文摘
我们引入了一个新的非结合代数,即几乎代数,并讨论了它的一些遗传特性。我们讨论了代数与灵活的代数关系,约旦代数和广义乔丹代数。
1。介绍
我们介绍了一种新的非结合和非交换代数有几个属性类似于非结合和交换代数。几乎与其他非结合代数的关系代数是有用的和有趣的是已知的;在这方面,我们发现了一些与已知的代数的关系,也就是说,灵活,选择,和约旦代数。我们讨论了一些这个代数特征类似于交换和关联代数。我们讨论了一些遗传特性的代数。
一些来自遗传学基础。在这里,我们讨论一些简单的想法在遗传学nongeneticists对于那些纯粹是与数学有关。每一个细胞的生物体包含长线型结构称为染色体是位于细胞核内的动物和植物。染色体是由蛋白质和脱氧核糖核酸(DNA)的单分子。染色体在细胞分裂之后,通过细胞从母细胞新生。特定的十字路口,DNA携带使每个生物独特的从别人。DNA的分子太长,可以安装在细胞只能由染色体。此外,染色体在DNA复制和分布起着重要的作用在整个生产过程中准确的细胞分裂。染色体的问题在新细胞可以创建等问题严重的白血病和某些类型的癌症。男性和女性有不同的染色体; that is, females have two染色体在细胞而男性有一个和一个染色体。人类有对染色体,共有46个染色体。基因是遗传信息和单位位于染色体。一个基因可以采取不同的形式,被称为等位基因。在这些对,一个代表了男性的性角色;一个发生在轨迹对染色体称为常染色体,而一对被称为伴性的轨迹。二倍体细胞是那些携带双套染色体和单倍体细胞是那些携带一套染色体。二倍体细胞产生生殖细胞称为配子通过这一过程被称为减数分裂。有丝分裂是单倍体细胞繁殖的过程。配子细胞再次见到彼此,给一个受精卵一个二倍体细胞。
遗传代数的基本知识。查尔斯·达尔文的理论之后,是孟德尔研究基因遗传的自然法则,并试图用数学语言表达他们。在[1- - - - - -3)-埃瑟林顿推出了一种新的非结合代数方法研究遗传学。霍尔盖特研究这些代数与基因实现(4- - - - - -7]。里德讨论了遗传基因的非结合代数结构(8]。(讨论的遗传代数与突变9,10]。其他几个作者研究了非结合代数与基因实现(详情,请参阅[10- - - - - -14])。
让是一个非空的集合一起两个二进制操作“+”和“”,满足一个关联的所有公理环(代数)除了对乘法结合律;然后,它被称为非联合型环(代数)。谎言环被定义和介绍替换一个新的二元运算 ,尽管 ,与普通乘法的一个关联环(代数);显然,这是一个非联合型环(代数)。通过定义一个新的二元运算 在一个关联代数领域的特征不等于2,我们获得另一个重要的非结合代数称为约旦代数。这里值得一提的是,理论的非结合代数的代数是一个卓有成效的分支。最重要的是,非结合代数的课程与数学的其他分支的关闭连接;它关闭了连接与量子力学,物理学,生物学,和其他科学。这一理论的关键部分是近关联环和代数的理论:撒谎,选择,和约旦代数。简而言之,考虑非结合代数在实数域有几个在生物学尤其是在遗传学中的应用。此外,还有一些其他类型的非结合代数与遗传密切相关,在数学家和遗传学家在遗传学其效用。通常,这些类型的交换和非结合代数。事实上,一个人可以研究遗传学的属性通过使用非结合数学模型,可交换的代数。可视化这些代数的概念,让我们注意一些特定的代数类像配子,受精卵的和连接的代数。
在这里,我们将讨论一些简单的代数与基因实现。为了了解遗传学的代数性质,简单的孟德尔遗传已被认为是在10]。如果我们考虑一个基因有两个等位基因和后,交配的等位基因和,我们把受精卵,,,,在那里 被称为该 被称为杂合的。特别是, ,这意味着交换律是在这种情况下,该基因是等位基因的概念,交配与等位基因是一样的交配的吗与。让我们考虑方程 。这个线性方程表示的概念 和 。上面的代数与乘法表被称为配子代数。此外,可以从配子代数获得受精卵的代数交换重复。从数学的角度,之间的并置和显示了一个二元运算不关联,因为 或者同样的 说,两个等位基因和都是一样的。因此,结合律并不持有的配子代数也并不持有的合子的代数。一般来说,代数与遗传学有关交换但非结合。在[3)-埃瑟林顿证明了受精卵的代数可以从配子通过交换代数获得重复的过程。现在,有趣的是,有一个类非结合代数的和非交换但拥有许多特征类似于交换和关联代数与交换代数和有着密切的关系。利用这些代数的概念,我们给一个更一般的配子和合子的代数的定义。此外,这种非结合和非交换代数与约旦和灵活的代数已经关闭了连接。此外,如果它包含了一个身份,那么它满足身份和广义著名的乔丹的身份。主要使用此代数,像一个交换代数;例如, ,尽管,在交换代数,而这个方程也适用于左几乎代数,如果左几乎代数包含一个身份,然后 ,对于任何 。事实上,结构非结合和非交换但具有许多属性通常在联想和交换代数结构。同时,定义一个新的操作代数提供了交换和关联代数。
在本文中,我们将讨论那些非联合型的代数和非交换但非结合和交换代数有密切联系。我们广义的定义8),引入了一个新的广义定义配子代数。此外,我们引入一个新的类非结合代数的离开几乎代数。
我们限制自己通过考虑一个基因在染色体上一个特定的。在这里,我们首先配子代数的定义(8]。考虑配子 的基础元素维的向量空间。乘法定义为 在哪里代表相对基因频率。
由此产生的代数被称为一个维配子代数。
非结合代数的一些基本概念。一个广群被称为左几乎半群,如果它满足以下左invertive法律, ,尽管 。霍尔盖特称之为左invertive广群(4]。一个元素广群的被称为左(右)身份如果 对所有在。左身份在左几乎半群是独一无二的。
让 ,在那里是离开了几乎半群离开了身份。然后,
但上述声明的交谈是不正确的。
如果离开了几乎半群包含一个正确的身份,然后变成了交换半群。左几乎半群是一个中期结构广群和交换半群。
从上面的讨论中,我们很容易得出这样的结论:这种非联合型结构与左身份关闭连接交换半群。
非结合代数在一场是一个向量空间随着双线性乘法 满足以下分配属性:
非结合代数在一场被称为左几乎代数如果它满足左边invertive属性对乘法。
几个作者主要讨论交换和非结合代数基因实现。有一些非交换的情况下,非结合代数结构,讨论了在2,10,14]。此外,孟德尔的代数是有趣的讨论。研究这种情况下孟德尔的代数与突变,我们介绍一种新的非结合和非交换代数称为几乎代数。这些代数拥有许多特征类似于交换非结合代数与基因实现。在这里,我们给配子代数的广义定义;考虑配子 的基础元素维向量空间几乎结束了。如果我们定义乘法 在哪里 对所有 ,代表相对基因频率。
然后,生成的代数被称为一个维非结合代数和非交换几乎配子。
让 代表是一个基础等位基因产生配子的离开几乎代数和乘法定义为 。考虑到映射 ,让权函数定义为 。对于任何一个元素的, 。因此,
以类似的方式,我们可以定义为这个我们认为受精卵的代数和配子 (只考虑 受精卵,然后随机交配与会产生受精卵与一个特定的比率。因此,我们定义以下广义合子的乘法 在哪里相对基因频率。
一个元素在我们的非交换,非结合代数表明人口或一个基因池,它可以表示为一个线性组合的基础元素 作为 和 ,在那里 ,尽管 。
遗传的代数实现由表达式(4(引起的)比一个更一般的1),因为既非结合和非交换代数。
一个代数被称为灵活的如果它满足以下属性:
一个代数乔丹被称为广义代数如果它满足以下属性:
很明显,灵活和广义约旦代数都是不同的但如果 对所有那么都变得相同。
2。突变代数
在[9),作者认为突变和变异率代数和,配子代数的基础元素和,乘法表的定义是 然后,作者选择的另一个基础元素 和 ,因此
让我们定义一个抽象代数生成的 在一个有限的领域。如果我们定义二进制操作””作为 ,那么这个代数满足(10),但 。因此,重要的是要告诉大家这个操作定义的代数并不完全符合上述突变Gonshor引入的代数。这仅仅意味着缺乏一百之间的对应关系代数和代数中定义(10),但仍有几个相似的思想之间存在突变代数和代数我们介绍。在接下来的定理,我们将证明这几乎代数是一个左代数。我们表示这个代数。
定理1。 几乎是一个非交换和非结合代数。
证明。很明显,是关闭的。接下来,我们将显示满足左边invertive财产,离开 。然后, , 和 。为了证明 ,我们需要证明 。 这不是关联,因为 此外, 和 因此, ,对于一些 。
如果我们考虑这个定理有限域的基数4的扩展,然后 给了 。更普遍的是, 表示不可约多项式的二次方程在吗 。因此, ,因此 。我们表示这个代数。方程的根 是和。因此, 很明显,
定理2。代数乔丹是一个广义代数。
证明。很明显,几乎是一个左代数。接下来,我们将证明它满足灵活的代数的性质。我们有 。因此, 因此,
推论3。代数是一个灵活的代数。
很明显从定理2那包含幂等元素和非结合代数中我们知道幂等元素都有自己的重要性。因此,我们到达下面的备注。
备注4。从生物的角度来看,代数的幂等有自己的用处。因为这个代数有几个特征类似于在基因上发生了一个非结合代数,代数的幂等元素可用于平衡人口被一些非结合代数的基因实现。
在下面,我们将考虑一些其他非结合代数和将讨论几乎与左边的关系代数在数学上。
另一个代数是一个非结合代数满足以下属性:
引理5。如果几乎是一个左交错代数吗 和 ,尽管和在。
证明。让和属于;然后, ,所以 ,尽管和。
以上证明 对所有和在。因此, 为在 因此,我们可以定义一个元素的力量。
引理6。如果是一个几乎交错代数,其中包含一个左身份,然后成为交换和关联的身份。
证明。自 ,尽管和,因此 。然后, 很容易看到,交换性和左invertive法律给结合性。
剩下的纸,,我们几乎是指左交错代数满意(2)。
引理7。 ,尽管 在和
证明。我们已经证明 ,尽管 在。然后, 因此, 。让我们假设我们 ,因为 。然后,
定理8。每一个约旦成为广义代数。
证明。让 。然后, 因此, 。
引理9。 ,尽管 在。
证明。使用 ,我们得到
我们得到一个更广义形式的广义约旦代数有以下重要的定理。
定理10。 , ,尽管 在。
证明。使用 ,我们得到
这个定理是数学模型表明,交配的与是一样的交配的吗与。
命题11。 ,尽管 在。
证明。证明是很容易的。
对于任何在,我们把 和 ,在那里是一个正整数。
命题12。 有关联的权力。
证明。证明是很容易的。
第13号提案。 ,尽管 和正整数,。
证明。根据命题12,结果是正确的 。再次,通过引理7,我们获得 因此, 。
14号预选提案。 对所有 和正整数 。
证明。结果是正确的 。假设这是真的 。然后,我们得到 因此,通过感应, 对所有在和正整数,。
15号提案。 ,尽管,在为正整数 。
证明。结果是正确的 。如果 ,然后 假设的结果是正确的 。然后,我们得到 因此,结果是适用于所有正整数。
定理16。 ,因为 ,尽管 在
证明。从引理证明之前7。
定理17。 ,因为
证明。让 。然后,
定理18。每一个满足广义约旦的身份 为 。
证明。我们将使用感应。为 和 ,它是一样的定理17。
很明显从上面的左边几乎与广义代数已经关闭了连接乔丹代数和灵活的代数。
有趣的是,遗传代数(受精卵的配子,连接的,火车,伯恩斯坦等)不满足乔丹代数的性质但左侧几乎代数成为乔丹代数。此外,这种代数是联想和满足广义的身份 引入了乔丹。它也满足 为 。这个代数是约旦代数的推广。非交换和非联合型但拥有许多特征类似于约旦代数。因为乔丹在遗传代数有很多应用,得出我们的新广义代数在遗传学中的应用将给方向。
3所示。结论
在本文中,我们引入了一个新的非结合和非交换代数与基因实现。我们讨论了它与灵活,选择,和约旦代数。这个代数具有许多类似于交换和关联代数特征。我们讨论了一些遗传特性的代数。在未来的工作中,我们将关注一些其他非结合代数。我们得出结论,本研究将在遗传学中的应用的新方向。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。