垂直磁性偶极器近区域场的准静态解决方案，垂直磁性偶极器附近有损的半空间的表面

摘要

两个不同媒体之间的边界上的偶极天线已广泛应用于地球物理勘探，海洋学和淹没通信领域。在本文中，提出了一种分析方法，以分析由于垂直磁偶极子（VMD）引起的极低频率（ELF）/超低频率（SLF）范围处的近区域场。由于缺乏可行的分析技术来刻放地导出组件，因此根据准静态定义和等效的无穷大学理论来引入两个合理的假设。电磁场部件的最终表达式在指数函数方面。通过与直接数值解决方案的比较和特殊情况下的精确结果，证明了所提出的准静态近似的正确性和有效性。模拟表明，组件始终出现最小的有效限制 那的价值应该不大于0.6，以保持良好的一致性。

1.介绍

由于其在地球物理勘探中有用的应用，在两个不同介质之间的边界上，极低频率（ELF：3-30Hz）和超低频率（SLF：30-300Hz）的传播特性在两个不同介质之间的边界上被广泛研究了多年。，海洋学，过度或水下通信等等。例如，美国系统海员以78 Hz的频率运行[1]，而俄罗斯的zev则以82赫兹的频率工作[2］．这些系统已被用于从海面上的固定站与自20世纪90年代以来靠近海底的潜艇行驶[3.那4.］．这个问题的原始表达可以追溯到1909年，由Sommerfeld在他的经典文献中[5.］．随后，诺顿在1936年提出了简单的公式和图表[6.］．继他们的工作之后，在数值[7.那8.]及分析方法[9.-15.]在一个大的传播距离 那在哪里代表波数和是传播距离。

显然，在实际物理模型中，如在空气和地球或海水和岩石两种不同介质界面上的偶极子源，ELF/SLF范围的电传播距离通常非常小，即: 。Sommerfeld积分用于现场组件，其可以以包括贝塞尔函数的积分的衍生物来表达。由于Sommerfeld积分中的分歧，ELF / SLF近区域领域的调查仍然没有发达。在Xu等人的最近工作中。[16.]，一个新的准静态技术被用于分析由海岩石边界附近的水平电偶极子辐射的近场区。这一新的发展查办磁性偶极子的激励问题重新点燃了我们的兴趣。

Banos和Wesley对简化公式进行了几次研究[17.］．他们用赫兹势得到了适用于近场和远场的近似解。基于他们的努力，Durrani [18.那19.]在合理的限制下，通过垂直和水平偶极子（电磁类型）产生的海洋中足够准确但相对简单的现场组件。感兴趣的是空气和海洋之间的令人满意的沟通范围。后来，在禁止的一系列论文中[20.那21.]，以前的理论工作，例如[22.展示了很好的总结，并在准静态范围内呈现了这些四种不同类型偶极子的所有现场部件。近年来，一些近场研究在分析上逐渐进行了[23.-25.[数值]和数值[26.］．特别是在2010年，巴黎[27.]建立了通过垂直磁性偶极性的电磁场组分的精确闭合形式表达，垂直磁性偶极物躺在平坦和均匀的损失的半空间的表面上，但不幸的是仍然在Bessel函数方面，这些公式仅在偶极源和观察点嵌入边界时都是有效的。在许多实际应用中，偶极源和接收点都可以位于边界附近。然而，对垂直磁性偶极子的这种近场辐射的相应研究仍然在黑暗中。由于它是一种强大的任务来通过现有的分析方法准确计算它，因为在本文中，我们将尝试通过Xu等人来扩展工作。[16.]和在推导新的近似公式的目的评价积分。

注意，感兴趣的传播距离高达几十公里，在这种情况下，通过电离层的反射的传播路径远远长于沿地球表面的长度。因此，可以忽略电离层的效果，并且建立简单的半空间平面模型。在ELF / SLF范围内，海水/地球/地球等媒体总是被认为是高度损失的，而空气是无损的。因此，波数的比率远小于1，即， 。此外，通常偶极源和接收点的高度远小于水平距离，即，和 。下面是一些具体的评估和简化。与直接数值模拟和精确解比较结果也从振幅和相位角方面都最终进行。时间依赖性在整个分析过程中被假定和抑制。

2.制剂

物理模型的几何形状和符号如图所示1。它由位于距离的循环天线（视为垂直磁性偶极子）组成 那在半无限的导电空间上方。介绍了笛卡尔和圆柱坐标向上通过偶极子，和半径是水平的X-y平面在表面上。由参数表征的空气 那 那和占据上层空间 那以及由参数表征的有损介质(如海水或地球) 那 那和占用较低的空间 。假设这两个区域都是非磁性的，因此 。

2．1．ELF/SLF VMD激发场的积分表达式

当其尺寸与传播距离和自由空间波长相比足够小时，将小电流环视为垂直磁偶极子(VMD)是一个相当常识的想法[28.］．我们确定了作为磁偶极矩，其中表示环路循环电流和代表环形区域。随着国王[类似的方法29.[区域2中电磁场的组件的积分可以如下写入： 在哪里

注意到上标志“+”（2)对应于 那较低的标志“ - ”对应于 那分别。和平方根（4.）被取入第一象限。

前两项在式（1） - （3.）代表的直射波和理想的反射波。同时，第三项表示横波。因此，这些公式可以以下列形式被重写：

在上述积分中，直接场和反射场项可以通过King等人的专著中提出的方法推导出来[15.］．

直接场分量

反射场分量为 在哪里

其余的横波项由 在哪里 。应该指出的是，这些公式包含贝塞尔函数，其积是在近区高度振荡。因此，需要一种新的近似方法来加以考虑在下面的小节。

2.2。根据等价无穷小量理论横向波的条款简化

为了简化之初，我们应该弄清楚参与这一纸“准静态”或“近场”的定义。它被定义为在从源到观察点的距离远远小于波长的情况 [15.那18.］．通常，如果频率保持不变，满足此条件的距离包含“近场”;否则，如果距离是固定的，则限定频率形成“准静态”状态。

从定义中容易理解，当考虑“准静态”假设时，和抓住。在这种情况下，在索末菲积分的贡献（9.） - （11.）主要来自集成路径在哪里 。因此，参数可以表示如下：

通常情况下，区域1的介质与区域2的空气相比具有较高的导电性，即: 。同时,和通常远小于水平距离 那IE。，和 。因此，我们有 在哪里从（13.），其极限可以近似为零。等效的无穷大学理论，泰勒公式的特殊情况，随后可以在此处应用如下：

然后，通过一些变形，一种有用的替代形式相应地获得，变量也是如此 。我们写

因此，通过代替（16.) (9.）， 我们有

同样的,(10.）等于 和 那剩下的词 在(10.）可以如下进行评估：

最后，在[15.]，对于最终分析结果 那 那 可以容易地获得。我们写

到目前为止，我们已经提供了在区域2中的近场范围内计算VMD源的现场组件的过程。可以用类似的方法评估区域1中的现场分量的完整近似解。

2.3。近区域场的解决方案和

完整的准静态场分量可以很容易地用(9.） - （11.） 和 （20.） - （22.）.为了便于比较，下面我们将尝试将这些公式简化为偶极子源和接收点都嵌在边界上的特殊情况。只是为了简洁明了推导程序作为演示。磁性部件可以表示为

自假设，用Maclaurin系列，我们有

用（24.) (23.)和设置 那 那它转换为：

现在，我们已经推导出当的解析表达式要了解这种方法，将在以下几个部分中进行更好地，计算和讨论下的计算和讨论。

3.计算和讨论

3．1.与数值解的比较和

它显示在文献研究中[7.那8.通过适当的数值方法，可以直接求解索默费尔德积分。因此，采用直接数值模拟的方法，并与本文的解析结果进行比较。我们假设1区为海水，以渗透率为特征 那相对介电常数 那和电导率S / m。区域2是空气，其特征在于渗透性和介质 。对于一般情况，偶极源和接收点放置在高度和 那分别。三个非零场分量相对于传播距离的振幅和相角在图中评估2-4.在工作频率和3.0.0. Hz.

可以看出，通过分析和直接数值方法获得的幅度和相角均具有一致的趋势。图2（a）和2（b）表明，在开始时，这两个计算结果之间存在相对明显的差异。这可能是因为什么时候过小，和不是非常严格的。但当 那两条曲线阐明了彼此有良好的对应。的幅度和在图中3（a）那3（b）那4（a）， 和4（b）也显示出类似的趋势 。显然，在大多数实际兴趣的情况下，和 那这样的结果证实了该方法的高可靠性和有效性。此外，还应注意的是工作频率几乎没有影响的大小和 那但是一个更大的频率会导致更小的振幅 。

如图所示2（c）和2（d），最初的相位急剧上升，直到达到的值 。应注意，较高频率导致源的较近突变点。最终，突然变化 那随着距离进一步增加，相位开始平滑上升并稳定周围 。较高频率也导致更快的相位变化到 那这就缩短了到达最终状态的距离。我们可以看到，这两种方法的相位角几乎是一样的，除了有一些延迟。通过观察其他两个组成部分，虽然轨迹不完全一致，但仍然可以得出类似的结论。

它也应该识别出大距离，更接近于“1”，这也会导致数值和解析结果之间的较大差异。在本文中，注意力被限制在近场，并且不考虑。计算表明，不同的组件具有不同的有效性限制维护建议和数值解之间的一致性。为了和组件，通过两种方法获得的幅度和相位的结果即使是相同的正在接近1.但是，对于 那当距离达到100km时（即， 那如图所示2（b）），两条曲线开始彼此偏离。

３．２．与精确解的比较和

当偶极子源和接收点都位于半空间的界面时，垂直磁偶极子激发的确切场分量已经由Parise解决了[27.］．确切的解决方案 那 那和可以用来表示 在哪里

请注意,和是第一个和第二种的第n个订单修改贝塞尔功能，其中 。

由于本文讨论了偶极辐射问题的特殊情况，因此如果我们绘制该字段如何随着距离的函数而变化，我们实际上可以更好地验证这种方式ρ通过我们的近似方法，直接数值计算和这种精确的分析解决方案。在图中描绘了比较5.-7.。所有相关的参数是与图相同2-4.除了使用不同的D.和Z.。

显然，我们的分析结果不仅与数值模拟相符，而且与确切的解决方案以及图中的曲线也有很好的协议5.-6.与数字中的人相似之处2-3.。这表明，所有的方法都是不错的准确性。同时，对比的情况并不令人满意，这从图中可以看出7.。就整体而言，分析和数值解的曲线是相对一致的，但不匹配到作为传播距离精确解增加。拿作为一个例子。如果达到几百米，精确解决方案之间的差距和其他两种方法将变大。相位差总是关于 。这可能是因为[27.[修改后的贝塞尔功能而不是混凝土分析函数表示。

３．３．这些解析公式的计算

为了进一步研究所提出的方法的特征，进行了几种其他评估。作为一个自然延伸，只是要清楚，看看偶极源的接收点的位置，以及如何影响电磁场的传播力量，我们考虑下面的模拟图呈现8.，相对介电常数和电导率S / M在区域1.工作频率拍摄为赫兹。

figure8.说明了这些关系和在恒定传播距离处具有不同高度的源极，其中所有其他参数保持不变。恒定分别选择50米，100米，500米和1000米。可以看出，随着径向距离的增加，将表现出相当不同的特征。什么时候相对较小（见图8(一个)和8 (b))，振幅随观测点高度的增大先减小后逐渐增大。通常情况下，曲线的最小值点将从原点移动到更远的位置更大。但是，对于足够大的值(数据8 (c)和8 (d))，振幅单调增加为增加。我们还知道，当偶极子源靠近界面时，衰减会更大。这可能是由于1区在不同高度上的有损介质的影响程度不同。

当接收点处于任意位置时X-Z.在区域2中的平面，偶极源位于0. m, 50 m, 150 m, respectively, with the operating frequency taken asHz，在图中揭示了电气和磁性部件的强度分布9.-10.。我们实际上可以看到电动场和磁场均在所有方向上迅速衰减。随着源的位置较高，电磁部件的衰减将变慢。还注意到数字的分布9 (c)和10（c）非常可能在自由空间中，这意味着当偶极子的高度足够高的界面时，辐射结果几乎不受海水的影响。

4。结论

本文讨论了垂直磁偶极子在有损半空间边界以上的电磁场的积分，从而导出了近区场的解析公式。根据“准静态”状态的特征和等价无穷小理论，我们可以归纳出两个合理的假设。一个是 那另一个是关于替换 。与数值解的比较表明，无论是幅度和相位彼此相当一致。当偶极子源和观察点都是边界，这是我们的方式的高精确度和可靠性的进一步的证明上用于与所述精确的公式对比度曲线也绘制。模拟也表明，不同的部件具有不同的有效期限制维护建议和数值解之间的一致性。组件始终出现最小的有效限制 那的价值应该不大于0.6，以保持良好的一致性。还执行后续计算，其指示偶极源和接收点的位置和接收点的位置也会影响现场分量。此外，应该指出这些公式也适用于条件的其他情况满意。两个地区的介质是可互换的。在这种情况下，的近似，(13.）更改为 。然后，通过本文提出的类似方法，可以得到最终的场表达式。

数据可用性

所有数据都可用作MATLAB代码。

的利益冲突

提交人声明有关本文的出版物没有利益冲突。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金61571389的部分资助。