鲸鱼优化算法在拐角逆散射横向散射

摘要

在本文中，将鲸鲸优化算法（WOA）应用于具有拐角的不完美导体的逆散射。WOA是一种新的综合性优化算法。它模仿驼背鲸的狩猎行为。灵感来自于鲸鱼通过在收缩圆圈内和螺旋形路径围绕猎物围绕猎物而识别猎物（即最佳解决方案）的位置。最初，首先将逆散射转换为非线性优化问题。转换基于用于散射积分方程的矩方法解决方案。为了用角落处理目标并实现WOA逆散射，立方样条插值用于建模目标形状函数。数值模拟表明，WOA的逆散射不仅是准确的，而且很快收敛。

1.介绍

逆散射装置通过使用散射数据或波传播模型来重建未知散射体的形状或电参数分布[1］.从根本上讲，目标信息的重建是与求解逆问题相关的，逆问题是非线性的，通常是病态的[2］.逆散射在医学层析成像、无损检测、目标探测、地球物理、探地雷达、遥感、大气科学和光学等不同的科学分支中起着非常重要的作用。根据电磁理论[3.，目标与其散射电磁场之间的关系涉及复杂的积分方程和格林函数。因此，逆散射问题的求解是非常困难和耗时的。传统上，逆散射技术基本上分为两类。第一类是基于减少数学复杂性的物理近似，例如[4.-8.］.这类算法虽然计算效率高，但对目标有一定的限制(如凸性和光滑性)。使用这类技术可能会丢失目标的信息。第二类是基于散射积分方程的直接数值解，如[9.-13］.虽然目标的信息完全保留，但由于数学和未成件问题，该类别的计算是耗时甚至困难。作为一个整体，为了改善数值计算并保留目标信息是反散射的重要考虑因素，例如，[14］.

近年来，元启发式优化算法在许多研究领域中发挥着越来越重要的作用。元启发式算法本质上是一种随机优化，因此其解依赖于所生成的随机变量集。将元启发式优化算法应用于工程问题至少有三个优点。首先，它依赖于相当简单的概念，很容易实现。第二，它不需要梯度信息。第三，它可以绕过局部最优。以上优点使得元启发式优化算法适用于涉及不同学科的广泛问题。由于积分方程的解可以转化为优化问题，将元启发式优化算法应用于逆散射是一个合理的思路[15-18］.

本研究介绍了一种新的成群质优化算法，即鲸料优化算法（WOA）[19]，解决逆散射问题。WOA模仿驼背鲸的狩猎行为。来自鲸鱼通过在收缩圆圈内和螺旋形路径围绕猎物和螺旋形路径同时围绕猎物来​​识别猎物（即最佳解决方案）的位置，这是一种灵感来自鲸鱼识别出猎物（即最佳解决方案）的位置。如图所示1．关于鲸鱼最有趣的是它的特殊狩猎方法，这是泡沫净饲养。鲸鱼更喜欢捕杀克里尔和靠近表面的小鱼。已经观察到这种觅食是通过沿着圆圈创建独特的气泡来完成的，如图所示1．为了优化，对螺旋泡网喂入机动进行了数学建模，并将其转化为公式。详情见本节2．据我们所知，目前还没有将WOA应用于电磁问题的研究。

本文将WOA应用于有角非完全导体的逆散射问题。类似于(15-18，首先将反散射问题转化为非线性优化问题。变换基于散射积分方程[3.]和矩法[20.］.为了用角落处理目标，目标形状函数的特征在于立方样条插值[21那22]，而不是傅立叶级数[15那16那18］.通过比较猜测目标和真实目标的散射电场，定义适应度(即目标)函数。数值结果表明，该算法重构的目标信息非常准确，收敛速度快。

在下面的章节中2介绍鲸鱼优化算法。部分3.介绍了它在逆散射中的应用。本节给出了数值结果4.．最后，在章节中给出了结论5.．符号的含义总结为表格1．

2.鲸鱼优化算法

在本节中，WOA [19简要介绍。WOA基本上是一种迭代方法，将应用于下一节中的逆散射。

WOA的初始目标是找到一个最优解，使适应度函数最大化或最小化。假设表示鲸鱼的位置向量(即控制变量)(即适应度函数)和为迄今为止得到的最佳位置(即最优解)。通过使用WOA，是有效更新的吗成为最终最优。WOA包含三个主要机制，即缩小和包围(开发阶段)、螺旋更新(开发阶段)和搜索猎物(探索阶段)。下面将介绍它们。

2．1.萎缩和环绕

这一步属于开发阶段。数学公式是 和 在哪里是下一步更新的鲸鱼位置向量。在方程(1） - （2），和随着随机系数矢量，现在简要说明。我们定义 和 在哪里是否有每个分量的向量(表示为一种）在整个迭代中线性地从2到0减少到0是一个随机分量在[0,1]范围内的向量。从方程(3.），它表明了实际上由间隔中的随机值组成[ -一种那一种),一种在整个迭代中从2到0减少。结果，波动范围受到影响然后逐渐减少。

2.2。螺旋更新

这一步属于开发阶段。一个螺旋形方程, 创建以更新鲸鱼的位置。灵感是模仿鲸鱼的螺旋形运动。在等式（5.），B.是定义对数螺旋形状的常数和L.取值范围为[−1,1]。

2.3。搜索猎物

这一步属于探索阶段。我们利用矢量的变化 那由随机值组成，用于搜索猎物（即最佳位置）。作为满足 那搜索代理将远离参考鲸鱼。注意意味着所有要素(具有相同的值)大于或等于1。在这种情况下，我们在探索阶段根据随机选择的搜索代理更新搜索代理的位置，而不是向当前的最佳位置。这种机制强调探索，允许WOA执行全局搜索。数学公式是 和 在哪里是从当前群体中选择的随机位置矢量。

假设问题是搜索一组最佳变量使适应度函数最小化通过使用WOA。如图所示1，鲸鱼在收缩圆圈和螺旋形路径上围绕猎物（即最佳位置和解决方案）游泳。WOA的流程图在图中给出2．其迭代程序在下文中解释。第1步：初始化鲸鱼人口。为了启动WOA，我们首先初始化鲸鱼种群。假设有鲸鱼的位置向量表示为 那一世 = 1, 2, …, ．位置向量的分量表示适应度函数的控制变量。步骤2:生成P.和 ．对于每条鲸鱼，我们生成一个随机数P.在0≤ P. ≤ 1 for deciding the next step. We also generate a random根据公式(3.)．步骤3:检查P.和 ．我们对每条鲸鱼都进行检查P.和 那然后根据以下规则更新位置矢量： 第4步：计算每个鲸鱼的适应性。在这一步中，我们计算每条鲸鱼的适合度，即， 那一世 = 1, 2, …, ．第五步:挑选最好的鲸鱼。由于问题是最小化健身功能，因此该步骤成为挑选最小值 那一世 = 1, 2, …, ．记录相应的位置矢量为 ．注意当前到目前为止是最好的解决方案。第6步：达到最大迭代循环？当迭代达到指定的最大循环数时，WOA停止被视为最终最佳位置（即最终解决方案）。否则，WOA迭代将继续并转到步骤2。经过以上六步WOA迭代过程，可以得到最优解(即 ）使适应度函数最小化 ．

3.应用于逆散射

在这项研究中，上述WOA将应用于逆散射。为了利用WOA，应该首先将逆散射问题转换为最小化问题。在逆散射之前，应该引导直接散射公式。为简单而不丧失普遍性，本研究仅考虑二维逆散射。目标是具有角落的不完全导电的圆柱体。考虑一个带电场的时间谐波平面波 在自由空间(介电常数和磁导率 ）入射在均匀的圆柱体上，如图所示3.．在等式（9.），（X那y)表示笛卡尔坐标，是波兰人和是关于的入射角X-轴。极性坐标表示为（ 那 ），如图所示3.．

假设目标形状边界极坐标满足在哪里表示目标形状函数。气缸外的散射电场是 -偏振为[3.那15那17]

在等式（10），为固有阻抗，零阶汉克尔函数是第二类和吗是个 -定向表面电流密度。注意，符号“prime”表示源。让 表示总电场。由于目标是完全进行的，边界应该服从条件 = 0。本研究考虑的是不完全传导的目标。假设目标电导率为 ．边界应该遵守等同的条件为[23那24] 和 在哪里是向外单位正常矢量和代表表面阻抗。从等式（10） - （12）， 我们有 在目标边界。在等式（13)可以用矩量法求解[20.］.后解决，散射电场的等式（10）将相应获得。

逆散射的目标是获得目标形状函数 那这在实际应用中是未知的。帮助重建，目标形状功能应该用一些变量来近似和控制。由于目标形状是光滑的，可以用傅立叶级数很好地逼近，并由傅立叶系数控制，如[15那16那18］.本研究考虑具有复杂形状的目标，例如包含角的目标。在这种情况下，傅里叶基过于光滑，不足以对目标形状建模。相反，本研究使用三次样条插值[21那22将目标建模成复杂的形状。首先，我们把极坐标角展开进入横轴，范围[0,2π］.接下来，水平范围[0,2π被平均地分成m分割点为 那一世= 0, 1, 2，…m．然后在这些分割点上对目标形状函数进行采样，结果为 那一世 = 1, 2, …,m．注意由于的原因是不必要的 ．数字4.说明了三次样条插值中的四个采样点。如图所示4.那在 那 和用三次多项式来近似 那 那和 那分别。根据立方样条插值[21那22]，立方多项式函数 那 那…， 和在相邻点内可以从（m+ 1)采样点( 那 ），（ 那 ），（ 那 ），…， 和 （ 那 )．详情载于[21那22］.注意 那 那 那…， 和众所周知，因为一个人应该在截面的WOA迭代中连续猜测它们的价值2．当所有三次多项式函数都确定后，目标形状函数则近似为

如上所述，应首先将逆散射转换成最小化问题。健身（目标）函数基于猜测和真实目标之间的散射电场的差异。为了使反转可靠，我们从不同方向亮起目标，包括 =  那 那 那和 那分别。对于每个入射，在八个方向上收集散射电场，它们是 =  那 那 那…， 和 那分别。因此，我们总共收集了32 (=4 × 8)个散射电场数据集。当这些散射电场从真实目标处收集时，记录为Ans(1)、Ans(2)、…和Ans(32)。目标是获得 那一世 = 1, 2, …,m和电导率通过比较32个散射电场的收集数据集。因此，最小化问题中的受控变量的总数是（m + 1). During the WOA iteration in Section2，应猜测其值(m+ 1)变量，由三次样条插值得到形状函数近似为方程(14)．因此可以解决在等式（13）通过矩的方法，然后从等式计算相应的散射电场（10)．如上所述，猜测目标来自猜测目标的散射电场在相同的发生率和收集情况下计算。结果记录为猜测（1），猜测（2），......和猜测（32）。适应性（目标）函数被定义为

逆散射的目的是求最优值 那 （一世 = 1, 2, …,m)和电导率使方程最小化(15)．在本研究中，上述的最小化过程是通过Section中的whale优化算法实现的2．作为（m+ 1)控制变量，由式(14)，其电导率也同时已知。因此，实现了逆散射。

4.数字结果

在该部分中，给出了数值示例以说明鲸瓦优化算法在逆散射中的应用。考虑由平面浪潮照射的自由空间中的不完全导电圆柱体（9.），如图所示3.．入射波的频率为300 MHz。已经在一节中提到了发送和接收细节3.．每个接收机到坐标原点的距离选为12米。请注意，散射电场的计算公式为(10)，适用于近场和远场。因此，接收机与坐标原点之间的距离的选择并不重要。目标的电导率为 S/m, which implies that the target is made of copper. In the cubic spline interpolation of Section3.，角度范围[0,2 .]同等分为16个段，即，m = 16. In the whale optimization algorithm, the dimension of each location vector is 17. The 17 components of a location vector represent 16 sampling values of the target shape function and one value for conductivity. The population size is chosen as = 15. TheB.定义等式中对数螺旋形状的值（5.)被选为B.= 1。所有长度单位都是米。下面有两个例子来说明上述的逆散射方案。鲸鱼优化算法本质上是一种随机迭代算法，因此需要进行多次模拟。在下面的例子中，每个例子被模拟了30次，所有的插图都是平均结果。

在第一个例子中，目标的形状类似于星形，如图中黑线“True shape”所示5.．真实目标形状函数的采样点的值，即（ 那 ）为了 那一世= 1, 2，…，16，列在Table的第一和第二列2．遵循本节中的WOA和逆散射程序2和第三节，用于不同迭代算法的不同迭代循环的重建目标形状如图所示5.．研究表明，当迭代循环次数大于100次时，目标形状能很好地重建。鲸鱼优化算法相对于迭代循环的适应度值如图所示6.．定义于(15)，适应度值总是正的，目标是达到0。数字6.表明，只有几十个迭代环，健身变得非常小。这意味着我们基于鲸鲸优化算法的逆散射会收敛非常快。要调查重建准确性，我们将相对形状误差定义为 在哪里和表示分别为重建和真实目标的形状函数值。此外，我们定义了相对导电误差 在哪里和表示重建和真正导电性的值。显然，两个等式的值（16） 和 （17)总是积极的，目标是达到0。数字7.示出了相对于鲸鲸优化算法的迭代环的相对形状和电导率误差。它表明，重建非常一致，即相对误差接近0，之后只有几十个迭代循环。

在第二个例子中，目标的形状类似于枫叶，如图中黑线“True shape”所示8.．真实目标形状函数的采样点的值，即（ 那 ）为了 那一世 = 1, 2, …, 16, are listed in the first and third columns of Table2．其他条件与第一示例的其他条件相同。数字8.报告重建的目标形状以了解鲸鲸优化算法的不同迭代环。与第一个例子一样，目标形状很好地重建，因为迭代环的数量大于100.图9.报告针对鲸鱼优化算法迭代循环的适应度值。结果表明，当迭代循环次数大于100次时，适应度变得非常小。和第一个例子一样，这个例子的收敛速度也非常快。数字10报告相对形状和电导率误差与迭代循环鲸优化算法。结果表明，当迭代次数大于100次时，重构结果非常一致，即相对误差趋近于0。注意，WOA迭代是为了最小化等式中的适应度(15)，而不是方程中的相对重建误差(16） 和 （17)．因此，图中的曲线10虽然整体趋势降低，但可能有一些涟漪。

上述结果表明，第二示例的整体收敛性比第一示例的总和稍慢。这可能是因为第二示例（枫叶）的目标形状和散射机构比第一示例（星形）的散射机构更复杂。虽然上述仿真的每个目标的规模很小，但我们的研究流程图对目标规模没有限制。随着目标变得更大的，只需要增加等式的时刻方法解决方案的段数（13）和形状函数分割的段数（即，m在立方样条插值或表中2)．上述逆散射仅限于均匀的散射体。由于目标是不均匀的，所以方程中的上述均匀散射公式（10） - （13)应被非均匀散射理论所取代[25］.在这种情况下，感生的表面电流密度在等式中（10） - （13)将扩展到整个目标体，使矩量法分析中的变量数量大大增加。目标的其他重建步骤基本相同，只是计算时间较长。上述仿真是在一台搭载Intel Core i7-4720HQ CPU和16gb RAM的个人计算机上实现的。软件包括Windows 10操作系统、Microsoft Visual c++ 2010编程语言和IMSL数学库。

结论

在 [19]，WOA是在29个数学基准函数上进行的。已发现与其他最先进的常规方法有足够的竞争力，并且优越在许多传统技术中[19］.本研究进一步将WOA应用于与角落不完全导电的靶的逆散射。结果成功且令人满意。本研究的前进问题涉及与绿色的功能散射积分方程，这是复杂且困难的。为了获得目标信息，即逆散射，问题被成功转换为非线性优化问题，可以通过WOA良好处理。WOA迭代猜测目标的形状和电导率，直到猜测目标的散射电场与真实目标的（或至少接近）保持一致。数值结果表明，我们基于WOA的逆散射不仅准确，而且很快收敛。WOA也可以扩展以解决电磁波中的许多其他非线性和复杂的问题。

数据可用性

本研究的重要计算机程序可在线获得，http://myweb.ncku.edu.tw/~kclee/program-invsca_20191003.zip.．

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

作者谨感谢科技部，台湾的财务支持，授予大多数108-2221-e-006-091和台湾高性能计算中心，为计算机时间和设施。

参考文献

1. H. L. Zhou，Y. Liu，Y.H.Wang，L. B. Chen和R. X. Duan，“基于LSQR的非线性电磁逆散射成像”国际天线和传播杂志文章编号2794646,9页，2018。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
2. C. Estatico, a . Fedeli, M. Pastorino, a . Randazzo，和E. Tavanti，“通过牛顿- cg方法在空间中的三维介电结构微波成像”，国际天线和传播杂志， 2019年，第2841937号，14页。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
3. C. A. Balanis，先进的工程电磁学，Wiley，纽约，纽约，美国，1989年。
4. R. Lewis， "物理光学逆衍射"天线与传播学报，卷。17，不。3，pp。308-314,1969。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
5. N. H. Farhat, T. Dzekov和E. Ledet，“频率扫描成像的计算机模拟”，IEEE的诉讼程序号，第64卷。9，第1453-1454页，1976。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
6. C. Chi和N. H. Farhat，“频率扫过三维完美导电物体的成像”，天线与传播学报，第29卷，第2期5，第312-319页，1981。查看在：谷歌学术搜索
7. N. Bojarski，《物理光学逆散射特性的调查》，天线与传播学报，卷。30，不。5，pp。980-989,1982。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
8. D. B. Ge，“目标形状重建的刘易斯方法研究”，逆问题，第6卷，第2期3，第363 - 370,1990年。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
9. A. Roger，“牛顿 - kantorovitch算法应用于电磁逆问题”天线与传播学报，第29卷，第2期2，页980-989,1981。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
10. A. Kirsch，R. Kress，P. Monk和A. Zinn，解决逆声散射问题的两种方法，“逆问题，第4卷，第4期。3，页749-770,1988。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
11. D. Colton和P. Monk，“一种解决非均匀介质中声波逆散射问题的新方法，”逆问题，第5卷，第5期。6，第1013-1026页，1989。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
12. G. P. Otto和W. C. C.咀嚼，“微波逆散射 - 局部形状函数成像，改进了强散射体的分辨率”微波理论与技术的IEEE交易，第42卷，第2期1，页137-141,1994。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
13. F. Hettlich，“解决逆导电散射问题的两种方法”，逆问题，第10卷，第5期。2，页375-385,1994。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
14. K.-C。基于神经网络的圆柱体二维微波成像模型国际RF和微波计算机辅助工程学报第14卷第2期5, 2004。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
15. K.-C。李，“通过改进的烟花算法在自由空间反向散射一个导电圆柱体，”电磁学研究进展，第59卷，第135-146页，2017。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
16. K.-C。李，“用改进的焰火算法对埋在无损半空间中的导电圆筒进行微波成像，”微波和光学技术字母，卷。60，否。6，PP。1374-1381,2018。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
17. K.-C。李和p.-t.鲁，“通过萤火虫算法与角落的不完美导电圆筒的逆散射，”电磁学，卷。38，不。8，pp。517-530，2018。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
18. C. C. Chiu和P. T. Liu，“用遗传算法重建一个完美导电圆柱体的图像”，IEE诉讼程序 - 微波，天线和传播，卷。143，不。3，pp。259-253,1996。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
19. S. Mirjalili和A. Lewis的《鲸鱼优化算法》工程软件的进步，卷。95，pp。51-67,2016。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
20. R. F. Harrington，按矩方法计算，麦克米伦，纽约，纽约，美国，1968。
21. S.A.Dyer和J.S.Dyer，“立方样条插值”。1，“IEEE仪器测量杂志，第4卷，第4期。1，页44-46,2001。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
22. S. A. Dyer和X. He，“三次样条插值:第二部分”，IEEE仪器测量杂志，第4卷，第4期。2，页34-36,2001。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
23. C. C. Chiu和Y. Kiang，“用于不完全导电汽缸的电磁成像”微波理论与技术的IEEE交易，卷。39，没有。9，pp。1632-1639,1991。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索
24. E. C. Jordan和K. G. Balmain，电磁波和辐射系统， Prentice-Hall，上马鞍河，新泽西州，美国，1968年。
25. W. C. C.咀嚼，非均匀介质中的波与场， IEEE出版社，皮斯卡塔韦，美国新泽西州，1995。

版权

版权所有©2020 Lee Kun-Chou and paiting Lu。这是一篇发布在创意公共归因许可证如果正确引用了原始工作，则允许在任何媒体中的不受限制使用，分发和再现。