迁移后的图像在多参数反演中,事件可能对应于一个事件在一个或多个组件的模型。它几乎是不可能告诉这些迁移图像对应于一个模型与独立的事件没有成功反演速度和密度。

采用上述方案,我们的形式 结果如图4并显示一个应用程序的正常算子有效地分离速度和密度的贡献的事件。尚的振幅校正效果近似成反比。为达此目的,我们需要的形式,如图5。

最后一步纠正的振幅被取消的影响,产生一个近似逆。这最后一步补充我们之前得到的分离振幅校正图6表明,近似逆优于真实的模型。一个有趣的观察结果是速度比密度模型:模型更好的恢复速度的跟踪事件密度模型更明显比密度事件的速度模型。这个观察是按照理论的复苏速度在变密度声学条件比密度的复苏。倒的反转成功成功拟合模型的目标数据(见图7)。

4所示。讨论和结论

我们提出一个方法来近似的解决多参数线性反问题的扩展矩阵的伪微分算子的克莱姆法则。该方法包括两个步骤:(1)减少了多参数问题一个一个参数的问题,产生一个幅度扩展的解决方案;(2)纠正结果的振幅从上一步近似的解决方案。

工作流程的应用声学密度分层变量的例子显示了不同的材料参数的影响,难以在迁移后的图像,分离的第一步。振幅校正步骤成功地产生一个线性逆问题的近似解。

上述工作流程应用而无需修改任何模型。结果的应用程序模型更复杂的比上面描述的分层模型将在别处。我们指出,地震数据生成的物理的其他方面需要适应如果这(或任何其他)算法从野外数据提取准确的结果。例如,如图所示已被明柯夫和•赛姆思(39),即使在玻恩近似充足,源的辐射模式有一个一阶角与振幅的变化的影响,因此必须包含在参数估计。

我们已经延长了伪微分算子算法(附录一个)三维空间(三维),允许对3 d模型近似反演。符号由截球函数表示的扩张。配方的方法在这种情况下仍然保持不变,尽管建模和迁移的成本增加。这个扩展方法的详细描述,并给出例子Nammour [38]。

显式推导相似更多的参数(即)类似于这里介绍的但需要冗长的代数运算。这个案子成为相关线性逆问题的线性弹性,为例。6应用程序正常操作符的要求近似线性化的解决逆问题。看到Nammour [38详细讨论)。

我们提醒读者,这里追求近似反演的方法依赖于黑森的伪微分特征的有效性。如前所述在理论部分,两三个条件(背景模型光滑的波长范围,极化数据)是必不可少的任何near-diagonal黑森近似,适应与否,是有效的。这些限制可能在一些探索设置是可以接受的,例如,海洋数据反演supersalt用软海底沉积物属性,但是可能严重阻碍这种类型的技术在其他设置。

附录

答:伪微分算子算法

包和•赛姆思17)提出了一个算法数值应用伪微分算子,我们使用代表比例因子在(12)。在本节我们将讨论该算法核心方法的可行性。

这个讨论是局限于二维,所以我们可以写。回想一下,一个伪微分算子的特点是它的符号和定义的 在哪里是校长的象征,均匀程度,的傅里叶变换。

因此,写作,和使用的同质性,我们有

请注意,定期和平滑在吗,因此它承认傅里叶扩张迅速收敛。我们因此截断傅里叶级数,近似的象征傅里叶模式, 堵塞(a .)(. 1),我们得到

傅里叶变换理论识别的象征,和的符号分别是和。

采样现场和象征,

选择和收益率的unaliased离散的平方根的象征-拉普拉斯算子,和

方程(各)显示下面的算法来估计(17]。傅里叶变换是指离散傅里叶变换。 计算。 为每一个和,计算离散傅里叶变换。 初始化,因为,,因为(一)计算((]和,(b)积累结束

一个简单的离散化(. 1)的计算复杂度。上述算法使用FFT(快速傅里叶变换),并因此展品的复杂性。这种方法的吸引力是独立于。事实上,应用反射地震学要求光滑和慢变的象征,因此,可以准确地捕获中等数量的傅里叶模式,或者更明确,一个小。

角的依赖蘸捕获变量,该方法允许我们捕获多个事件增加。

b单参数的情况下

在本附录中,我们审查的方法开发的(11,12)在单参数构造一个近似逆黑森。其目的是解决 在哪里。我们寻求一个伪微分比例因子和制定其恢复作为一个优化问题。考虑到迁移的形象_米格和重新移植形象, 比例因子选择一个类的伪微分算子代表数值使用PsiDO算法(附录一个)。在此设置中,比例因子接近正常操作符的逆的作用在迁移后的图像。更具体地说, 第一个方程表达真正的解决方案第二近似遵循平等,因为伪微分算子大约通勤。定义因此收益率近似真实的模型。方程(B.3)表明,比例因子近似逆的作用在正常操作符在迁移后的形象,只有在这个意义上接近。

比例因子PsiDO表示明确的算法,

我们执行的连续性使用一个吝啬的基础技术。让是一组光滑形状函数(例如,立方b样)。写 代入目标函数, 我们已经用目标函数(B.2),使用的图像和在离散网格,显式地写出规范。

我们使用有限内存bfg (lBFGS)最小化目标函数(B.2),它需要用户提供的梯度。梯度很容易得到 我们也探索了比例因子明确执行的积极性和其他问题的对称性,收益率略微不同的表征的比例因子和不同目标函数梯度反过来。为更多的细节在这一点上,讨论该方法的能力解决多个倾斜事件请咨询(12]。

确认

这项工作是由美国国家科学基金会支持部分在格兰特DMS 0620821,和赞助商的水稻转化项目。作者感谢匿名审稿人,客座编辑Sergey Fomel深思熟虑的批评。