文摘
一个新的实现体积积分方程(VIE)结合快速傅里叶变换(FFT)是建立合适的格林函数(FG)到一个统一的笛卡尔网格的节点非齐次非磁性介质电磁散射分析的对象。该方法的准确性是一样的P-FFT高于目标和IE-FFT尤其是增加栅格间距大小。此外,该方法的预处理时间明显小于非齐次非磁性介质P-FFT的对象。提供了数值例子验证了该方法的准确性和效率。
1。介绍
体积积分方程(VIE)方法(1基于矩量法(MoM) (2)是一种有效的方法来分析电磁(EM)从非均匀介质散射对象。众所周知,传统VIE-MoM,存储需求和矩阵矢量相乘的计算复杂度应用迭代方法时是成正比的,在那里表示未知数的数目。因此,VIE-MoM不适合直接分析电大尺寸电磁散射的和非均匀介质对象。
改善效率的方法之一VIE-MoM是竞争结合快速傅里叶变换(FFT)和它已经有几个实现,比如VIE-AIM [3,4),VIE-P-FFT (5,6),VIE-IE-FFT [7,8),简单地称为FFT-based方法。这些实现都是移植从相应的版本(9- - - - - -12)的表面积分方程(您)13]。不久前,一个新的实现,您的FG-FFT,结合FFT的电场积分方程(EFIE)提出了14),很快扩展到混合场积分方程(CFIE) [15]。
在本文中,您将扩展的FG-FFT争夺电磁散射分析的非齐次非磁性介质对象,只是叫VIE-FG-FFT和合成方法。本文的其余部分组织如下。节2,VIE-FG-FFT详细介绍。节3,还提供了一些数值例子来演示VIE-FG-FFT的准确性和效率。最后,给出的结论是在部分4。在这篇文章中,约定的时间假设和抑制。
2。配方
2.1。体积积分方程
自由空间的介电常数和磁导率是用和,分别。让表示容量域被一个非齐次非磁性介质对象相对介电常数和相对渗透率(非磁性)。
让入射电场和电场分布;然后总电场可以表示为的总和和: 和体积积分方程(VIE)总电场可以严格地表示为(16] 在哪里和,这意味着 在哪里的电通量密度吗和 因此,我们有 在哪里的外边界表面吗。
应该指出,在右边的第二项(5严格意义上的)不容忽视(见第二部分的第二段(17])。但是,这学期将迫使一个引入“一半”的基函数,这将在下面。
2.2。建筑妈妈模型
电通量密度可以选为未知函数,因为它是连续介质界面的法线方向。后通过使用四面体,离散可以扩展与SWG函数(1]: ,“”和“”的意思是“完全SWG函数”和“一半SWG功能,“分别和基函数的总数。一个完整的SWG函数是定义在联邦呢四面体的一对和共同面临的如下: 如图是谁的几何1,而半SWG函数只在一个四面体定义。为了方便起见,我们使用表示共同面对和,如图1。
事实上,一半SWG功能仅适用于外边界的,因此数量是三角形元素的结束了吗。在本文中,我们有一个约定,半SWG函数是定义在那当。
当(6)替换成(1)和金应用程序后,VIE-MoM矩阵方程可以建立如下: 在哪里
注意,我们VIE-MoM模型的限制在四面体地区将被视为一个常数,和下面的符号缩写将被应用: 然后矩阵的元素有以下表达式: 在哪里 请注意,在(11)当和正确分离在(12)当和正确分离: 在哪里 请注意,在(14)当和正确分离在(15)当和正确分离。
2.3。VIE-FG-FFT框架
在本节中,FG-FFT技术引入VIE-MoM减少内存需求和提高计算效率。
整个妈妈矩阵可以分为两个部分:近场矩阵和远场矩阵, 在哪里是一个稀疏矩阵(元素附近的标识将在部分的第二段3),这是通过迫使所有的“元素”等于零,最终可以用这种形式表示如下: 在哪里,,,都是稀疏矩阵将建造节吗2。4和主管马克””意味着矩阵元素3 d向量;是一个三重托普利兹矩阵与格林函数;的上标表示矩阵的转置。
迭代求解时,矩阵向量产品将通过执行 在哪里直接计算,而可以加速通过FFT的方法(18)。通过这种方式,VIE-FG-FFT可以减少内存需求和计算复杂度和理论上(也看到9更详细的分析)。
2.4。合适的格林函数
在本节中,矩阵,,,在(18)将建成。首先,让一个统一的笛卡尔网格将给定的体积区域。使用,,表示三个方向网格间距的大小,,,分别。然而,在这篇文章中,该公约总是选择。
在一个统一的笛卡尔网格,一个扩展盒(或者只是盒子)被定义为一个立方体状集合组成的吗节点。当,包括节点和它被称为扩张订单(或者只是订单),写成。图2说明了一盒订单2。
假设为中心的盒子在哪里的半径和是一个固定的点在吗。让格林函数表示 的系数确定和吗是一个任意点外箱,如图3。
现在我们选择一个球面的中心和半径比,并选择一组采样点表面上(18),数量应该显著大于内的节点。在这篇文章中,波长,采用(15]。然后我们在这些样本点格林函数值相匹配。结果矩阵方程组最小二乘法(可以解决的19]。在这篇文章中,一个盒子的顺序选择2,和此时的采样点数量测试球面被选中为120。
不失一般性,假设和(和)是在盒子里()。妈妈矩阵元素的计算最终归结为计算高斯点。我们指定使用在四面体地区和高斯点高斯点在三角形区域。为了方便起见,地区和高斯积分点之间的对应关系和权重,将使用都列在表中1。当测试元素和源元素由一个适当的距离,右边的第一项(11),(12),(14)和(15)将消失。在这种情况下,我们可以很容易地获得近似表达式如下: 系数的计算通过使用下列公式:
用(21)(11)- (16),我们可以很容易地获得公式(18)。应该指出,执行的乘积一旦基于(18)至少需要8 fft算法。
2.5。预处理时间
这里,预处理时间意味着通过生成系数(21)。显然,预处理时间正比于对应的计算复杂度。一般情况下,系数公式的部分2。4数,它可以被评估所需的浮点乘法
VIE-P-FFT,生成相应的系数,利用“投射系数,这需要与多个右手条款解决最小二乘问题。如果一个盒子的订单选择2,包含27个网格点和采样点的数目选择测试球面,矩阵的最小二乘问题是否VIE-P-FFT或VIE-FG-FFT是a复杂的矩阵。此外,如果忽略了矩阵的奇异值分解过程,然后右手术语要求的最小二乘解复杂的乘法或对真正的乘法,因为复杂的乘法需要至少3真正的乘法。它很容易从投影方案介绍20.),生成相应的系数,这个号码所需的浮点乘法 通常大于多少。
从上面的分析可以得出结论的预处理时间VIE-FG-FFT明显小于非齐次非磁性介质VIE-P-FFT的对象。
3所示。数值结果
在本节中,证明的有效性提供了几个例子,VIE-FG-FFT的准确性和效率。在所有的例子中,扩展秩序总是选为2,笛卡尔网格间距的大小在不同的方向总是选择彼此一样;也就是说,。除此之外,是指在自由空间波长。我们的计算平台是一个戴尔T5400工作站与8核心的时钟频率3 GHz,并从FFTW FFT码(21]。
假设测试函数和源函数位于盒子和,分别。那么相应的矩阵元素被确定为一个附近的元素当且仅当的中心之间的距离和小于半径之和和。
3.1。示例一:均匀的球
相对介电常数的介质球壳2.0被认为是,如图4。这个对象离散用23174个四面体的平均长度,生产51231未知数。笛卡尔网格间距大小选择。
FG-FFT收发分置的RCS曲线获得的与米氏系列解决方案在图4。可以看出,这两个曲线吻合得很好,这表明FG-FFT的有效性。
3.2。例B:均质板
一个齐次空心介质板的相对介电常数2.5被认为是,如图5。入射波的方向。这个对象离散用19301个四面体的平均长度,生产42862未知数。笛卡尔网格间距大小选择,,,分别。
bistation RCS曲线直接获得的妈妈,FG-FFT和其他FFT-based方法(P-FFT,目标,和IE-FFT)都显示在图6,记录在表2由下列公式计算: 在哪里是抽样的数量θ方位角度。在这个例子中,。
(一)
(b)
(c)
从图可以看出6和表2当网格间距大小,四个RCS FG-FFT曲线获得,P-FFT, IE-FFT,目的也同意,通过直接的妈妈。然而,当逐渐增加栅格间距大小,FG-FFT和P-FFT可以保持一致的妈妈,虽然P-FFT和IE-FFT不。
从上面的实验,可以得出与目标和IE-FFT相比,FG-FFT和P-FFT更准确和不敏感的笛卡尔网格间距的大小。
3.3。例如C:分区均匀板
分区均匀介质空心板具有4种不同的相对介电系数,如图7。入射波的方向。这个对象离散用17714个四面体的平均长度,生产39927未知数。笛卡尔网格间距大小选择,,,分别。
收发分置的RCS曲线直接获得的妈妈,FG-FFT和其他FFT-based方法都显示在图8,记录在表3。在这个例子中,为。
(一)
(b)
(c)
再次看到从图8和表3FG-FFT和P-FFT的精度高于IE-FFT和目标。
3.4。例D:非均匀板
这里的介质板图5再次考虑。入射波的方向保持不变。但在这个时候,相对介电常数 被定义为 在哪里。现在,使用的平均边缘长度离散化选择。
不同的离散化粒度对应于不同数量的未知,如表所示4。收发分置的RCS曲线FG-FFT和P-FFT不同的离散化得到的粒度都显示在图9,FG-FFT预处理时间和P-FFT记录在表中4。
从图可以看出9不同的RCS曲线离散化粒度几乎是一样的。它可以从表4预处理时间的FG-FFT显然低于P-FFT不同的离散化粒度。
4所示。结论
在这篇文章中,一个新的实现竞争结合快速傅里叶变换(VIE-FG-FFT)建立了解决电磁散射从非齐次非磁性介质对象。该方法已与一些现有流行的FFT-based方法相比,包括VIE-P-FFT VIE-AIM, VIE-IE-FFT。的准确性VIE-FG-FFT几乎一样VIE-P-FFT和高于VIE-AIM VIE-IE-FFT尤其是增加栅格间距大小。此外,的预处理时间VIE-FG-FFT P-FFT的明显小于非齐次非磁性介质对象。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是支持中国国家基础研究计划的一部分(没有。2013 cb329002)和部分由中国国家非营利行业特定的研究项目(没有。201110046 - 2)。作者要感谢深圳学院c . Cai和李x计量和质量检验,中国,他们的支持和帮助。