文摘

一个随机提出了模型与垂直传播和疫苗接种和调查。阈值动态研究时噪音很小。传染病的灭绝或持久性的条件了。我们的结果表明,大的噪音会导致传染病的灭绝这有利于控制流行性疾病。

1。介绍

人类历史上充满了与疾病斗争。传染性疾病如天花、霍乱、鼠疫的麻风病、白喉、梅毒、斑疹伤寒、疟疾、狂犬病,和结核病威胁人类的健康。人们已经认识到的重要性量化研究传染病的传播预测和控制。它可以了解从文学指的是(1- - - - - -4),建立传染病模型的帮助下,人们可以了解传染病的重要法律,提供可靠的和足够的信息来预测和控制传染病。例如,早在1760年,伯努利和鼓风机5]提出第一个数学模型在流行病学研究的传播和接种天花。此外,1927年,Kermack和麦肯德里克(6]提出的概念,所谓的“区划的模式”,所有人口分为三个部分:易感隔间,被感染的隔间,室 模型中假定,易感类可以变换成感染性类通过接触受感染的个人,和infectives可以通过治疗,使他们恢复永久免疫力。因此,现在是众所周知,许多学者关注模型;结果,在文献中可以看出,大量的常微分方程的数学模型,延迟微分方程,偏微分方程已经构造研究传染病的传播(见,例如,7- - - - - -23])。在过去的几十年里,我们发现数学相关学者在科学期刊上发表了几篇论文考虑与垂直传播传染病的传播从父母子女(例如,1,24- - - - - -26])。尽管学者忽视垂直传播的影响,是非常重要的研究传染病的传播的实际情况。当前影响人类疾病如艾滋病(27- - - - - -31日),南美洲锥虫病(32- - - - - -34),乙型肝炎(35,36),和丙型肝炎37垂直传播。由此,可以清楚地看到,数学建模包括垂直传播,水平传播,和疫苗接种38,39)比没有他们更现实。因此,在这项研究中,我们集中我们的注意力在这和一个流行病模型提出了涉及垂直传播和疫苗接种如下(1,24)(见图1): 在哪里,,代表的成员易感,感染,和删除或成员从感染中恢复过来,分别。是生与死的和 是生与死的 接触率, 新生儿疫苗接种比例来自哪里和。然后,常数 是感染性的后代的比例受到个人和父母呢 。的回收率是感染性的个人。显然,总人口大小归一化,和系统的基本再生数,(1)是 通过构造李雅普诺夫函数,并使用拉萨尔不变原则,我们可以显示如果 ,无感染的平衡 是全局渐近稳定的,而如果 ,无感染的平衡不稳定和地方病平衡点 是全局渐近稳定的。

事实上,疾病的传播是不可避免地受随机因素的影响;随机流行系统更加符合实际情况。因此,流行系统由随机微分方程描述近年来被广泛关注(见,例如,40- - - - - -46])。各种随机摄动方法引入流行系统,取得了良好的计算结果。在这项研究中,我们的主要目标是介绍四种方法。第一个是分析流行系统包括环境噪声通过使用时间马尔可夫链的方法(见,例如,47- - - - - -51])。第二个是考虑参数的摄动(见,例如,52- - - - - -72年])。第三个是利维跳噪声引入到系统(73年- - - - - -75年]。第四个是调查随机扰动在确定性系统的积极的平衡(见,例如,41,42,76年- - - - - -78年])。

参数摄动引起的白噪声是一个重要和常见的形式来描述特性转化的影响。在本文中,我们采用白噪声的干扰,也就是说, ,在那里是一个标准布朗运动强度 然后,合成系统转换成以下形式:

本文组织如下。节3,我们将讨论的灭绝传染病和探索条件导致传染病的灭绝。节4一种疾病,我们将推导出条件是持久的。

2。预赛

在这篇文章中,我们让 是维欧几里得空间。 ,即积极的锥。

让是一个一维布朗运动完备概率空间上定义 适应了过滤 让 表示所有的家庭价值可以衡量的适应过程 这样 让 表示所有实值函数的家庭 上定义 这样,他们连续两次可微的一旦在。我们设置 显然,当 ,我们有 , 。然后,我们有以下。

引理1(一维伊藤公式[40,79年,80年])。让是一个伊藤过程 与随机微分 在哪里 和 。让 。然后, 又是一个伊藤过程的随机微分 几乎可以肯定。

通过使用方法Lahrouz和大81年),我们可以证明下面的引理。

引理2。对于任何初始值 ,存在一个独特的解决方案 系统(2) ,解决方案将保持的概率,即。

引理3。根据引理2,如果 ,然后 ,几乎肯定。因此,该地区 是一套积极不变的系统(2)。

3所示。灭绝

在本节中,我们推导出条件将导致疾病死亡。

定义4。对于系统(2),受感染的个人据说是使消灭的如果 ,几乎肯定。

让我们来介绍一下 为了方便;然后,我们有以下结果中提到,我们有下面的定理。

定理5。如果 或 和 ,然后受感染的个人系统(2)几乎肯定趋于灭绝。

证明。让 是一个解决方案的系统(2)与初始值 。伊藤公式应用到第二个方程的系统(2)导致 整合双方的8)从0到给了 在哪里 和是当地连续鞅 接下来,我们有两个案例讨论,这取决于
如果 ,我们可以很容易地看到(9), 两边的10) ,我们有 自 几乎可以肯定的是,大量的定理鞅(见,例如,53),一个可以获得 然后,以限制两岸优越(11)导致 当 ,这意味着
如果 同样,一个人可以有 两边的14) ,我们有 通过双方的上限(15),一个可以 然后,当 ,我们获得 这意味着 这就完成了定理的证明5。

注6。定理5显示,当 传染性疾病的系统(2)→灭绝几乎肯定;即大的白噪声随机干扰有利于控制传染病。当白噪音不大 传染性疾病的系统(2)也趋于灭绝几乎肯定;然后,是阈值与传染病的灭绝。

4所示。坚持的意思

定义7。对于系统(2),受感染的个人意思是如果据说是永久的吗 几乎可以肯定,被定义为

让我们表示 为了方便;然后,我们有以下结果中提到,我们有下面的定理。

定理8。如果 ,然后被感染的个体是坚持的意思;此外,满足 几乎可以肯定。

证明。整合从0到和除以 两岸的第三个方程系统(2)产量 请注意, ;然后,一个可以得到的 应用伊藤的公式 整合从0到和除以 双方(22)产量 从(23),我们得到 因为两个 和 ,然后有 , , 。请注意, ;通过双方的下限(24),我们有 这就完成了定理的证明8。

备注9。定理5和8表明疾病消亡或持续的条件取决于强烈白噪声干扰的强度。和小的白噪声干扰将有利于长期疾病的患病率;相反,大型白噪声干扰可能导致传染病死亡。

5。结论与数值模拟

在本文中,一个随机提出了系统垂直传播和疫苗接种。阈值动态根据随机扰动的理论推导出利用随机微分方程和不等式技巧。我们的结果表明,随机的动态系统与确定性情况下由于不同的随机扰动的影响,和持久的疾病在确定性系统随机扰动下很可能会被淘汰。

在以下,采用欧拉Maruyama (EM)方法(40),我们执行一些数值模拟说明疾病的灭绝和持久性的随机系统和相应的确定性系统进行比较。

对于数值模拟,我们设置参数 , , , , , 在系统(1)。一个简单的计算显示 ,然后系统(1)有一个稳定的平衡无感染 ,这意味着系统的疾病(1)将最终消除(见图2(一个))。如果我们改变 来 在这种情况下, ,然后系统(1)感染有一个稳定的平衡状态,这意味着系统的疾病(1)将最终持久(见图2 (b))。

接下来,我们考虑随机白噪声的影响的基础上,持续的系统。让 ,显然, ;由定理5,疾病死在一个大的白噪声干扰(见图3)。如果我们改变来在这种情况下, 和 ;然后,通过定理5(见图,疾病死亡4)。如果我们降低噪声的强度来很明显, ;由定理8疾病是持久(见图5)。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由中国山东省自然科学基金(没有。ZR2015AQ001),中国国家自然科学基金(没有。11371230),研究基金为安全有效的联合创新中心山东省煤炭资源的开采技术和设备,SDUST (2014 tdjh102)。