文摘
三维波动方程偏移技术仍相当昂贵,因为巨大的矩阵,需要倒。几个技术,提出了降低这个成本将完整的三维问题转化为一个二维序列问题。我们比较分裂技术的性能稳定的三维傅里叶有限差分(FFD)迁移技术的图像质量和计算成本。FFD方法是复杂Pade FFD FFD +插值,和分割技术相比是两个,四分裂以及交替四分裂,也就是说,在一个深度分裂成坐标方向和对角线方向在未来深度的水平。从齐次和非齐次媒体中的数值的例子,我们得出这样的结论:虽然理论上不准确,交替四分裂产量可比的结果质量完整四分裂为代价的双向分裂。
1。介绍
因为它的优势地区复杂的地质、波动方程偏移是用基尔霍夫在实践中迁移。然而,尽管基尔霍夫迁移数超过30年的技术发展,波动方程偏移方法在各个方面仍然需要改进。这些方面之一是有效的实现三维波动方程偏移。
三维波动方程偏移技术的应用增加了问题的计算成本的选择迁移算法的稳定性和精度。加快迁移技术有限差分(FD) [1傅里叶有限差分(FFD)迁移[]或2),一种称为分裂的技术是常用的。在这种背景下,分裂意味着单步3 d迁移的分离成两个2 d内通过飞机水平坐标轴平行,通常内联和穿越管线方向(3]。
分裂时应用于隐式FD迁移算子的方式得到的方程解决交替内联和单行标题的方向,由此产生的FD方案被称为alternating-direction-implicit (ADI)计划。这种方法的缺点是不正确的强烈浸渍反射,导致大定位错误这种类型的反射镜倾斜方向时远离坐标方向,因此外迁移的飞机。这种不精确会导致数值各向异性,即迁移算子,可以在不同的方向完全不同。
改善这种行为,同时保留,而计算成本低的优势,提出了不同的程序。里斯托([4],参见[5])提议的执行,除了2 d坐标平面的迁移,还2 d在坐标轴之间的对角线方向迁移。Kitchenside [6)使用相移偏移加上一个额外的FD剩余磁场的传播步骤减少分割错误。坟墓,克莱顿7]提出的实现相位校正算子使用FD和合并一个阻尼函数来保证稳定的3 d FD移民计划。
反相的想法Kitchenside [6),传播领域使用相移和剩余使用FD,李(8]提出了使用传统FD迁移+剩余场校正由相移改善迁移后的图像质量。没有任何需要修改传统的3 d FD迁移,李修正添加一个向下的推断相移滤波器在某些步骤。这种技术不仅纠正了分裂的错误也急倾斜反射镜的定位误差。
Collino和乔利9解决一个家庭的新的3 d ADI的单程波方程的方法。这些方程显著降低数值各向异性,但大约四倍昂贵的传统双向分裂。王(10)开发了一个替代方法来改善FD单程波方程的解的精度。保证稳定和效率,他不断的交替隐式FD计划和方向,但篡改ADI解决方案和波场之间的每一步之前推断。他称结果ADI方法+插值(ADIPI)。作为一个缺点,这ADIPI可以产生不稳定的强烈的横向速度变化。
周和McMechan [11)提出了一个单程波方程可以表示为一个一阶和二阶的微分方程组(12)和分解为两个一维的乘积项对应于外侧方向(7,13]。最大的资产的方法是传统的FD推断可以用很少的修改。通过这种方式,传统的分割的效率,不保留添加任何误差补偿的必要性。然而,强烈的横向速度对比的方法也是不稳定的,需要相当沉重的模型平滑。
他满(14]表明FFD移民比其他方法更精确,使用隐式有限差分像pseudoscreen繁殖专家(15)和高纬度屏幕繁殖专家(16]。鉴于这三种方法的计算复杂度是大约相同,FFD迁移比其他人更有吸引力。不幸的是,当传统的FFD迁移应用于强劲的速度对比的存在,它也可以生成数值不稳定。
克服不稳定的问题模型,并有很强的横向速度对比,他满(14)提出了一个修正的FFD方法避免稳定性问题。为了得到它,他适应的理论Godfrey et al。17和布朗18),提高了稳定性方程。修正后的FFD方法是无条件稳定的任意速度变化,尽可能多的速度模型的参考速度。特别是,不同与传统的FFD迁移,它是无条件稳定的,即使参考速度小于模型速度。这个新属性允许应用程序的插值技术,通常用于提高相移和分步迁移19在FFD迁移),但不可能的,因为它需要更大的和小的参考速度传播。由此产生的迁移技术称为FFD +插值,或FFDPI不久。
另一个计算便宜的方法来稳定FFD迁移存在强烈的横向速度对比提出了亚马孙et al。20.]。它代替真实Pade逼近(21)用于推导FFD迁移(2)通过其复杂的版本(22]。这样,附近的不正确的治疗水平和略显隐失波真正Pade逼近是改善,导致一个更稳定的FFD算法,称为复杂不久Pade FFD (CPFFD)迁移。
在这项工作中,我们研究的可能性有效地实现这些稳定在3 d FFD迁移技术。我们实现了和FFDPI分裂技术相比14]和CPFFD [20.)迁移。数值测试表明一个非常健壮、高效、满意地,正确的方法是替代四分裂,也就是说,分裂成坐标方向外推一步,进入下一步的对角线方向。
2。理论背景
2.1。单程波方程
单程波方程(23)可以从标量波动方程,这为均匀介质是由 在哪里标量波场和吗是空间不同波速。速度适度不同媒体,金融衍生品可以是被忽视的,傅里叶变换在时间和水平坐标和允许代表(1), 方程(2)可以映像 两个微分运营商(3)表示,当独自一人,单程波方程描述,下行波。移民,感兴趣的单程波方程是描述下行波,也就是说, 傅里叶反变换在水平波数和收益率那么正式 实际的限制,适用于(5)在非齐次媒体比上面的推导表明更严重。当然,对于正式的表示(5)实际意义,的平方根微分算子需要近似的数值可执行的操作。
2.2。扩张的平方根
本次会议的可能性的近似根的单程波方程(5)数值可执行的操作是一个扩张成一个Pade系列(21]: Pade系数在哪里吗
这个近似用于最实用的FD迁移方案。根据不同的数量术语的扩张,这就产生了所谓“,,或迁移。
然而,当利息是非常高的传播角度准确成像,近似(6)有一个缺点,因为它的有效性是有限的。为突然,近似分解,因为左侧(6)是虚构的,而右边是真实的。因此,对于传播角度接近,论点(6)成为接近−1,(6)变得无效,导致不稳定当使用真正的近似(6)模型具有较强的横向迁移的速度对比。
为了克服这个问题,Milinazzo et al。22]提出旋转复平面的分支切割之前Pade逼近中的应用。表示的旋转角度平方根的表示 后扩张成一个Pade系列根据(6),收益率 的复杂Pade系数在哪里 注意,在(11),是一种近似。这个近似得到更好的条件用于之和。然而,对于有限数量的条件,这个近似总是不完美的。因此,它是直接使用更实用。我们将使用这个值在接下来的派生。
2.3。傅里叶有限差分偏移
复杂的Pade逼近(9)允许更稳定的实现不仅FD FFD迁移(20.]。三维复杂的推导Pade FFD (CPFFD)迁移非常类似于最初的推导里斯托和鲁尔(2]。它开始从根号的区别(5)和相应的速度已经取代了一个恒定的参考速度,即 扩大两根(12根据()在复杂Pade系列9),我们发现 我们使用了符号在哪里
加入两个系列,扩大分数成泰勒级数,分组平等的权力导致的条款 自 这个表达式是二阶,相当于Pade的泰勒级数展开的表达形式 在哪里。
使用这种近似,单程波方程(5)可以表示为 这是复杂Pade相当于标准FFD迁移(2]。
如上所述,理论的价值从这个扩张。然而,二维数值实验的亚马孙et al。20.)表明,其他表达式能产生更好的结果。他们指出,对于小的对比,高保真高传播角度,他们建议。
2.4。实现
解决(18),我们单独成一组微分方程。前两个条件方程 分析解决方案的 其余的(18)从Pade系列是由微分方程表示:
这些微分方程离散化使用Crank-Nicolson FD计划,我们获得 在哪里。方程(22)意味着以下需要解决隐式方程: 我们仍然需要离散化的衍生品在水平坐标,即取代微分算子由其差分算子 的矩阵和代表不同运营商的二阶导数和。为简单起见,我们选择二阶差分运营商,也就是说, 为和与和表示网格点的数量和的方向。由此产生的差分方程等价的微分方程(21)读 在哪里是单位矩阵和矩阵元素形成的吗在一个固定的深度的水平。此外,复杂的矩阵元素吗 与,,,表示矩阵代替时获得的通过在(27)。
2.5。双向分裂
称为双向分割的技术,也称为alternating-directions-implicit (ADI)方法(13,24,25),一个替代品(26由其形式近似的映像) 这个方程的优势是在两个2 d步骤可以解决的。假设逆算子,,通勤与运营商方程(28)可以写成 的中间值,定义为 可以找到解决系统 分割的优点是计算成本。的数值解(26)需要大小的系统的解决方案级联的解决方案(31日)和(29日)要求的解决方案系统的大小,紧随其后的是系统的大小。由于所有这些系统都是三对角,有非常有效的方法来解决这些问题,使分裂技术数量级的速度比原来的3 d系统的解决方案。
另一方面,这种方法也有缺点。最大的一个是数值的引入各向异性传播的波场,因为数值之间的方位角误差随传播方向和坐标方向。这降低了迁移图像,引入陡峭倾斜反射镜的定位错误。
2.6。分裂的方向
为了克服数值各向异性的问题,里斯托和鲁尔(5)提出了推广技术分成两个以上的方向。这个想法是为了近似序列的3 d平方根算子2 d运营商不同的方向。在实践中,大多数使用依赖三个,四个或六个方向避免对称问题。这些2 d的未知系数运营商从泰勒级数扩张或优化技术。
多路分裂形成2 d Pade运营商给出的复杂Pade扩张的平方根算子(5为多个方向): 在哪里是方向。此外,微分算子分裂的方向,也就是说,,(,)的方位旋转方向。
有两种方法获得的未知系数和在(32)。一种方法是,上面详细完整的3 d的情况下,通过泰勒级数展开的分数和比较结果与直接泰勒级数展开的平方根。或者,在实践中,最常见的优化技术是用来发现最小化最优系数数值在一定范围的各向异性介质速度和一个给定的参考速度范围内传播感兴趣的角度。
在传统的实现多路分割,运营商(32)是应用于序列在一个深度水平之前下一个。在本文中,我们应用微分算子和为和,即衍生品的和方向,在一个深度的水平,和运营商的应用和为和,即衍生品在对角线方向,到下一个深度的水平。通过这种方式,我们模拟四分裂,但与传统几乎相同的成本双向分裂。
2.7。稳定的FFD迁移和FFDPI迁移
我们比较的结果CPFFD迁移到另一个稳定的FFD迁移技术,FFDPI迁移(14]。它是基于修正的FFD方法避免稳定性问题。推导,他满14从真正的版本(18)。在我们的符号,他重写的最后一部分运营商内部的总和 这表示符对应的微分方程 这种形式的微分方程可以稳定地实现产品的实现作为一个对称矩阵乘积,在那里是一个对角矩阵,它包含的值的平方根。其余的因素也可以表示为一个产品一个对角矩阵。
在3 d,双向分裂后,由系统生成的差分方程近似 在哪里和对角矩阵的元素 此外,矩阵和是由 在哪里和对角矩阵的元素 和是由 根据他满14)之间的等效原微分方程及其离散化是保证稳定,至关重要是恒定的深度水平正在考虑,参考速度是大于或小于所有速度模型在当前深度的水平。
他满(14)证明该implementational校正稳定FFD迁移,即使在强烈的横向速度对比和参考速度大于介质速度。这样,这个版本的FFD方法具有必要的特征被利用的主要部分精确和高效的大倾角波动方程偏移方法。达到所需的精度,可以插入波场之间获得一套足够致密的参考速度。从理论上讲,这允许获得高精度速度增加的数量参考。这个FFDPI方法类似于PSPI的结构(19和扩展的分步方法26]。
3所示。数值实验
3.1。测试在均匀介质
研究数值各向异性FFD迁移算子分裂后,我们计算脉冲响应为零炮检距均匀介质中迁移速度2.5公里/秒。源脉冲是一个雷克子波中心频率25赫兹,其中心位置的到达时间1.12秒。迁移网格是m,m。我们所有的示例使用一个复杂的Pade FFD迁移的实现与3项系列。
顶部的一部分数据1(一)- - - - - -1 (d)显示一个垂直和三个水平穿过参考脉冲响应,获得使用真正的媒介与相移偏移速度。在高振幅衰减传播角度是由源实现,没有使用Wapenaar的振幅校正(27]。图中的红线1(一)表示事件的真正的理论位置,由半圈,在那里事件的观察时间的数据,这0.56秒,然后呢源的位置,这里的中心形象,也就是说,m。这条线的非圆形外观是由于过度纵轴。为了更好的比较,我们将所有其他的脉冲响应低于以同样的方式。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(我)
(j)
(k)
(左)
数据1 (e)- - - - - -1 (h)显示相应的脉冲响应的复杂的四个削减Pade FFD迁移使用传统的双向分裂。在这里,参考速度的值被选为米/秒,。我们观察到脉冲响应的保存完好的圆形最深的水平降低(图1(我)),也就是说,传播方向接近于垂直轴。然而,浅,主要是削减中等水平揭示可见变形,表明质量更高的传播角度的损失。还要注意振幅损失坐标轴的方向中可见浅和削减中等水平。在垂直切(1(一)从圆形),只有轻微的变形是可见的,这是由于削减在坐标平面内,最小的错误。振幅高传播损失的角度反映了三届Pade逼近的质量。注意,观察到的行为将在媒体强调,并有很强的横向变化,更小的值将会发生。
数据1(我)- - - - - -1(左)显示FFD迁移使用传统的脉冲响应四分裂。圆形的脉冲响应应用程序很好地恢复了两个额外的微分算子的对角线方向。同时,振幅损失坐标方向不再是可见的。注意,这张图片有两倍的计算成本的一个中心。
数据2(一个)- - - - - -2 (d)使用交替显示CPFFD迁移的脉冲响应四分裂,即双向分割在坐标方向深度水平和对角线方向的下一个深度的水平。很难发现任何差异的结果完成四分裂(数字1(我)- - - - - -1(左))。操作员的圆形格式几乎是完美的,甚至轻微的振幅沿坐标轴损失恢复因为是完成四分裂。注意,这张图片有相同的计算成本的获得与传统双向分裂(数字1 (e)- - - - - -1 (h))。
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(d)
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(f)
(g)
(h)
(我)
(j)
(k)
(左)
数据2 (e)- - - - - -2 (h)显示了FFDPI迁移使用传统的脉冲响应双向分裂,与波场之间的插值获得和。我们选择这些值以反映事实,FFDPI,一般参考速度接近中等速度可用于插值。我们观察一个好的圆形的保护,特别是在水平削减。在垂直切割,我们注意到,波前稍微落后一点真正的位置,开始已经在相当低的传播角度。高的振幅衰减传播角度降低FFD相比,可能是因为参考速度更接近中等速度比先前的例子。最后,最浅的削减展览一些数值色散,造成扭曲的脉冲波形。
数据2(我)- - - - - -2(左)使用交替显示FFDPI迁移的脉冲响应四分裂,与波场之间的插值获得和。几乎没有改进传统双向分割结果(中心)是可见的。
3.2。测试在一个非均匀介质
一个更实际的测试不同的分割技术的FFD迁移,我们计算零炮检距渴望/凹陷盐模型的脉冲响应。在这里,我们使用的地震脉冲的中心模型,描述了中央15赫兹的频率的雷克子波,脱臼了年代,迁移网格m。从反射,避免虚假的事件我们正规化模型使用中值滤波器。这是必要的,因为渴望/凹陷盐模型使用虚高速度值来定义反射镜。
我们代表结果削减垂直平行- - - - - -飞机在公里,公里,平行- - - - - -飞机在公里,公里,深度以及水平削减米,公里,公里,公里。数据3和4显示这些削减通过渴望/凹陷盐模型后过滤。
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
(c)
(d)
数据5和6显示相应的脉冲响应的FFD迁移与双向分裂和数字7和8这些交流四分裂的FFD迁移。这些数据集之间的差异是由于数值各向异性,这并不总是很容易看到。最明显的区别是之间的一个数字6(一)和8(一个)。四分之三的波前的圆形是保存完好的图8明显,而扭曲的图6。也存在类似的扭曲其他图部分。一些事件,特别是在对角线方向,更先进的数字7和8比数据5和6。此外,一些振幅差异是可见的。我们避免呈现完整的四分裂的结果,因为他们看起来几乎相同的数字7和8。
(一)
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(c)
(d)
相比较而言,数据9和10显示FFDPI迁移的脉冲响应与双向分裂。自从他满(理论14]只是制定一项Pade系列,我们的实现。因为FFDPI强烈依赖的参考速度不太远离真实速度模型,这个数值实验需要10参考速度。是一种非常健壮的方法,脉冲响应不受任何不稳定,即使参考速度仍有点远离中等速度。这对更少的参考速度仍是如此,尽管图像质量大大降低。因为需要相当大量的参考速度,FFDPI是一个相当昂贵的方法。在我们的实现中,它使用交替四通FFD的计算时间的三倍。
(一)
(b)
(c)
(d)
(一)
(b)
(c)
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即使对于这个实验10参考速度,我们还看到一些数据的数值色散的影响9和10。此外,结果仍表现出可见的数据差异7和8。因为我们有这个时候没有3 d逆时偏移,很难说哪些结果更好的定位。视觉检查和比较的结果FD迁移(这里没有显示)让我们相信FFD结果更可靠的比FFDPI结果与10参考速度。更准确的结果可以通过参考速度的进一步增加。
4所示。结论
在这篇文章中,我们实现了复杂的3 d版本Pade FFD (CPFFD)和FFD +插值(FFDPI),已被证明是更稳定的强烈的横向速度对比比其他FFD迁移的实现。相比CPFFD迁移,我们有不同的定向方式分裂的影响并比较其结果FFDPI迁移。交替四分裂,应用微分算子在坐标方向深度水平和对角线方向在下次深度层面上,对传统的双向分裂被证明是一种进步几乎没有额外的费用。虽然这个过程是理论上比完成四分割不准确,也就是说,所有的四个方向应用深度的水平,我们的计算结果是相当的质量。扩展交替的分割技术可以被认为像八路分裂,其余方向深度覆盖两个两个地在接下来的两个步骤。
从我们的数值与分裂CPFFD和FFDPI迁移运营商测试,我们得出这样的结论:FFDPI迁移是最健壮的测试方法。甚至只使用双向分割实现,它只显示大量的数值色散,但没有可见的数字各向异性。然而,对于实际应用来说,FFDPI是一个相当昂贵的方法,因为它需要大量的参考速度函数与可接受的精度。因此,更多的经济移民接受的图像质量,交替四分裂的FFD迁移是一个有趣的选择。
一个小问题,应该提到的多路分裂。对角线方向的微分算子可以导致混叠效应,因为这个方向的网格间距的因素大于坐标方向。非对角的方向可能事情进一步复杂化,因为它们需要重新采样。
确认
这项工作是支持的请巴西机构斗篷,FINEP, CNPq,巴西国家石油公司和赞助商波反演技术(智慧)财团。