文摘

我们表明,许多结构性流行病模型可能描述了本文使用一个简单的产品结构。此类产品,源自产品的指示图,可能代表有用的改进包括地理和人口结构、年龄结构、性别、风险组,或免疫状态。扩展multistrain动力学,病原体的异质性,也显示在这个框架是可行的。系统地使用这样的产品可能帮助模型开发和探索,可以产生洞察力,并能形成的基础数值结构灵敏度分析的实用方法。

1。介绍

简单的流行病模型旨在通过简单的洞察力;复杂的模型针对现实主义通过细节1]。既简单又复杂的模型仍被开发(例如,2- - - - - -7])。流行病学的细化,如年龄结构、性别、地理隔离,或病菌菌株,一般变化简单模型的行为,因此我们必须系统地比较不同特性模型。

在本文中,我们表明,许多结构性流行病模型可以描述使用一个简单的产品结构。此类产品因此为家庭提供一个紧凑的表示的相关模型,可以促进模型比较和结构灵敏度分析。例子包括建模主机易感性人群、性别、年龄结构、多个亚型,地理隔离。我们的注意力会被限制在区划的模型(8- - - - - -10),关注数学流行病学(10- - - - - -17]。

我们描述的产品与标准产品图。区划的关系模型和图理论或网络概念一直赞赏[18,19),此外,马尔可夫过程对产品产生空间已经被probabilists分析(20.]。图结构发生动态变量时将被表示为图的顶点,代表个人的数量在一个给定的隔间。个人可能会改变状态,这种变化是由弧形从一个顶点到另一个极端,贴上瞬时速率会发生这种转变。

2。激励的例子:Community-Structured流行病模型

考虑一个简单的SI(容易感染性)模型描述流行病没有复苏。个人从容易感染性,从不回到未感染状态。感染者的数量表示敏感的人。

这分为若干部分的绘制在图模型1。相应的ODE体系可能会写 在这里,是一个透射系数,人均是由于疾病死亡率或去除率。在这个模型中,我们忽略了人口出生和死亡由于其他原因。

一个简单的扩展包括异构流行病动力学在多个社区,沃森推出了et al。21,22]。在这个模型中,假设社区之间没有迁移。然而,个人在一个社区引起感染其他社区的结构如图2。方程是 在哪里是社区的数量模型。在沃森模型中,一般传输系数可能有所不同在考虑传输从infectives易感者在一个社区在任何社区(是否相同)。每个社区都是另外假定有不同的速度删除infectives由于死亡率(或其它原因),虽然这些可以认为是相同的。

这个模型扩展了一个社区SI模型,通过构建人口为多个社区。在以下部分中,我们将表明,结构化模型由沃森可以直接定义为产品开发单一团体SI模型和模型的描述群落结构。我们将说明这个产品的其他用途,包括年龄结构、性别、风险的异质性,cotransmission多种疾病。

3所示。产品图

一个有向图定义为一组顶点,每通过一个独特的识别标签,加上一组箭头,或弧,每个连接一个源点到目标点。在本文中,我们只关心有向图,而不是无向的。许多不同的产品定义的有向图,其中两个是相关的。

3.1。笛卡儿积

考虑有限的有向图和,和分别顶点。这些图的笛卡儿积23)是一个图形的顶点集的集合命令对吗 所有顶点的和的(即笛卡儿积图的顶点集的因素和)。的弧包含一个弧 来 对于每一个,哪里有一个弧来在因素图和一个从 来 对于每一个哪里有一个弧来在。

我们能说的“水平”,每个顶点的因子模型对应于一个子集,或水平,产品模型的顶点。该产品复制所有的弧线在每一个级别的和所有的弧在每一个级别的。假设我们有两个顶点 和 的第二个坐标是相同的,也就是说,它映射到相同的水平;它将有助于把这些“兄弟姐妹”,并说他们“下降”从一个常见因素顶点”,同样先用相同的顶点坐标。

数据3(一个),3 (b),3 (c)分别说明两个有向图和他们的笛卡儿积。

更普遍的是,图与多个弧加入一对顶点可以定义,和上面的笛卡儿积的定义可以应用在这种情况下。

3.2。强大的产品

两个有向图的强大的产品和包括弧比笛卡儿积(23]。这个产品 相同的顶点集,笛卡儿积因素的顶点集,但是除了弧的笛卡儿积图,它还包括所有弧线 来 哪里有弧形的来和一个弧来。

图3 (d)说明了强劲的产品图的数据3(一个)和3 (b)。

这些符号和这些操作是选择唤起产品图的结构,如图3 (c)和3 (d)。这些图的产品将在附录中详细讨论。

4所示。产品的模型

4.1。线性区划的模型

区划的模型(无论是种群生物学、流行病学、或药理学)通常是由图表示,如在图1一个有向图的形式(正式指示油印)弧上的标签。多个弧可以连接一个隔间,代表多个进程影响,过渡可能不同的速率。和之前一样,图的顶点是隔间及其圆弧过渡,与标签指定的过渡。(我们认为区划的模型是一个抽象对象定向油印图同构。)众所周知,区划的模型图可以表示为一个常微分方程组或连续马尔可夫跳过程(等)。区划的模型(例如,用一个隔间,与一个流入率和外流率,可以用简单的随机immigration-death过程(24)或通过基本的常微分方程模型 。)

线性区划的模型的类,我们考虑在本节包括常微分方程形式的模型 在哪里是一个向量的状态变量,是一个向量的不断流入,和是一个 转移率矩阵。一般分为若干部分的模型,源和汇,可以用相同的图形表示方法通过考虑特殊的源和汇图中顶点。

笛卡儿积的线性区划的模型将定义的方式类似于图的笛卡儿积。假设 美国在模型;让 的状态模型。的笛卡儿积与将国家 与 和 。两种状态 和 是兄弟姐妹在相同的水平 的产品。如果我们开始了,例如,与流行病模型与易感,感染,(先生),并希望构建一个产品有多个区域的地理模型,我们希望有易感人群,infectives,个人在每个区域。

图的笛卡儿积,就像我们看到的,复制的每个因素为每个顶点图图形的其他因素。在人口区划的模型系统中,这将对应于很常见的假设竞争独立指数风险。再次举例来说,考虑一个简单的爵士流行病模型,感染和恢复,两个社区的典范与它们之间的迁移。笛卡儿积的两个,我们可能希望让每个社区内感染和恢复以及迁移的易感者从一个到另一个社区,infectives迁移,迁移个体中恢复过来。infectives产品模型,在一个社区,例如,应该能够移动到其他社区或恢复在自己的社区功能完全反映在笛卡尔图产品的结构。

然而,注意,一般情况下,我们可能会希望承担这些参数的差异。我们不妨假设,例如,在一个社区或回收率较高,迁移率infectives低于易感人群。与笛卡尔图产品,笛卡儿积的区划的模型必须考虑电弧标签,过渡率;一般来说,必然是引入新的参数。

我们建议以下定义一个笛卡儿积的线性区划的模型。如果一个过渡模式从来发生与速度,然后对每一个国家在模型转换产品模型中发生 来 在速度。类似地,如果一个过渡的模型从来发生与速度,然后对每一个国家在模型转换产品模型中发生 来 在速度。

源和汇的存在不添加任何基本的并发症。如果一个过渡模式从出现下沉率,然后对每一个国家在模型,从 水槽与发生(同样的,加上必要的变更的转换,水槽)。最后,如果从一个源过渡到状态在模型发生在速度,然后在产品模型中,每一个州在模型,从一个源 发生在速度(同样出现在模型转换的源)。这些,只有这些,构成了产品模型的转换。

更多细节参见附录的笛卡儿积线性模型。

5。流行的模型

产品如何像图的笛卡儿和强大的产品被用于制定流行病模型?正如我们将要看到的,上面的产品审核可以扩展到这种情况。我们必须扩展区划的笛卡儿积的模型允许不同人群之间的相互作用。(我们注意到类似的考虑适用于更一般的生态建模环境中,包括生态捕食和竞争方程,但是我们不会追求这些应用程序)。

5.1。结构化SI模型

在本节中,我们回到经典沃森流行病模型,表示如果在多个地区流行。我们将扩展线性的笛卡儿积区划的模型,表明沃森模型是一个产品的简单的SI模型和地理模型。在这种特殊情况下,地理模型将没有转换。

的SI模型传输过程是上面所讨论的,有两个州和和过渡,见图1。

我们现在定义一个因子模型,区分个体由社区,结合SI模型。如果有社区,让 在每个社区个体的数量。如果没有发生迁移,我们忽视人口流动率,这个模型对应的微分方程系统 对所有。为简单起见,我们只会说明的 案例(图4(一))。

产品的状态空间模型将包括易感人群的数量和infectives社区在社区1和2,下令对等 ,可以给出的名字,,,。天真的笛卡儿积的应用分为若干部分的模型与观察,如果因素模型将包括一个转变来在速度。我们将遍历的水平 社区的模型。我们需要一个过渡 来 ,但以什么速度?概括上面给出的笛卡儿积公式以最直接的方式产生一个利率模型与过渡和,对应于图如图4 (b)。这是一个技术上有效区划的模型,但是它不占潜在infectives之间传输一个社区(例如,)和易感人群在另一个(例如,)。

因此,我们必须扩展的笛卡儿积区划的模型。在这个例子中,我们必须考虑之间的传输速率敏感和感染性个人依赖于社区成员的感染性以及敏感的。扩展定义如下。

如上所述,让和是模型。扩展的笛卡儿积的状态空间像以前一样,状态空间的笛卡儿积的和。为,过渡率包括功能形式 ,即功能依赖于一个或多个状态。

在沃森的流行病模型的例子中,我们有以下。过渡率表示SI模型中的事件传播率 。我们将构建产品模型使用的规则,从每一个隔间 ,也就是说,每一个隔间里的后裔室,有一个过渡到其相应的兄弟姐妹的后裔室,在速度 ,每 。注意,感染性隔间在这个定义是不同于目标顶点的交接过渡弧分来的水平源的顶点,但感染性隔间范围在水平产品的模型独立于源和这个区别定义正确的转换集是至关重要的。

我们从每个定义构造一个弧早些时候吗室,其相应的从每一个隔间,这个定义构造一个弧室的室为每一个感染性舱可以传输这些易感人群。这个收益率模型如图5。这个扩展的笛卡儿积收益率两个圆弧过渡来,第一个反映我们的意图,个人在自己的社区社区1可以引起感染和第二反射传输从社区社区1 2。这可以正规的表示为一个弧率率之和的个人弧,在这个例子中,就是如此 ,在这个模型的原始演示沃森(22]。类似地,两个弧出现转换来。因此,扩展的笛卡儿积正确代表了沃森within-community流行过程的模型作为一个产品和地理模型。

这种产品我们提供一个正式的定义。

定义1。一个简单的笛卡儿积的两个区划的模型和是一个区划的模型的组间组下令对吗 对于每一个隔间的和的。
对于每一个弧的模型,人均过渡率 、源室和目标舱,产品的弧模型包含所有表单的弧线 在哪里 ,涉及的所有隔间产品模型从天而降 ,分别为,隔间从天而降吗否则在同一水平,连同相应的弧的弧派生因素模型。的下标区分不同的弧线通过提供水平的名称,所有产品的隔间 属于。弧的集合产品的模型只包含上述弧。

产品过渡率 可以被定义为需要,生成一个适当的简洁形式过渡率函数,设置不必要的转移率为零,或者做其他指定的细节结合流行动态。在下面的例子演示几种方式使用这些函数来构造特定的模型。

之前推出的一系列产品模型与流行病学应用程序的例子,我们注意到产品隔间,定义为命令元组等 可以指定变量名等在很多方面。在我们的例子中我们将使用几个不同的命名约定。同样的参数等和需要映射在产品转换到分化变量等和,适当的应用程序。我们认为这是函数的定义的一部分 和其他功能。

5.2。社区模型以人口统计

我们注意到疾病过程因素模型可以推广到包括人口流动率(“至关重要的动力”)。例如,这可能功能不断流入的新的易感者和一个指数死亡率或删除;如果模型可以表达形式 在这里,是一个常数招聘速度,是一个人均死亡率(见,例如,10])。如果源和汇被认为是特殊的隔间,上面的定义包括流入和流出等转换。如果我们构建扩展的笛卡儿积模型如果过程具有相同的社区模型,我们得到正确的产品模型,微分方程 这个模型如图6。

其他详细的流行病模型可以结合区域模型以同样的方式,包括SIS过程(例如,使用模型淋病(例如,25])以及最近感染沙眼模型(26]),爵士模型,更复杂的变量(例如,[27- - - - - -29日)的一个巨大的文学),甚至模型为媒介传播传输(例如,30.- - - - - -33])。有用的因素模型可以包括区域模型与交通、宿主基因(10,34,35)、性别、疫苗接种的地位,多个风险组(例如,高和低的风险感染),或第二个传染病的存在。

5.3。区划的老化

非自治模型是常用的疾病传播,以反映变化的敏感性,分析并发症的频率,或者混合模式取决于年龄。区划的模型产品结构可以很容易地反映这些特性,我们在下面的例子说明。考虑标准先生模型是第一个因素模型: 在哪里和就像上面传输和回收率。

然后,我们使用以下区划的衰老过程是第二个因素模型: 在这里,仅仅是衰老的速度每年(一年),是一个常数招聘速度,和常量人均age-class-specific死亡率。

年龄的隔间可以选择任何正整数,原则上。数值,使用区划的老化可以产生大的系统方程,但区划的老化接近McKendrick-von福斯特把方程的使用老化。

这两个模型和他们的笛卡儿积模型如图7(一),7 (b),7 (c)。在产品模型中,流入代表垂直传播,而代表个人出生时免疫。这两种利率为特定的应用程序可以设置为零。

我们注意到,在这个例子中,我们已经构建了招聘和死亡率到衰老模型,而在前一节中我们将他们包含在传输模型。有灵活性,包括这些人口的过程,取决于下标希望连接到他们的利率之一产品模型。如果需要,他们甚至可以被包含在多个因素模型和分配给常量值包括零适当的产品。

5.4。Risk-Stratified STI模型

性行为是高度异构,一些人比其他人拥有更多的合作伙伴单位时间。此外,这些人可能优先混合相似的个体。流行病学的一个相对较小的高度活跃的人群的传播性传播感染(STI)的数学模型探讨了淋病(36),和类似的方法被用于HIV建模(37]。

考虑以下简单的例子。假设我们从因子模型 代表人口的疾病传播MSM(与男性发生性关系的男性)10]。在这里表示每个伙伴关系,传播艾滋病的可能性等于一个易感个体的获取新的性伴侣,和的概率是易感个体的合作伙伴选择从一个特定的人口infectives(在基本因素模型中,只有一个人吗infectives,这个概率模型是常数的值为1,但这些概率将重要的产品模型,其中有多种感染性人口)。在这里人均是针对疾病的死亡率,是一个不断流入的易感人群,disease-independent死亡率。我们将把这个模式,第二个因素模型的人口分为高危组和一个低风险组,过渡率和他们之间:

产品模型如图8。这个模型可以代表的核心组利率更高的风险很高比其他收购伙伴,以及群体之间的非随机混合,所表达的可能性,,等等。因为混合概率和易感个体的群体必须和一个,同样的吗和,我们可以替换和通过 和 ,但没有必要这样做。制定,这个系统使生物截然不同的角色和独立的,虽然在某些情况下可能需要结合起来,同时尊重约束 (38]。然而,一个可能有数量的愿望作为状态变量的函数,反映合作伙伴选择概率可能取决于动态组的大小(37,39),在这种情况下,它有利于保持其作为独立参数,以便它们可以被更复杂的表达式直接取代。

5.5。性别在STI模型

建模异性传播性病可能会继续将人口划分为男性和女性。这样一个模型可以开发沿着线非常相似的风险模型在前一节中。我们可能以类似的传输因子模型开始,这里显示为一个SIS的过程: 第二个因素模型将简单 我们假设男女没有转换,反之亦然。在构建产品型号,我们将同性恋传播的假设通过定义合作伙伴的选择概率一个相反的性别组合(,)和零同性组合。产品模型 见图9。

5.6。互动麻风病和结核病的传播

扩展的笛卡儿积的区划的模型可以应用于问题涉及到两个独立的传染病的流程。联合leprosy-tuberculosis模型出现在[40)之间的交叉免疫两种分枝杆菌的流行病学效果使用区划的模型进行了分析。这个模型可以表示为一个产品的双因素模型,第一个是一个简单的基于易感结核病模型()、潜伏性结核病(),活动性结核病(): 在哪里是一个招聘速度,是一个总体的死亡率,是一个潜在的结核病活动性疾病的发展速度,每感染性透射系数(故障率)(摘要),的概率是一个新被感染的个体将开发活动性结核病快速而不是成为潜伏感染了肺结核(图10)。

第二个因素模型表示的发展麻风易感与麻风病潜伏性感染()和multibacillary疾病()或paucibacillary疾病()。麻风病因素模型(图11) 在这里是paucibacillary麻风病的透射系数(在报纸上),是麻风结节的麻风病的透射系数(在报纸上),潜伏性感染的个体发展paucibacillary疾病(摘要),潜伏性感染的个体发展multibacillary疾病(在报纸上)。

产品型号(图12)代表流行病学干扰的两个分枝杆菌感染密切相关。个人潜伏感染了一个可能对其他部分免疫力。本产品结构可以应用到其他的设置,如艾滋病结核病交互(例如,41])。

6。强大的产品

扩展的笛卡儿积太限制在构建模型时的多种疾病。例如,一个可能是由两个病原体感染期间一个遇到一个双重感染的人。因此,它可能需要允许个人直接进行双重感染易感类没有经过单独感染状态。扩展的笛卡儿积前面定义不允许这种可能性。

正如图的笛卡儿积可以扩展到一个强大的产品图,一个类似的强烈的区划的产品是可能的产品模型。如下我们将展示,一个强大的产品分为若干部分的模型将允许推导multistrain或multidisease模型同时传输。

作为一个例子,考虑以下简单的SIS传染病模型,我们可能适用于传播沙眼衣原体沙眼的病原体(一种致盲的疾病)42,43]。原则上,沙眼的多个菌株代理可以循环(44]。考虑一个模型,一个应变,易感人群的数量和吗是infectives的数量: 在哪里透射系数,是一种回收率, 是总数。

我们可以构建一个multistrain模型与局部交叉免疫(45,46)使用一个适当定义的强大的产品,定义如下。让和模型,状态标签和,分别。强大的产品模型的顶点 在前面定义的产品,的顶点集的笛卡尔乘积因子模型。每个因素的每个电弧模型产生一个或多个弧在每个级别的产品模型,与其他产品一样,每个交互产品一个隔间。也有另外,对角交叉的产品模型水平弧,代表多个因子模型的转换同时发生。

在图13,我们的强大的产品上面的SIS模型本身。

弧的笛卡儿积模型存在,代表个人的感染菌株1或2,但是还有额外的弧线,包括对角线过渡来代表两菌株1和2同时传输一个完全易感个体在一个单一的遇到一个人携带两个菌株。

与笛卡儿积不同,这里一个车厢之间的相互作用可以体现在多个转换。之间的交互的例子和可以导致传播的一种或两种菌株,这些病例是由三个弧图,传播率由括号杰出。

强烈的区划的产品的正式定义模型,生成产品上面的例子,如下。

定义2。一个强大的产品两室模型和是一个区划的模型 的组间组下令对吗 对于每一个隔间的和的。模型和被认为是不同的模型为目的的这个定义,和每个模型的转换被认为是不同于其他,甚至当一个产品本身的一个模型。
对于每一组 因素模型的转换,属于不同的因子模型,每个隔间与来源、目标舱,人均过渡率 ,产品模型包括所有表单的弧线 在哪里范围的隔间产品模型下顶点的所有因素,每个范围的产品源自所有顶点隔间,集,下降的否则所有相同的水平。产品的弧模型只有以上生成的定义。正如前面,下标 率函数区分不同的产品弧表示所有的函数的参数所属级别。

在我们的SI的示例中,我们定义了功能生产合适的产品传播()和恢复()转换,不同的但紧凑的下标,省略转换传输的一个应变与复苏同时出现另一个。

7所示。探索一个家庭的模式

在本节中,我们说明了使用扩展的笛卡儿积的模型开发和探索,使用针对性的筛查淋病的模型作为一个简单的例子。这样一个模型可以表示使用四个组成部分:一个自然历史模型,一个分区的人口性别,进入低和高危人群,一个部门和个人(图一个筛选的过程14)。自然历史模型,我们将使用简单的SIS过程(25插图),而认识到对于一些性病可能需要一个更复杂的传播模型,例如,以反映局部免疫(47]。因为在不同的性别传播可以有很大区别,我们包括性别、人口划分模型的率的假设的性别转换和比例的非个人对模型动力学比较起来,仍然算小的。我们包括一个高和低风险组(36),与风险之间的转换,最后我们包括曝光模型跟踪个人接触频繁的筛选等控制措施(48]。

这四个模型的产品(由扩展上述定义扩展的笛卡儿积的两个模型或产品)的乘积有十六个隔间,描述了一个传播的过程受到性别的影响,风险组成员,暴露易感者和infectives(图的状态15)。产品结构自然生成的过程,包括同性恋和异性恋的传播。画,筛查程序的影响表达的去除率的变化这样筛选人远离感染状态筛选比那些不更快。

使用这个模型的扩展的笛卡儿积的定义,它是容易使用的子集生成部分产品的四因素模型如图14,产生一系列的模型(图中间的复杂性16),它可以评估在他们适合观测数据的能力。方法来评价这样一个模型的拟合优度的数据可能包括最小二乘(例如,49])或可能性的方法(例如,50])。

更重要的是,它也直接使用这个配方与更详细的生成模型,例如,通过使用两个以上风险组(图17)。这样,模型与任意大量的危险群体可以直接拟合优度和系统地评估找到最好的真实过程的描述在这个框架中,这一过程没有一个模型自动生成框架不能开展这类。

8。讨论

产品分为若干部分的模型,定义为图产品的简单概括,代表发展中流行病学模型有用的操作。类似的数学结构源于年龄结构、性别、地理差异,或其他形式的异质性流行病模型。这些相似之处揭示“设计模式”的存在51)所捕获的扩展笛卡尔产品我们这里定义。

本文中给出的产品绝不代表的全部可能的产品模型。对我们提供的产品,产品的状态空间模型的状态空间的笛卡儿积因子模型。某些情况下可能需要只有一个子集的:考虑一个感染艾滋病病毒的模型类是结构化的CD4计数和病毒载量类,不相关的易感类。这样的例子可以很容易地由简单的概括本文给定的产品。需要更复杂的产品时产品的状态空间模型必须包括历史(例如,个人被病原体感染菌株的顺序)。

扩展的笛卡儿积的操作非常适合添加主机异质性流行病模型,所以它可能促进流行病模型的自动生成一个家庭。同样,扩展的强大的产品是适合添加病原体的过程异质性流行病模型。我们开发的软件来实现这些产品。本文模型和数据都是由这个软件,这是免费的圣人数学计算系统的一个模块(52]。这种软件使系统数值相关模型,探索一个大家庭自动化评估的具体细化流行过程的相关性观察动态,并能形成一套系统的方法来数值的基础结构灵敏度分析。

附录

答:产品图

正式一个有向图是一组顶点与弧,定义为一组命令对顶点。我们认为图产品的产品图的顶点形成的笛卡儿积图的每个顶点的因素。符号,如果 的顶点集,那么他们的笛卡儿积集吗 的元素 元素的元组的组件集 。

应用数学模型,箭头(弧)将代表过渡状态之间的利率由顶点表示。每个弧将因此需要一个相关的标签。我们允许多个弧之间相同的顶点,因此我们必须用油印,表示为一组 。在这里,图的顶点集,是它的弧标签。每一个元组是可视化为箭来与标签(我们可以表示为)。

的笛卡儿积的有向图 图的笛卡儿积顶点集 顶点集每一个图,其弧的形成 ,但这两个元组是相同的位置,那里是一个弧连接来在。本文定义的产品会产生电弧的标签(过渡率)的产品图。

为每个顶点的因素模型,其他模型每个顶点是复制。如果第一个因素是一个图的顶点和,从来,第二个是一个图,顶点1和2和一个弧从1到2,然后产品图包含顶点可以表示为,,,。每一个图的弧复制的每个顶点。因此,例如,电弧从1到2的第二个因素图对应的弧来第一个模型的第一个顶点和弧形来第二个顶点。同样,弧来在第一个模型对应的弧来(弧1的第二个模型)和来(其他)。

强大的产品(或强烈的笛卡儿积)图 写 是图的顶点集的笛卡尔积图的顶点集,一个弧 来 当且仅当每一个,要么有一个弧来,或 。的笛卡儿积的有向图 图的笛卡儿积顶点集 顶点集每一个图,其弧的形成 ,但这两个元组是相同的位置,那里是一个弧连接来在。

. 1。邻接矩阵

笛卡儿积图也可以定义为它的邻接矩阵。让有限的图的邻接矩阵和分别是和。让和身份相同大小的矩阵和,分别。笛卡儿积图有邻接矩阵 ,在那里克罗内克积。写作 收益率产品图的邻接矩阵是一样的,除了在产品中顶点的顺序(顺序的顶点集的笛卡儿积)。更普遍的是,图形可以定义多个两个顶点之间的弧,在这种情况下,元素邻接矩阵记录的指示弧的数目从。上面的笛卡儿积的定义可以应用在这种情况下。

两个有向图的强大的产品和包括弧比笛卡儿积(23]。这个产品 相同的顶点集,笛卡儿积因素的顶点集,但是除了弧的笛卡儿积图,它还包括所有弧线 来 ,那里是一个弧来和一个弧来。使用上面的符号一样,强大的产品图的邻接矩阵 。

产品两个以上的图表可以用类似,但更乏味,矩阵运算。

由信用证。线性区划的模型

假设我们考虑一个区划的模型与状态 由一阶线性系统 在哪里是一个向量的外生和流入方式是一个过渡率矩阵。一般来说,可以包含水槽条款;例如,我们代表个人的数量在人口不断招聘和常数人均死亡率,所以 。在这种情况下,是一个 矩阵。

考虑两个连续时间链,与国家空间 和 ,分别。假设为每个是由转移率矩阵和分别(假设长期有效,为简单起见)。转移率矩阵可能包含正面(流入)条款和负面(流出)。过渡到从国家在速度将代表的一个术语 th元素的和一个术语 th元素的 任何转移率矩阵可以表示成一个弧求和:

笛卡儿积的两个马尔可夫链和可以定义如下。我们将表示模型的弧线通过;对于每个弧都有一个矩阵的元素是0,除了为代表的流入和流出,弧,正如上文所述。转移率矩阵的分解然后通过弧 。同样,转移率矩阵的模型由弧分解 。如果和身份矩阵相同的尺寸吗和分别一个特例的笛卡儿积可以写 图18描述了两个这样的模型(数据(18日)和18 (b))和他们的产品定义(图18 (c))。这个特殊情况只代表一个模型的两个连锁的行为完全独立。

获得一个更一般的产品,我们更换身份矩阵与对角矩阵。对角矩阵的元素都不相同。我们让是一个对角矩阵的尺寸一样每个弧,代表一个缩放矩阵模型每个州的模型。同样的,一个矩阵相同的维度,每个弧是一个缩放矩阵模型每个州的模型。然后表达的更一般的产品 生产产品的过程在图18日(d)。

注意,给定弧连接两个顶点,在应用程序中,代表两个不同的过程。例如,我们可能有一个隔间代表个人和另一个死亡,希望生活模型的速度死亡由于两个原因,说和。正规的,我们可能代表总从生活过渡到死亡作为一个弧率 (假设独立竞争风险),但在上面的分解中,如果我们通过两个独立的弧线代表过渡,笛卡儿积公式可以应用于相同的方式。

让我们使用的符号 表明舱下降的因素间。扩展的笛卡儿积的转移矩阵模型 在哪里是取决于什么。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

确认

本研究由传染病剂研究的模型(MIDAS)授予来自美国国立卫生研究院/美国加州大学,旧金山(U01GM087728)。美国眼科承认研究的支持,以防止失明。