文摘

传统的地质统计学描述水文地质属性的空间变化是基于平稳性的假设或统计学同质性。然而,越来越多的证据显示,它已被广泛认识到,许多水文地质属性的空间分布和多尺度特性,可以作为随机分形特征和空间变异可以通过电力变差函数模型进行描述。很难产生多尺度随机分形领域通过直接使用非平稳的权力变差函数模型由于缺乏明确的协方差函数。这里我们采用固定式截断电力变差函数模型来避免这种困难和生成多尺度随机分形领域使用Karhunen-Loeve(吉隆坡)扩张。结果表明,无条件或条件(测量)多尺度随机分形领域可以利用截断电力变差函数模型生成和KL扩张时的上限规模足够大的积分,和主体结构的空间变化只能通过描述最初几个主导KL扩张方面与大型特征值有关。后者提供了一个基础进行降维,节省计算工作量在分析随机流和运输问题。

1。介绍

地下水资源管理和污染防治的重要问题是维持人类社会的发展。解决这些问题最具挑战性的任务之一是描述非均质性的水文地质参数,如渗透系数与孔隙度量表。许多技术已经用于获取更多信息的异构性在不同尺度的水文地质参数,如核心样品分析(1),直接推动技术(2),和液压断层扫描(3]。由于空间分布的复杂性,这些水文地质参数,这些参数往往被视为随机变量,因此他们的空间分布可以定量描述使用随机过程(4,5]。地下水流动的控制方程和污染物运输成为随机偏微分方程。在这种方式中,状态变量,如液压头,速度,和污染物浓度预测的不确定性。随机方法的优点是,它可以产生的概率分布预测。最好的预测(量化的第一时刻,即。,mean) and the associated uncertainty (quantified by the second moment, variance/covariance) can be inferred from this distribution. Geostatistics was introduced to hydrogeology and became popular in numerical simulation of groundwater flow and solute transport [6- - - - - -8]。传统的地质统计学(背后的假设9)水文地质属性的空间分布是统计学上均匀;也就是说,水文地质参数的联合概率只取决于他们的相对位置,而不是确切的位置。

然而,很明显,随机水文地质领域可能显化与随机分形统计均匀递增(10- - - - - -14]。随机分形模型来描述这样的随机领域包括Gaussian-based分数布朗运动和分数高斯噪声10,12,15],non-Gaussian-based分数列维运动或分数列维噪音(13),和多重分形16]。Gaussian-based分数布朗运动模型,可以表现为幂律方差图可以推断从收集水文地质数据,如渗透率或孔隙度,在几个地点多样化的距离尺度(12,17]。使用这样的模型描述的随机领域展现了自仿扩展属性,因此可以考虑多尺度变化。

分析scale-dependency随机分形领域和研究多尺度随机分形的影响地下水流动和污染物运输的行为,它需要生成水文地质属性的实现基于他们的随机特征。如果测量水文地质属性是直接可用,生成的多尺度随机分形领域应进一步条件测量值。最常见的方法用于生成一个高斯随机场是序贯高斯模拟(SGSIM)由于地质统计学的广泛使用软件库(GSLIB)由Deutsch和Journel [9]。虽然能力变差函数模型是包含在GSLIB,它不能直接用来生成一个多尺度随机分形领域。传统的地质统计学方法只能生成与平稳性的假设或高斯随机场统计同质性。自从权力方差图没有一个有限的窗台上,整体规模和缺乏一个显式形式的协方差函数,在GSLIB SGSIM模块不支持使用方差图。光谱法可用于生成一个多尺度随机分形领域,代表了在傅里叶空间随机场,因此可以称为傅里叶方法18]。傅里叶方法改进的分层方法,如混合法(19)和Fourier-Wavelet方法(20.]。

在这项工作中,我们采用截断电力Di费德里科•和纽曼提出的变差函数模型21)生成多尺度随机分形领域,可以表现为权力变差函数模型。截断电力变差函数可以描述的多尺度特征随机场,可以测量尺度,观察范围、规模和窗口。这个模型也有一个合理的水文地质解释,即日志水力传导率的幂律方差图行为随机场可以看作一种加权积分无限层次的相互不相关的固定字段。后删除和/或更低的频率越高,截断电力变差函数模型成为固定和显式形式的协方差函数。每个层次结构被称为一个随机的光谱领域的模式。数学上,事实证明,每一个模式都可以表现为指数或高斯方差图。它呈现两种类型的截断能量方差图:截断电力变差函数和指数模式(TpvE)和截断电力变差函数与高斯模式(TpvG)。我们已经修改了GSLIB代码将这些截断电力变差函数模型来生成随机分形领域,无条件的和条件,利用序贯高斯模拟方法(22]。其他方法也可以生成随机分形领域,如光谱方法(23)和分形方法(24]。然而,这些现有的方法没有能力生成条件随机场。水文地质属性的调节数据通常是可用的,他们是至关重要的组件来提高目标字段的描述。因此,有必要考虑这些硬数据的空调技术。比较现有的方法产生随机分形字段中列出表1。在这个工作,一个创新的方法来生成多尺度随机分形领域提出的将截断电力变差函数模型与Karhunen-Loeve(吉隆坡)展开法。该方法的优点是,KL扩张能力进行模型降维。如果进一步结合多项式混沌扩张状态变量,如液压压头在单相流问题(25),饱和的多相问题[26),和污染物运输问题27),计算成本进行不确定性分析水文研究可以大大减少。拟议中的KL-based多尺度随机分形场生成器提供了基础建立一个高效的随机分析框架。

论文的其余部分安排如下:截断电力变差函数模型的理论依据和KL扩张介绍部分2;无条件的和有条件的结果多尺度随机分形领域代和KL扩张的能力来执行提出了降维3;结论是在部分4。

2。方法

2.1。截断电力变差函数模型

异构日志渗透系数,表示 ,随机分形领域统计均匀增加,可以用幂变差函数模型来描述: 在哪里是一个常数,是赫斯特系数 ,和是滞后距离。

日志渗透系数随机场是自仿自电力变差函数函数扩展属性: 在哪里是任何积极的常数 。

自仿日志渗透系数的分形维数随机场 在哪里欧几里得或拓扑结构维度。

定义方式数量 代表的空间频率随机波动(积分尺度),不断整合范围内的所有可能的模式 ,每个模式的因素和重量 (21), 的上下极限模式号码吗和与整体规模的上限和下限和由于互反关系。整体规模的上限窗口的特征长度尺度成正比(例如,含水层的域大小),和整体规模的下限吗特征长度成正比的数据支持或测量尺度(如土壤核心的大小)。它可以指出,截断变差函数 变差函数的线性组合吗 在每一个加权的方式 (总是正的, );因此截断变差函数的性质 认为的 ;也就是说, 有条件地负定函数如果方差图函数 (可以以指数的形式和高斯方差图很快就会显示)是有条件地负定函数。它还表明,相应的截协方差函数 如果协方差函数是正定 (这里可以指数和高斯协方差)是积极的定义,由于截协方差函数是静止的。

如果每个统计均匀模式在无限层次日志渗透系数随机与不相关的领域空间的增量可以通过指数变异函数的特点整体规模, 在哪里 日志渗透系数的方差和吗是一个常数。

顺向截能力变差函数模型与指数模式(TpvE) 分析的形式 在哪里 和是不完整的伽马函数。

TpvE模型的相应的协方差函数 分析的形式

如果每个统计在无限均匀模式层次结构随机与不相关的领域空间的增量可以以高斯方差图,

截断电力变差函数模型的分析形式与高斯模式(TpvG) :

相应的解析形式的TpvG协方差

如果较低的限制趋于0时(即。,the point measurement scale) when the size of the log hydraulic conductivity measurement is so small that it can be treated as a point and the upper limit趋于无穷时(即。,infinitely large window scale or domain size), the truncated variogram models can also reduce the power variogram model (1)条件

2.2。KL扩张的随机过程

水文地质变量的空间分布,如日志水力传导率 ,可视为一个随机过程。协方差函数 ,如(9TpvE)和(12TpvG),零均值随机过程, ,是有界的,对称正定,它可以扩展吗 在哪里 , 拓扑空间是空间坐标 ,滞后的距离 ,是特征值,本征函数。

特征函数是正交和配套。他们满足条件 在哪里克罗内克符号函数。

KL扩张的随机过程可以表示为 在哪里是标准的高斯随机变量遵循正态分布 。无条件的随机领域可以利用这个方程生成通过寻找其特征值和特征函数的随机特征。

协方差函数的特征值和特征函数可以解决从弗雷德霍姆方程

如果有测量 ,它可能需要生成随机调节这些测量。条件随机场的生成可以通过条件克里格。条件克里格均值和方差分别是 在哪里加权函数和下标吗代表“有条件的”。

权重函数可以计算通过使用克里格方程如下:

因为特征函数的集合完成后,我们可以扩大吗的基础上 , 在哪里系数是确定。

替代这个扩张克里格方程(20.),用 ,并整合双方对在域 :

类似于无条件的情况下,有条件的特征值和形式有条件的协方差函数 可以解决从弗雷德霍姆方程如下:

来确定 ,我们扩大它的无条件的形式类似于克里格系数。写的条件特征函数

用这个表达式为(23),用和集成方面在 ,

把它写成矩阵形式 的组件 , ,是 单位矩阵。这个方程表明,发现条件协方差函数的特征值问题可以转化为求矩阵的特征值的问题 。

在发现矩阵的特征值 , ,相应的特征向量可以用来构造条件协方差的条件特征函数呢

一旦特征值和本征函数条件协方差函数得到,有条件的日志可以生成渗透系数随机场 在哪里是术语的数量需要生成条件随机场和 是标准的高斯随机变量。

3所示。结果与讨论

3.1。截断权力的等价条件方差图和功率变差函数模型

调查统计均匀相等或静止的截断电力变差函数模型和非平稳的权力变差函数模型与均匀增加,一系列的不同值截断电力变差函数模型是用于增加要与相应的幂变差函数模型。TpvE和TpvG模型得到的结果非常相似,它可能是冗余的结果都在这工作。由于更大的范围TpvG模型中的参数,因此它的灵活性(特别是在逆建模过程的观察量表需要占),只显示TpvG模型获得的结果。下限接近于0对应点尺度测量。在现实中,大部分的测量,如土壤岩心的渗透率测量,满足这个条件以来规模远小于域大小的规模。因此,我们组0和不同越来越顺序显示TpvG相等的权力变差函数在一个有限范围的规定滞后距离。所示(1)和(11),参数设置与一个点测量规模和TpvG模型对权力变差函数模型。的关系和描述(14)。在这里,我们设置TpvG的参数集 电力变差函数模型和相应的参数集 然后改变从10²到10⁶。结果如图所示1。它表明,当很小(例如, ),TpvG模型与有限的窗台上和整体规模,分别是0.4和33.33。的增加 ,窗台上和整体规模增加。当增加到10⁵在这种情况下,TpvG模型可以近似方差图模型准确的研究滞后距离。

3.2。无条件的多尺度随机分形领域

TpvG在确定合适的参数模型来近似多尺度随机分形场的空间分布特征是权力变差函数模型(这里我们进一步增加到10⁶和参数设置 在TpvG用于保证足够的精度近似能力变差函数参数集 ),可以生成二维多尺度随机分形领域利用KL展开法与TpvG模型给出的(12)作为协方差函数。程序生成无条件的多尺度随机分形场如图2(一个)。在这种情况下,生成的随机多尺度分形50×50场如图3。因为可以在图中找到3,上面的地区与相对大的价值观和右下区域与相对较小的值相关联。确认质量生成的无条件的多尺度随机分形领域,样本方差图2500年生成的数据值是用来比较的理论。可以用样本方差图 在哪里对样品的数量吗 , 这样 。这个任务可以通过使用在GSLIB GAMV模块代码。可以观察到在图4,样本方差图模型可以复制的方差图结构理论变差函数参数集 很好,这证明生成的多尺度随机分形领域的质量。虽然这里没有显示,一系列类似的测试与不同幂变差函数模型的参数值也被执行。它们包括赫斯特系数的情况下 (指示空间增加负相关), (表明呈正相关空间的增量), (表明独立空间的增量)。所有的测试结果确认样本变异函数可以与相应的理论变异函数一致。

3.3。利用KL扩张能力的降维

其中一个显著的优势利用KL扩张产生多尺度随机分形领域是它有能力减少在概率空间的维数。这可以通过删除了KL扩大与小的特征值。协方差函数绘制在图的特征值5。它可以发现特征值的增加急剧减少的数量仍然条款后截断。大约,200年后所有的特征值都小于1。如上所述在张、张28),每个特征值代表能量和信息内容为每个术语表达的空间变异性的随机领域。确定需要保留的关键字数量,准确反映随机领域,张、张(28)建议定义一个能量判据 : 在哪里是保留条款的数量,域的大小,方差的随机领域。的关系和表所示2。可以观察到表中2相关的前10项大型特征值已经超过总能量的50%。探讨保留条款的数量如何影响多尺度随机分形的生成,一组实现多尺度随机分形领域生成与不同数量的保留条款(例如,100,200,500,1000,和1500年)在KL扩张,如图6。它可以发现,即使只有50领先,占据了大约70%的总能量,被保留在KL扩张的生成多尺度随机分形领域;空间变化的一般模式可以被捕捉到。保留条款的数量的增加在KL扩张,异构特性的细节越来越显现。1500领先时,相应的大约94%的总能量,保留在KL扩张,生成的多尺度随机分形领域几乎与通过比较图,生成完整的KL扩张6 (f)和图3。这一发现表明,随机领域的异构特点主要由领先的KL扩张与大型特征值,进行降维提供了基础。自异构特性的小细节可能不影响和交通流特征显著,KL扩张与小特征值可以安全地截断改善流的随机分析的计算效率和运输。例如,它已经表明,获得的水头的均值和方差,只有最初几个主要KL扩张术语(例如, 为1 d)非常接近那些获得成千上万的蒙特卡罗模拟与完整模型(25]。类似的观察也报道李et al。26和辽、张27]。定量意义上,如果多项式混沌扩张(PCE)是用来构造一个代理模型状态变量(例如,水头)和KL扩张模型参数(如日志渗透系数)的数量模型评价获得PCE所需的系数 ,在那里PCE的程度,对于一个给定的吗 ,模型评价时大大减少的数量减少;因此建设代理模型可以更有效率。

3.4。代的条件多尺度随机分形领域

当直接测量数据可用,它可能需要生成多尺度随机分形领域,可以在这些测量是有条件的。考虑到测量,程序生成条件随机分形场如图2 (b),从实现获得测量值生成的无条件的领域保持底层随机分形特征。如果有100测量数据(如图的位置测量7(一))收集的无条件的多尺度随机分形领域,产生的两个条件随机分形领域可以描述如图7 (b)和7 (c)。它可以观察到生成的荣誉值的测量的位置测量值,如图7 (d)的空间相关性,无边无际的位置上的值是由给定的能力变差函数。因此,测量值和多尺度随机分形特性可以在生成的无条件的领域。借助生成的多尺度随机分形场调节水文地质属性可用的测量,流量和交通条件随机分析可以进一步进行。

3.5。冠捷的优缺点模型在模拟真实的领域

本研究重点是随机的一代,但它将有助于讨论何时以及如何使用该方法来描述一个基于实际观测含水层。由于地质异质性、多样性和复杂性的持续有效,不存在通用的地质统计模型对所有案件。不同的模型和工具已经开发来描述特定的特征,例如,非平稳性,对数正态分布分布、通灵、自相似性和分形缩放(9,21,29日];(卡尔和福格,1996)。相比传统的地质统计模型用于GSLIB,冠捷模型有一些额外的和独特的优点。首先,他们可以捕捉分形扩展,一个被广泛报道的功能在现实沉积物中,岩石,含水层,水库([30.- - - - - -37),和其他很多)。分形扩展在许多情况下可以显著但不能由传统模型描述。第二,与传统模型仅限于平稳性假设,冠捷模型能够把真正的领域不稳定,允许他们通过上短裤代表固定有限的观察范围或地质同质性的影响。即冠捷模型兼容固定字段和非平稳的字段,数据显示1和4。

同时,冠捷模型继承传统模型的优点;例如,他们可以把各向异性,嵌套结构,调节效果。为了捕捉地质分层的财产在现实领域中,一个可能选择长相关性在水平方向和长度更短的垂直方向。更具体地说,参数和/或上面可以各向异性反映地质分层的各向异性。

正如上面所讨论的,它可能是不明智的期待一个多功能的工具来处理所有字段。在某些情况下冠捷模型有其局限性。冠捷的主要限制是,两点统计工具,显然是在观察连接,分支,或引导。在现阶段,要解决这个问题也需要后处理使用序贯指示模拟等工具或直接诉诸多点统计(MPS (29日,38])。结合分形扩展和连接在未来将是一个有前途的工作。

4所示。结论

传统的地质统计学方法描述的异质性假定随机水文地质属性字段统计均匀或固定。然而,越来越多的证据表明,异质性的水文地质随机字段是一个非平稳的随机过程,而是一个统计均匀增量。这样的字段可以被随机分形特征描述的空间变化能力变差函数模型。它可以用来描述随机的多尺度效应。调查扩展效应的随机分形流和运输,需要产生随机分形场数值。因为权力方差图没有相应的协方差函数,我们采用固定式截断变差函数模型来近似能力变差函数模型,并将这些模型与Karhunen-Loeve(吉隆坡)生成随机分形领域扩张。

这个工作导致的主要发现以下结论:(1)截断电力变差函数模型可以近似方差图模型在调查地区的范围上限的整体规模非常大的点测量尺度条件下。截断电力变差函数模型是静止的,协方差函数的显式形式,可用于传统的地质统计分析的基础上,固定的假设。(2)KL扩张是一个有效的方法来生成随机领域由协方差函数分解为它的特征值和特征函数。多尺度随机分形场可以通过结合生成固定截断电力变差函数模型与KL扩张。(3)主体结构的空间异质性的特点是主要条款在KL扩张相对较大的特征值。TpvG协方差函数的特征值迅速减小,它提供了一个基础进行降维通过删除了KL扩张条件与小特征值有关。(4)条件多尺度随机分形领域可以通过使用生成条件克里格方法通过求解克里格方程时测量数据是可用的。生成的条件多尺度随机分形场荣誉值测量值的测量位置。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金资助(拨款41402199和41402199号),国家科技重大项目(拨款2016 zx05037003和2016号zx05060002),中国石油大学的科学基金会、北京(批准号2462014 yjrc038)、中国博士后科学基金会(拨款2016 m591353和2017号m611782),中石化集团的科学基金(批准号P16058),独立自主的国家重点实验室研究经费的石油资源和勘探(批准号它的PRP / - 4 - 1409),和中国地质调查局(批准号DD20160293)。