一种快速恢复磁性粒子成像中LSI特性的分析方法

抽象

线性度和磁性粒子成像（MPI）的移不变性（LSI）特性对于定量医学诊断应用中是重要的性质。的MPI图像方程已理论上显示表现出LSI;然而，在实践中，所需的过滤作用去除第一谐波信息，这破坏了LSI的特性。这丢失的信息可以在不变-space重建方法。可用的恢复算法，其基于的视图（pFOVs）多个部分字段的信号匹配，需要大量的处理时间和先验在成像开始的信息。在本文中，一个快速分析恢复算法恢复的LSI的性能-空间MPI图像，可表示为磁材料离散浓度的图像。该方法利用一维(1D)-space成像内核和图像和丢失的图像方程的特性。该方法不要求pFOVs的重叠，并且其复杂性仅取决于线性方程组的小尺寸系统;因此，它可以减少处理时间。此外，该算法只需要先验其可以在一个成像过程中获得的信息。考虑到不同的颗粒分布，一些仿真中进行，一维和二维成像的结果证明了该方法的有效性。

1.简介

磁粒子成像（MPI）是一种高分辨率的磁纳米粒子空间分布成像方法。该方法由Gleich和Weizenecker提出[1个]利用纳米颗粒对时变磁场的非线性磁化响应，实现快速图像采集。MPI有许多应用，特别是在医学诊断中，如冠状动脉疾病的血流显示、癌症检测等[2个,三]，干细胞跟踪[4个]，和分子成像[5个]。

MPI使用足够幅度的振荡驱动场（激励场）来改变纳米颗粒的磁化，其诱导在接收线圈的电压信号。要启用的信息空间编码，静态磁场梯度，也称为选择场，被用在MPI。此字段包含名为具有零场大小，并且仅位于FFP的颗粒的无场点（FFP）诱导MPI信号在接收线圈[空间位置6个–八]。

在MPI图像重建包括两个主要的方法[9个]。第一种方法是利用系统矩阵的。这种方法，也被称为频率空间重构，采用一个大系统矩阵和要求其反演和一些后处理来处理调理差。该方法具有高的计算负荷，并且需要在系统矩阵成像之前被估计[10个–德意志北方银行]。第二种方法是-space方法，这是由善意等人提出。[13个–15个]。这种方法并不需要矩阵求逆或precharacterization并因此提供用于实时成像的电势的鲁棒重建算法。

线性度和移不变性（LSI）是最医疗诊断系统的重要特征。例如，由于X射线计算机断层摄影（CT）是LSI，组织衰减系数映射的CT图像提供心血管诊断定量管腔直径[16个]。它在理论上已经证明，MPI是LSI系统[17岁]。然而，在实际应用中，为了检测MPI信号，需要利用滤波器去除驱动场信号的基频激励，这是目前MPI技术中不可避免的现象。这种滤波作用还可以在激励频率下去除诱导粒子信号，因此在实际应用中无法获得完整的MPI信号，从而破坏了MPI图像的LSI特性。

要恢复完整的MPI信号，以方便使用的快在定性医疗诊断-space成像的方法，一种算法中提出[16个]并在[18岁]。该方法使用的视图（pFOVs），其主要用于扩大FOV中产生的局部场。结果表明，所丢失的信息可以通过匹配两个连续重叠pFOVs被回收，在一个参考位置是已知的提供的颗粒浓度。虽然该方法提供令人满意的结果，该计算负荷中报道了[19个]是比较高的，这增加了摄影时间，因此这不能用于超快成像。

在本文中，经滤波的MPI图像的效果进行了分析，其中示出了恒定提供其值的FFP的轨迹是由谐波函数产生，其具有在两个一维要满足的属性（1D）和多维成像。假设恒定的图像损失，快速的分析算法，以恢复丢失的信息。该方法可以实时因为其复杂性依赖于线性方程组的小型系统的解决方案，并且不需要pFOVs的重叠。该方法利用了粒子的磁化曲线的导数和的数学模型-太空影像。它还需要先验关于系统，这可以用实验来成像来获得或估计理论上的先验信息。这是相比于以前的作品，这需要的边界条件，在成像开始要获得的建议的方法的另一个优点。几个1D和2D成像模拟被呈现给验证了该算法的有效性。

2.方法

在发达的恢复算法是基于MPI信号的数学模型。在本节中，的信号模型-提出了一种空间方法，并推导了一种滤波激励信号基频后从信号中去除项的模型。然后，提出了一种新的图像恢复算法。

2.1。一维MPI信号的数学模型

在本节中，一维MPI信号的数学模型推导其在使用节2.2建模的-空间重构方法及其LSI特性分析-空间。

当MPI中的激励场是周期性的时，电压信号，由粒子的磁化引起的，是周期性的，以及，因此它可以如下展开成傅立叶级数：哪里是傅里叶系数和与作为激励场的频率。系数可以写成哪里。

中粒子的一维分布- 方向和一个恒定的灵敏度在这个方向上的接收线圈，通过颗粒的随时间变化的磁化的感应电压可以被写成如下[17岁]：哪里表示自由空间的渗透性是粒子磁化，这依赖于磁场。颗粒磁化可以使用朗之万函数来建模如下：哪里是颗粒磁矩，是磁性颗粒的性质，和是具有在MPI图像要被测量的颗粒浓度。根据(三），磁化的时间导数是感兴趣，并且可以被写为另一方面，粒子在MPI中所经历的磁场如下：哪里是选择字段和是激励或驱动场。因此，使用（6个），（5个）可以被写为哪里。现在，使用（三)以及(7个），（2个）可以写为如下：通过定义功能 (八）可以被写为在所谓的系统功能，它实际上是粒子在某一位置的点状分布所产生的感应电压的傅里叶系数。

备注1。集成在该地区（三是“对象”，如果粒子是理想的。，具有阶梯式磁化固化)。当用Langevin函数模拟粒子磁化时，视场与待成像物体略有不同。因此，在剩下的方程中，积分区域被“FOV”所代替。

对于余弦波形均匀谐波传动领域和线性选择场，其中是选择场的在梯度- 方向，它已被显示在[20个]那可通过卷积来编写哪里是阶切比雪夫多项式。现在，替换(德意志北方银行)在(10个），一个具有哪里表示系统功能的理想粒子，其被定义为现在，可以重写了(14个）如下：哪里从（15个)以及(16个），可以得出结论，对应于一个切比雪夫级数的系数（参见，例如，[21岁]），因此可以写成基于切比雪夫系列如下：

在下面的小节中，这个方程被用来描述1D-space重建方法。

2.2。-space成像和LSI特性

在里面-space重建的方法，该图像被定义为在位置，其中表示FFP的位置。可以从感应电压测量通过以下关系[13个]：哪里是的时间导数，即，FFP的速度。的制定通过在卷积（17岁）表明，-空间MPI图像是一种线性和平移不变的图像，其特性是大多数临床成像系统的特征，如超声、CT和磁共振成像（MRI）。然而，要在保留其LSI属性的同时获取MPI图像，需要测量，这在实践中是不可用的。事实上，带阻滤波器实际上是用来隔离从由所述驱动场感应的信号（11个）在接收线圈。该滤波器抑制所述第一谐波信号的在驱动场的频率和叶子上的高次谐波的信号。

根据(13个)以及(18岁），经滤波的第一谐波可以写为[16个] 其是在图像中的恒定值。应该指出的是，由于为奇实函数的傅里叶系数(由于正弦驱动场，为奇函数），它的值是假想并且因此，根据（20个)，丢失的图像是一个真实的常数值。使用(15个)以及(16个），一个可写（20个）如下：这表明丢失的值而变化时由于被移位到速度项，因此其在不同位置处的包络类似于正弦激励图案（注意)。这意味着丢失的值是在FOV的中心最大和最小在其边缘处。在接下来的小节，这个常数损失的影响进行了分析，并提出了补偿算法。

2.3条。大规模集成电路分析

根据定义，当图像强度与粒子浓度成线性关系时，MPI图像是线性的；当图像强度与粒子位置无关时，MPI图像是平移不变的。关于丢失图像的表达(21岁），并且所述图像损失取决于颗粒的位置这一事实，可以确认，丢失的信息破坏MPI图像的LSI性能[16个]。

以可视化的上述现象，考虑图1个这说明一组位于与浓度FOV的不同位置的磁性纳米粒子的-space MPI图像。如图所示，同一粒子在不同位置所获得的图像强度最大值存在差异。同样，从图中可以看出，当粒子位于FOV中心时，损失的常数值更大，因为FFP的速度在中心处最大。

2.4。恢复算法

基于上一节中的结果，可以证实的-Space MPI而不首先谐波信息不表现出LSI和，以提供用于定量医用诊断的图像，丢失的常数的图像应该被恢复。的算法中提出[16个,18岁]，其可以通过将FOV机械或电子，成为具有足够的重叠以可靠地匹配连续pFOVs几个pFOVs恢复丢失的图像。此重叠的要求增加了摄像时间，以覆盖整个对象。该算法还需要具有无颗粒，例如，在患者体外的位置的位置的图像。尽管该方法完全恢复丢失的图像，它的计算负载可能是禁止用于快速和实时应用。

如果FOV包括零粒子区域（前一算法的参考位置），找到丢失的图像是一个简单的任务。例如，在图的MPI图像1个，FOV至少有一条边，在该边上没有粒子。因此，在这些情况下，找到图像的全局最小值就足以完全恢复丢失的图像（见图2个例如）。然而，这种方法通常无法完全恢复丢失的图像。例如，对于图中所示的粒子集八中，只有一个部分图像损失可以通过使用这种方法来补偿。

本文提出的方法是一种基于模型的补偿算法，可以应用于一般情况。该方法不需要连续视场重叠来覆盖目标，因此可以减少成像时间。该方法利用一维点扩散函数（PSF）模型-空间图像（用），其如[注意14个，通过与实验精确匹配，可以在理论上得到。该算法还假设粒子分布可以描述为在FOV中具有已知位置的离散点状粒子的总和。这可以通过对原始图像进行反褶积，并观察信号的局部极大值来确定粒子的位置(一种常见的寻找局部极大值的方法是寻找信号的一阶差分信息;当有平滑信号时，使用现有的基本算法很容易找到粒子，这些算法非常健壮;在仿真结果中，使用MATLAB的“findpeak”命令查找粒子及其位置)。研究了一种MPI信号的反褶积方法。15个]. 所报告的MPI信号的实验结果表明，对于所提出的算法，可以使用一个可接受的噪声水平来粗略地去卷积信号[13个,22个]。此外，该方法需要先验信息，其可以在理论上或从参考图像中获得，具有相同属性如[使用16个]进行初始化。然而，与以往的研究，可以拍摄之前获得此信息。

基于以上解释，下面的假设，除了一般的假设外-space重建[13个]，练得恢复算法的发展中是至关重要的。

假设2。PSF的理论模型提供相匹配的实验之一。

假设3。在应用恢复算法之前，对信号的噪声进行了足够的衰减。

假设4。鲁棒解卷积方法被施加到大致表示MPI信号作为与定位置的离散颗粒的信号的总和。

下面，首先，为FOV中的粒子不太接近的情况开发了一种方法;也就是说，一个集合的像的尾部不影响其他集合的像。然后，针对更一般的情况修改方法。

根据(17岁），对于该组的点状颗粒的图像可被写为其中，下标表示个粒子。此外，它是由明显（21岁)这组粒子（体素）的图像损失与粒子浓度成正比，并且是一个积分项，这取决于和FFP的速度。对于点状粒子，朗之万函数的导数不为零仅在一个小区域，并且因此速度项可被假定为在该区域中（但是恒定的，对于其中PSF不是很窄，这样的情况下假设是有效的达到一定精度）。因此，对于该组与浓度颗粒的丢失的图像位于可以近似为哪里包括在所述常数项（21岁），并且还朗之万函数的导数（其为图像的PSF）的积分。方程（23个）表示的一组颗粒的图像损失是线性正比于粒子的位置的FFP的速度，因此其包络线，在整个FOV，类似于正弦图案。

使用(22个），一个可写（23个）如以下：哪里为在FOV的所有位置的恒定值（PSF的值，，是最大值和常数). 这一数值是后续发展所需要的，可以通过对一组简单粒子的成像从理论上或实验上加以识别，通过求出信号的全局最小值，可以很容易地获得粒子的图像损失。换句话说，如图所示的边界条件2个，类似于先前pFOV方法[16个]，就足以实验测量此值。还应当指出的是，不同于pFOV方法，这种测量只需要一次完成。

基于上述结果，假设-space成像条件被满足时，用于与浓度的颗粒的图像损失位于位置可能与浓度粒子的图像损失有关在位置,如下所示:

由于图片是线性的，它可以被认为是的图像的总和点样在整个成像轴线分布的颗粒[20个]。丢失的图像与因此，也可被认为是与每个粒子集合相关联的图像损失的总和。然后，假设是位于FOV中的粒子组，可以写成另外，对于每个单独的集合，有一个哪里是用于将颗粒测量值由指数指出在位置. 因此，可以证明，对于和的测量值的减法，由下式定义，等于真实图像值中的减法和，分别是；也就是说，它可以从过滤后的图像中测量，基于粒子可以在视场中被识别的假设。现在，使用(24个)以及(25个），一个具有因此，考虑一个初始粒子集，这里用索引表示，可以根据如下：现在，替换(27个)在(30个)，可根据以下可用信息测量图像损失：与

方程（31个）可以应用于情况，其中离散颗粒彼此这样足够远，对于一组图像的尾部不影响其他颗粒的图像。然而，当颗粒彼此接近时，算法应该被修改。下面两个粒子的情况下此问题进行了讨论;但是，它可以很容易地扩展到涉及多个粒子的情况。

考虑粒子和到非常接近彼此;因此，对于这些颗粒，（27个）将如下：哪里表示在位置上的颗粒的图像的效果在粒子的像上。因此，寻找丢失的图像，值和应确定。知道了PSF，这些值的关系由下式给出代替和从（33个），（34个）可以被写为这是一个关于变量的线性方程组和。该系统的解决方案使它们的功能交互项的值。最后，这些术语应该从“读”值减去（28个)以及(31个，总丢失图像可由(31个). 在多粒子多重相互作用的情况下，类似于(35岁，其中方程的个数等于相互作用项的个数。

图像丢失恢复算法总结如下。

图片丢失恢复的1D -空间MPI

要求。1D PSF模型:（一）在初始化扫描，发现通过测量图像信号的全局最小值为一组粒子的图像损失，然后计算在（24个)。该步骤可被省略时的值理论上测量。（二）卷积原始图像找到颗粒，并通过搜索算法及其在FOV位置，然后计算使用(23个）和对于每个组粒子。（3）通过求解线性方程组，例如系统计算上邻居每个粒子组的相互作用的值（35岁)。（4）考虑一组粒子（索引）作为参考集和测量使用所有集合（28个)，考虑到相邻粒子的影响。（5）计算通过图像损失（31个)。

备注5。这应该提到一个重要的注意的是，该算法需要知道窄卷积核（PSF）模型（和它的图像损失的措施）作为可能的，这可以被用于去卷积的MPI信号粗略地表示它作为点状颗粒的离散的总和。显然，当所述信号的噪声水平允许使用更窄的PSF，则在近似的误差（23个）将是更小，并且该算法的总体性能将得到改善。

注6。从理论角度，任何颗粒组可以被认为是初始设定，由索引在（31个). 然而，在实际应用中，如果实现了一个非理想滤波器，初始集可能会影响算法的精度。从FOV中心的中等浓度选择这一组是一个正确的选择。但是，一般来说，最佳选择取决于滤波器的性能，可以从第一次实验的结果（可以看作是校准过程）中确定。

备注7。考虑非理想滤波器的情况下，相同的步骤，在备注6个可以用来衡量?的价值吗；也就是说，一个适当的选择是测量轨道中心的粒子。

备注8。的方法[16个]使用多次扫描的平均值来查找图像丢失，并保证在图像噪声均值为零的情况下，该方法对噪声具有鲁棒性。同样，如果满足这个条件，假设有平滑信号(在假设中引入)三），并且相应的鲁棒性属性，对于所提出的方法可以容易地通过使用多个扫描来实现的。

2.5。评价多维MPI

研究多维MPI之前，值得一提的是，丢失的图像是一维MPI不变的原因是零阶切比雪夫多项式是常数，不依赖于空间位置。另一方面-space图像可以写为切比雪夫系列（18岁)因为系统函数是用切比雪夫多项式表示的。系统函数的这种表示法是余弦（谐波）驱动场的直接影响。这意味着，对于驱动场的其他波形，系统函数不能写成切比雪夫多项式。

基于以上讨论，可以证明多维MPI中的图像丢失通常不是dc值。然而，一种在多维中保持恒定图像损失的方法-space是一幅维图像组合的对象，以生成一个2D / 3D图像。该方法进行了实验研究中[23个，只需要一对驱动线圈和一个接收线圈。

采用上述方法，一维MPI图像的损失是恒定的，可以恢复，但多维MPI的信号方程与一维MPI不同。然后，一个问题是，是否有可能使用提出的恢复算法用于2D/3D MPI。下面通过研究多维MPI信号来研究这个问题。

广义3D-MPI信号由[23个] 哪里和是三维卷积的矩阵PSF(表示为?）与所述颗粒分布。当多维图像从图像1D，它是由检测线圈和驱动线圈的轨迹，则该共线PSF的共线排列重建应该考虑。假设驱动场轨迹在- 方向，一个具有[23个] 与. 假设粒子位于直线上，第二项(37个当驱动场的轨迹是在这条线）会消失。剩余的PSF是相同的1D PSF，其取决于朗之万函数的时间导数，并且被假定为通过所提出的算法是已知的。当轨迹移动时从该线远，所得的PSF不仅取决于该衍生物的朗之万的功能，而且还对函数本身。因此，在用于驱动场不同的空间位置，所述PSF将不再是一样由算法使用的一个。然而，线的PSF类似于高斯曲线，其在线路的窄形状和变得与从该线的距离更宽。数字三图示了在驱动场的不同位置处的点样粒子的共线PSF。

（一个）

（二）

它在很好地研究[22个]，它始终是可能重建的宽高斯状从狭窄的一个，这就是为什么多色成像是不可能的朗之万粒子1D MPI与FFP运动是一个单行的线性叠加曲线。这个属性提供描述一个MPI信号，从线性FFP轨迹获得的基础上，从沿着轨迹线的颗粒的空间分布引起1D MPI图像的线性叠加的可能性。这种分布可以通过一维的反卷积来获得从所获得的信号-space PSF。为了阐明此属性，一个例子是图1所示4个. 在该图中，虚线MPI信号是带阻滤波器的输出，由于中心驱动场的线性轨迹，带阻滤波器由成像区域中心的粒子和边界上可用的大量粒子引起。应该注意，尽管图中的drive字段4个不通过所述大颗粒组，该组还诱导在接收线圈，因为FFP不仅适用于中等水平的选择字段的功率，其通常用来在实践中的小区域的信号。使用去卷积算法，在图中实线示出了基于一维PSF的信号，该信号可以被解释为几个粒子具有相同的PSF的1D MPI图像的叠加的新表示。因此，这种表示属性表明，所提出恢复算法适用于多维MPI。

（一个）

（二）

备注9。具有广泛的PSF，类似于在那里他们彼此靠近，或者在极端情况下，覆盖整个FOV的情况下颗粒的图像，可以被表示为具有窄的PSF的颗粒的图像的总和。实际上，该算法，无论颗粒分布或成像的尺寸，只需将尝试通过表达该信号作为图像的点像颗粒的总和（类似图以找到接收到的信号的电平4个），然后，知道样品组粒子的效果（在（24个）），该算法估计总的图像损失。

备注10。梯度场或松弛效应的非线性可能导致PSF的不对称性。考虑到在备注点9个只要有PSF模型，且图像损耗为准常数，无论信号的不对称性如何，该算法仍然适用。请记住，当磁场远不理想时（理想磁场：线性选择场和均匀驱动场），MPI图像不能表示为类似于卷积的(17岁），因此恒定的图像损失的假设是不也是有效的。

3。结果与讨论

在本节中，仿真结果来评价节提出的恢复算法的有效性2.4。在下文中，仿真首先呈现一维成像，然后示出了用于该算法为2D图像MPI的应用的结果。MATLAB代码用于模拟1D和2D图像。在1D模拟中，点状颗粒在FOV根据浓度的最大电平考虑，并且由于算法是基于PSF的形状/模型导出，所有图像正规化;这意味着不管颗粒的浓度水平的结果报告。1个D simulations are conducted in three cases for the distribution of particles, and two different particle sizes are analyzed: particles with a core diameter of 30 nm which have a narrow PSF (considered in the first two cases) and particles with a core diameter of 22 nm (considered in the third case). This is to evaluate the error of the approximation used to derive (23个). 这些粒子的psf如图所示5个。

情况1。作为第一项研究中，三组与不同浓度的颗粒被在FOV考虑，具有无相互作用。由于颗粒的图像，不影响其他粒子的图像，然后颗粒的位置可以容易地确定，并且步骤（)图像丢失恢复1D不需要-space MPI。然而，由于颗粒不具有相似的浓度，必须计算。对于这种情况下的结果显示在图6个。如图所示，在这种情况下，该算法可以检测到较高的图像丢失准确率。

案例2。在第二种情况下，四组颗粒被在FOV，其中“2”和“3”索引颗粒非常接近彼此和相互作用考虑。通过去卷积图像，能够容易地确定粒子的位置。对于这种情况，需要使用（35岁）取消交互效果。对于这种情况下的结果显示在图7个这就证明了对丢失信息的适当补偿。应该注意的是，如果粒子更接近，那么反褶积不能分离粒子，它们将被视为一组浓度更高的粒子。

案例3。在最后一种情况下，FOV中考虑了四组PSF较宽的粒子。在这个模拟中，由“1”、“2”和“3”索引的粒子图像彼此进行交互。此外，粒子“3”和“4”也经历相互作用。图像中总共有八个交互；因此(35岁）包括八个线性方程的系统。为了模拟测量误差，相互作用的电平，由得到的（34个），被认为是它的真正价值。使用用于这种情况下，算法的结果在图中示出八，其示出了图像的令人满意的恢复，用小偏差，尽管宽PSF和误差在测量中。

以模拟2D成像的算法中，MPI模拟工具箱中[开发24个]被利用。利用MATLAB工具箱对粒子的磁场和磁化强度进行了仿真，并采用系统函数法进行图像重建。此程序已针对-空间成像，改变FFP轨迹，满足多维成像中图像丢失恒定的要求。测量误差，类似于“Case”三在这个模拟中也考虑了。数字9个示出了施加的恢复算法的2D图像的结果。值得一提的是，在结果中，我们可以预期，图图9（c）更好的是，图图9（d），但实际上颗粒的浓度通过图中所示图9（d）更接近真实值。在图像质量方面，它可以很容易地通过组合两种正交线扫描驱动场的图像[改善25个]。

（一个）

（二）

（三）

（四）

4。结论

本文分析的LSI的特点-提出了一种空间MPI图像特征恢复算法，对医学定量诊断具有重要意义。尽管-space图像被已知表现出LSI，它表明过滤基本激发频率，这是必要在实践中清单中的粒子信号，破坏了LSI的性能。当一维谐波驱动场在一维和多维成像施加丢失的图像可以是恒定的，因此恢复。要恢复丢失的信息，算法使用建议所述颗粒和所述图像的数学模型的属性的-space PSF模型。该算法尝试通过表达它作为点状颗粒的图像的和，然后，知道样品组粒子的图像损失以找到接收到的信号的电平，该算法估计的总图像损失。初始图像损耗信息可以脱机获得，并且是足够用于一个时间进行测量。在这方面，该方法具有优于以前的方法，其中先验要求在每次测试开始时在线测量信息。该方法的复杂性依赖于一个小型的线性方程组，因此计算量小，保持了-space成像。这是相对于当前可用的方法中，其中需要这增加了摄像时间，以覆盖整个对象连续的FOV的重叠所提出的方法的另一个优点。模拟为一维和二维成像的结果，对于窄和宽的PSF，验证了算法的有效性。

该算法是基于假设所表达的假设开发2个–4个。虽然在模拟研究这些假设被释放了一些水平，结果仍然看好，他们似乎是在执行实践中的算法中最具挑战性的部分。在这方面，今后的工作是专门研究，通过实验，该算法的敏感度以得到相对于假设一个稳健的水平。未来的工作还专门的算法与前两者的处理时间的比较。

利益争夺

作者宣称，他们没有竞争的利益。

致谢

本研究由韩国国家研究基金会的先锋研究中心项目（Pioneer research Center Program）提供支持，该项目由韩国科学、信息通信技术和未来规划部（2012-0009524）资助，部分由2014R1A2A11053989资助。

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